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Bruchrechnen

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Mathe

In diesem Kapitel lernst du alles über das Thema Bruchrechnen. Das Rechnen mit Brüchen gehört zu den Basics in der Mathematik, und wenn du es einmal verstanden hat, dann ist es gar nicht mehr so schwer.


In diesem Artikel lernst du die Grundlagen der Bruchrechnung kennen. Wenn du dir ein Thema genauer anschauen willst, haben wir dazu auch nochmal eigene Artikel in diesem Kapitel.


Das Thema Bruchrechnung gehört im Fach Mathematik in den Bereich Algebra, und dort zum Themenbereich Brüche und Dezimalzahlen


Was ist ein Bruch?

Bevor du anfängst mit Brüchen zu rechnen, solltest du erstmal wissen, was ein Bruch ist. Ausführliche Informationen dazu kannst du im Kapitel Brüche und besondere Brüche nachlesen. Trotzdem einmal kurz eine Definition.


Brüche sind rationale Zahlen, die das Verhältnis zweier ganzer Zahlen zueinander darstellen. Ein Bruch besteht aus Zähler (Z) und Nenner (N), welche in der Mitte durch den Bruchstrich voneinander getrennt sind. Jeder Bruch kann auch als Division verstanden werden, bei der der Zähler durch den Nenner geteilt wird. Deshalb darf auch der Nenner nicht 0 sein, da das Teilen durch 0 nicht möglich ist.


Recht formal könnte man einen Bruch so definieren:

Das, was wir in diesem Artikel mit "Brüchen" bezeichnen, also rationale Zahlen der Form , heißen eigentlich "gemeine Brüche" oder "gewöhnliche Brüche". Unter dem Sammelbegriff "Bruch" sind im weiten Sinne nämlich auch die Dezimalzahlen enthalten.

Die Bruchrechnung beschäftigt sich also vor allem mit dem Rechnen mit gemeinen Brüchen!



Wie funktioniert die Bruchrechnung?

Auch bei Brüchen kannst du alle Grundrechenarten anwenden – also Addition, Subtraktion, Division und Multiplikation. Allerdings gibt es beim Rechnen mit Brüchen ein paar Besonderheiten, weshalb du dir in diesem Kapitel alle Arten der Bruchrechnung detailliert anschauen kannst. 


Kürzen von Brüchen

Beim Kürzen von Brüchen wird die Unterteilung des Ganzen vergröbert. Wenn beispielsweise eine Torte beim Konditor in 12 Stücke geteilt ist, und du davon 6 Stücke kaufst, hätte der Konditor auch einfach die Torte halbieren können und dir eine ganze Hälfte geben können. Ob du also von 12 Stücken 6 kaufst, oder von 2 Stücken 1, du hast beide Male den gleichen Teil der Torte gekauft - nämlich eine ganze Hälfte.


Wie das Kürzen von Brüchen ganz genau funktioniert, das wird dir im entsprechenden Artikel in diesem Kapitel erklärt.


Erweitern von Brüchen

Das Erweitern von Brüchen ist die Umkehroperation des Kürzens. Man kann es auch als Verfeinerung sehen. Um beim Beispiel der Torte zu bleiben: Wenn du jetzt 6 Stück gekauft hast, und ihr zuhause dann doch mehr Gäste habt und dafür jedes Tortenstück nochmal halbierst, dann habt ihr 12 Stücke, aber im Gesamten immer noch die gleiche Menge an Torte.


Auch zum Erweitern von Brüchen gibt es in diesem Kapitel einen Artikel.


Brüche gleichnamig machen

Um mit Brüchen rechnen zu können, muss man sie manchmal gleichnamig machen. Gleichnamig machen bedeutet, die Brüche so zu erweitern oder zu kürzen, sodass im Nenner die gleiche Zahl steht. 


Wieder ein Tortenbeispiel: Wenn du von einer Torte, die in 4 Stücke geteilt ist, ein Stück kaufst, und von einer anderen Torte, die in 12 Stücke geteilt ist, 2 Stücke kaufst, welchen Anteil einer ganzen Torte hast du dann? 

Das ist ein bisschen kompliziert, also ein viertel Torte und zwei zwölftel Torte zusammenzurechnen. 

Einfacher wird es, wenn die erste Torte auch in 12 Stücke geteilt ist, und du davon 3 Stücke kaufst. Dann kannst du direkt sehen, dass du insgesamt fünf zwölftel Torte gekauft hast.


Wie man nun Brüche gleichnamig macht, kannst du im Artikel Brüche gleichnamig machen nachlesen-


Addition von Brüchen

Mit diesem Thema startet die wirkliche Bruchrechnung: Wenn du also zwei oder mehr Brüche miteinander addieren möchtest, dann müssen sie zunächst gleichnamig gemacht werden. Dann muss man im Prinzip nur die Zähler addieren, der Nenner bleibt gleich. 


Detailliert wird dir die Addition von Brüchen im entsprechenden Artikel erklärt. 


Subtraktion von Brüchen

Wenn du das Addieren von Brüchen verstanden hast, ist das Subtrahieren eigentlich schnell erklärt. Auch für die Subtraktion müssen die Brüche gleichnamig sein, es muss also im Nenner jeweils dieselbe Zahl stehen. Dann werden wieder die Zähler subtrahiert, der Nenner bleibt gleich. 


Auch zu diesem Thema schaust du dir am besten unseren Artikel Brüche subtrahieren an, dort haben wir eine genauere Erklärung und ein paar Übungsaufgaben.


Multiplikation von Brüchen

Brüche multiplizieren ist wahrscheinlich das einfachste bei der Bruchrechnung! Denn: zwei Brüche multipliziert man miteinander, indem man beide Zähler und beide Nenner miteinander multipliziert.

Oft kannst du das Ergebnis danach dann noch kürzen.


Zum Thema Brüche multiplizieren haben wir auch einen eigenen Artikel. Dort findest du auch wieder eine genauere Erklärung und weitere Tipps!


Division von Brüchen

Die letzte Rechenart bei der Bruchrechnung ist das Dividieren von Brüchen. Die Division ist aber ganz einfach, wenn du das Multiplizieren von Brüchen verstanden hast.


Um einen Bruch durch einen anderen zu dividieren, multipliziert man den Bruch durch den Kehrbruch (d.h. Vertauschen von Zähler und Nenner) des anderen Bruchs.


Warum das so ist, erfährst du im Artikel Division von Brüchen.


Rechnen mit Doppelbrüchen

Zum Schluss gibt es noch ein Kapitel, in dem du auf gruselige Doppelbrüche stößt. Doppelbrüche sind Brüche, die im Zähler und Nenner keine Zahl, sondern wieder einen Bruch stehen haben.


Viele Schüler*innen sind davon eingeschüchtert, aber mithilfe des Artikels wirst du sehen, dass auch Doppelbrüche kein Problem sind, wenn du den Bruchstrich als Division interpretierst und die Regeln der Bruchrechnung verstanden hast!




Bruchrechnen - Das Wichtigste auf einen Blick

Häufig gestellte Fragen zum Thema Bruchrechnen

Um zwei Brüche zu subtrahieren, müssen im ersten Schritt die Brüche gleichnamig gemacht werden. Im zweiten Schritt werden dann die Zähler subtrahiert, der Nenner bleibt einfach gleich.

Bei der Addition und Subtraktion von Brüchen müssen im ersten Schritt die Brüche gleichnamig gemacht werden. Im zweiten Schritt werden dann die Zähler addiert bzw. subtrahiert. Der Nenner bleibt einfach gleich. 

Bei der Multiplikation werden die beiden Zähler und die beiden Nenner jeweils miteinander multipliziert. 

Bei der Division durch einen Bruch wird mit dem Kehrbruch multipliziert.

Um zwei Brüche zu addieren oder subtrahieren, müssen im ersten Schritt die Brüche gleichnamig gemacht werden. Im zweiten Schritt werden dann die Zähler addiert bzw. subtrahiert. Der Nenner bleibt einfach gleich.

Um Brüche zu multiplizieren, werden die beiden Zähler und die beiden Nenner jeweils miteinander multipliziert. 

Bei der Division durch einen Bruch wird mit dem Kehrbruch multipliziert.

Um zwei Brüche zu addieren, müssen im ersten Schritt die Brüche gleichnamig gemacht werden. Im zweiten Schritt werden dann die Zähler addiert, der Nenner bleibt einfach gleich.

Finales Bruchrechnen Quiz

Frage

Bewerte die folgende Aussage:

Brüche werden beim Kürzen kleiner.

Antwort anzeigen

Antwort

Das ist falsch. Der Wert eines Bruches verändert sich nicht, wenn gekürzt wird.

Frage anzeigen

Frage

Gib an, was ein unvollständiger Doppelbruch ist. 

Antwort anzeigen

Antwort

Bei unvollständigen Doppelbrüchen steht nur im Zähler oder nur im Nenner eines Bruchs ein weiterer Bruch.

Frage anzeigen

Frage

Nenne die beiden Arten an unvollständigen Doppelbrüchen.

Antwort anzeigen

Antwort

Es gibt

  • im Zähler unvollständige Doppelbrüche

und 

  • im Nenner unvollständige Doppelbrüche
Frage anzeigen

Frage

Beschreibe, was ein im Nenner unvollständiger Doppelbruch ist.

Antwort anzeigen

Antwort

Bei einem im Nenner unvollständigen Doppelbruch steht nur im Zähler des Doppelbruchs ein weiterer Bruch. Im Nenner des Doppelbruchs steht eine ganze Zahl

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Frage

Erkläre die drei Schritte beim Auflösen eines Doppelbruchs.

Antwort anzeigen

Antwort

  • Zuerst schreibt man den Doppelbruch in zwei Brüche, die dividiert werden sollen, um. Man dividiert den Bruch, der im Zähler des Doppelbruchs steht, durch den Bruch, der im Nenner des Doppelbruchs steht. 
  • Statt durch den Bruch, der im Nenner des Doppelbruchs steht, zu teilen, multipliziert man den ersten Bruch mit seinem Kehrwert
  • Abschließend wird die Multiplikation ausgeführt und der Bruch - falls möglich - gekürzt
Frage anzeigen

Frage

Erläutere, wie man den Kehrwert eines Bruchs bildet

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Antwort

Um den Kehrwert eines Bruches zu bilden, vertauschst du einfach die Werte, die im Zähler und Nenner des Bruchs stehen so, dass der ehemalige Zähler nun zum Nenner des Bruchs wird und der ehemalige Nenner des Bruchs nun zum Zähler wird.

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Frage

Vergleiche im Zähler unvollständige Doppelbrüche mit im Nenner unvollständigen Doppelbrüchen.


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Antwort

Bei einem im Nenner unvollständigen Doppelbruch steht nur im Zähler des Doppelbruchs ein weiterer Bruch. Im Nenner des Doppelbruchs steht eine ganze Zahl


Bei einem im Zähler unvollständigen Doppelbruch steht nur im Nenner des Doppelbruchs ein weiterer Bruch. Im Zähler des Doppelbruchs steht eine ganze Zahl.

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Frage

Fasse die wichtigsten Informationen zum Thema "Doppelbrüche" kurz zusammen.

Antwort anzeigen

Antwort

  • Ein Doppelbruch ist ein Bruch, in dessen Zähler und Nenner ebenfalls jeweils ein Bruch steht. Ein Doppelbruch ist also eine Division von zwei Brüchen
  • Bei unvollständigen Doppelbrüchen steht nur im Zähler oder im Nenner eines Bruchs ein weiterer Bruch. 
  • Ein Doppelbruch kann in drei Schritten aufgelöst werden: 1. Umschreiben in zwei Brüche, die dividiert werden sollen; 2. Multiplikation mit dem Kehrwert des zweiten Bruchs; 3. Bruchrechnung ausführen und eventuell anschließend kürzen
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