Grundrechenarten

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Grundrechenarten


In diesem Artikel beschäftigen wir uns mit den Grundlagen der Mathematik – den Grundrechenarten. Es gibt vier Grundrechenarten, die wir hier kurz erklären wollen. Außerdem gibt es zusätzlich noch ein paar Themen, die bei den Grundrechenarten wichtig sind, wie die Rechengesetze. 

Nach diesem Artikel hast du einen ersten Überblick über die Grundrechenarten, wenn du mehr zu einem bestimmten Thema wissen willst, kannst du einfach den zugehörigen Artikel lesen.


Viel Spaß beim Lernen!



Die vier Grundrechenarten


Zunächst wollen wir uns die vier Grundrechenarten anschauen – die wirst du in der Mathematik immer brauchen. Alle vier Grundrechenarten gibt es natürlich auch in der Bruchrechnung.



Addition – das „Plus-Rechen“


Bei der Addition zählt man Zahlen zusammen. Die Zahlen werden Summanden genannt, das Ergebnis nennt sich Summe mit ihrem zugehörigen Wert und alles zusammen ist die Addition. Natürlich kannst du auch Brüche addieren




Subtraktion – das „Minus-Rechnen“


Bei der Subtraktion hat man einen Minuenden von dem man den Subtrahenden abzieht. Als Ergebnis erhält man dann die Differenz dieser Summanden. Genauso kannst du auch Brüche subtrahieren.



Multiplikation – das „Mal-Rechnen“

Bei der Multiplikation multipliziert man den 1. Faktor mit dem 2. Faktor. Das heißt man addiert den 1. Faktor so oft, wie es der 2. Faktor angibt. Das Ergebnis ist das Produkt mit seinem zugehörigen Wert. 

Falls du mal größere Rechenaufgaben hast, empfehlen wir dir das schriftliche Multiplizieren. So kannst du schnell und sicher an die richtige Lösung gelangen, auch wenn du eine Aufgabe mit großen Zahlen hast.

Du kannst auch Brüche multiplizieren!




Division – das „Geteilt-Rechnen“


Bei der Division hat man einen Dividenden und einen oder mehrere Divisoren, wobei man jeweils berechnen möchte, wie oft der Divisor in den Dividenden passt. Besonders wichtig ist noch, dass man nie durch 0 teilen darf!


Besonders hilfreich ist hier auch noch die schriftliche Division, falls du mal größere Rechenaufgaben hast, die du im Kopf schwer lösen kannst.

Natürlich kannst du auch Brüche multiplizieren.



Die Regel „Punkt vor Strich“


Jetzt hast du schon die vier Grundrechenarten alleine kennengelernt. Was passiert aber, wenn man die Grundrechenarten kombiniert? Hierfür gibt es eine ganz wichtige Regel in der Mathematik: „Punkt vor Strich“

Die Regel besagt, dass man zuerst Multiplikationen (•) und Divisionen (:) berechnet und danach Additionen (+) oder Subtraktionen (-) berechnet.


Was das bedeutet, verdeutlicht am besten folgendes Beispiel:

5 + 3 x 2 – 1 + 4 : 2 – 2 


Zunächst berechnen wir also alle Multiplikationen und Divisionen:

5 + (3 x 2) – 1 + (4 : 2) – 2 = 5 + 6 – 1 + 2


Anschließend können wir noch die Additionen und Subtraktionen berechnen

5 + 6 – 1 + 2 = -1 – 1 + 2 = 0


Außerdem müssen erst Ergebnisse in Klammern berechnet werden, wobei innerhalb der Klammern wieder Punkt vor Strich gilt.



Auch hierfür haben wir ein kurzes Beispiel:

(5 + 2) x 3 – 10 : (8 - 9 : 3)


Zunächst berechnen wir das Ergebnis in den Klammern

(5 + 2) x 3 – 10 : (8 – (9 : 3)) = 3 x 3 – 10 : (8 – 3) = 3 x 3 – 10 : 5


Jetzt können wir hier wieder genauso weiter vorgehen

(3 x 3) – (10 : 5) = 9 – 2 = 7



Die Rechengesetze zu den Grundrechenarten


Hier findest du noch einen kurzen Überblick über alle Rechengesetze, die sind neben den vier Grundrechenarten absolute Grundlagen.


Kommutativgesetz


Das Kommutativgesetz (Vertauschungsgesetz) gilt für die Addition und Multiplikation:



Assoziativgesetz


Das Assoziativgesetz (Verbindungsgesetz) gilt für die Addition und Multiplikation:


Distributivgesetz


Das Distributivgesetz (Verteilungsgesetz) betrifft die Reihenfolge von Ausmultiplizieren und Ausklammern.




Grundrechenarten - Die Zahlenmengen


Neben den verschiedenen Arten von Rechnungen gibt es auch verschiedene Zahlenarten.

Hier findest du die Defintionen aller Zahlenarten auf einen Blick, am besten schaust du dir noch die einzelnen Artikel dazu an:



Zudem gilt N⊂N0⊂Z⊂Q⊂R⊂C, d.h. jede Menge ist Teilmenge der weiter rechts stehenden Menge. Die folgende Übersicht verdeutlicht diesen Zusammenhang der Zahlenmengen:




Unser Tipp für Euch


Die Grundrechenarten sind – wie der Name es schon sagt – die absoluten Grundlagen der Mathematik. Übe sie deshalb besonders gut!

Finales Grundrechenarten Quiz

Frage

Welche Grundrechenarten können unterschieden werden?

Antwort anzeigen

Antwort

Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division

Frage anzeigen

Frage

Welche Rechengesetze können unterschieden werden?

Antwort anzeigen

Antwort

Kommutativgesetz (Vertauschungsgesetz)

Assoziativgesetz (Klammergesetz)

Distributivgesetz (Verteilungsgesetz)

Frage anzeigen

Frage

Was besagt das Kommutativgesetz?

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Antwort

-> Vertauschungsgesetz

In einer Summe oder einem Produkt darf man die Summanden oder Faktoren vertauschen
• a + b = b + a
• a · b = b · a

Frage anzeigen

Frage

Welchen Vorteil hat das Runden?

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Antwort

Manchmal ist es nicht sinnvoll, für eine Größe ganz genaue Zahlenwerte anzugeben, etwa bei der Einwohnerzahl einer Großstadt, die sich täglich ändert. In einem solchen Fall gibt man gerundete Zahlenwerte an. Ein (genauer) Wert wird dann durch einen Näherungswert ersetzt.

Frage anzeigen

Frage

Welche Sonderstellung nimmt die Null bei der Division und Multiplikation ein? 

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Antwort

  • a*0 = 0*a = 0
  • 0/a = 0 
  • a/0 ist nicht definiert  


Frage anzeigen

Frage

Welche Regeln kommen zur Anwendung, wenn in einer Rechnung mehrere Rechenarten oder Klammern vorkommen?

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Antwort

  • Klammern werden zuerst berechnet.
  • Punktrechnungen (* und :) werden vor Strichrechnungen (+ und –) ausgeführt.
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Frage

Berechne 4 * (35 - 14) 

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Antwort

4 * (35 - 14) = 4 * 21 = 84


Was in der Klammer steht, musst du zuerst ausrechnen. Auch wenn es die „Punkt-vor-Strich-Regel“ außer Kraft setzt.

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Frage

Berechne 3*6 + 36/3

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Antwort

3*6 + 36/3 = 18 +12 = 30 


Berechne zuerst die Punkt- und dann die Strichrechnung.

Frage anzeigen

Frage

Berechne 13 + (10-2*4)

Antwort anzeigen

Antwort

13 + (10-2*4) = 13 + (10 - 8) = 13 + 2 = 15


Die Klammer wird zuerst berechnet. Punktrechnungen werden in der Klammer vor Strichrechnungen gerechnet.

Frage anzeigen

Frage

Welche 3 Rechengesetze gibt es bei dem Rechnen mit Grundrechenarten? 

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Antwort

  • Kommutativgesetz (Vertauschungsgesetz)
  • Assoziativgesetz (Klammergesetz) 
  • Distributivgesetz (Verteilungsgesetz)
Frage anzeigen

Frage

Was ist das Kommutativgesetz (Vertauschungsgesetz)?

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Antwort

In einer Summe oder einem Produkt darf man die Summanden oder Faktoren vertauschen.


a + b = b + a

a * b = b * a

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Frage

Was ist das Assoziativgesetz (Klammergesetz)?

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Antwort

Bei einer Summe oder einem Produkt von mehreren Zahlen spielt die Reihenfolge der Ausführung keine Rolle. Klammern dürfen beliebig gesetzt werden.


a + (b + c) = (a + b) + c

a · (b · c) = (a · b) · c

Frage anzeigen

Frage

Was ist das Distributivgesetz (Verteilungsgesetz)?

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Antwort

Das Distributivgesetz verbindet eine Punktrechnung mit einer Strichrechnung. Klammern können aufgelöst werden. Umgekehrt kann auch ausgeklammert werden.


(a + b) · c = a · c + b · c

(a – b) · c = a · c – b · c

(a + b) : c = a : c + b : c

(a – b) : c = a : c – b : c

Frage anzeigen

Frage

Was muss man bei dem Assoziativ- und Kommunitativgesetz beachten? 

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Antwort

Beide Gesetze dürfen nicht bei der Subtraktion und der Division angewendet werden

Frage anzeigen

Frage

Wende bei 25 * 362 * 4 das Kommutativgesetz an

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Antwort

25 ∙ 362 ∙ 4 = 25 ∙ 4 ∙ 362 = 100 ∙ 362 = 36 200


Durch Vertauschen der Faktoren wird die Rechnung einfacher.

Frage anzeigen

Frage

Wende bei 279 + 412 +88 das Assoziativgesetz an

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Antwort

(279 + 412) + 88 = 279 + (412 + 88) = 279 + 3500 = 779


Wenn du die Klammern um die Summanden verschiebst, kannst du leichter addieren.

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Frage

Wende bei 37 * 16 - 17 * 16 das Distributivgesetz an

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Antwort

37 ∙ 16 – 17 ∙ 16 = (37 – 17) ∙ 16 = 20 ∙ 16 = 320


Du kannst den gleichen Faktor 16 ausklammern, dann musst du nur einmal multiplizieren.

Frage anzeigen

Frage

Wie erweitert man einen Bruch? 

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Antwort

Indem Zähler und Nenner mit der gleichen Zahl (Erweiterungszahl) multipliziert werden

Frage anzeigen

Frage

Wie kürzt man einen Bruch? 

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Antwort

Indem Zähler und Nenner durch die gleiche Zahl (Kürzungszahl) dividiert werden.

Frage anzeigen

Frage

Ändert sich der Wert eines Bruchs durch das Kürzen oder Erweitern?

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Antwort

Nein. Durch das Erweitern oder Kürzen ändert sich der Wert des Bruches nicht.

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Frage

Unter welcher Voraussetzung kann man Brüche addieren oder subtrahieren? 

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Antwort

Brüche können nur dann addiert oder subtrahiert werden, wenn sie gleichnamig oder nennergleich sind, d. h., wenn sie einen gemeinsamen Nenner besitzen

Frage anzeigen

Frage

Wie kann man Brüche addieren oder subtrahieren?

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Antwort

Sind die Brüche gleichnamig, werden die Zähler addiert oder subtrahiert. Der gemeinsame Nenner bleibt unverändert

Frage anzeigen

Frage

Was muss man tum, um ungleichnamige Brüche (also mit unterschiedlichen Nennern) addieren oder subtrahieren zu können? 

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Antwort

Durch Erweitern oder Kürzen auf einen gemeinsamen Hauptnenner bringen.

Frage anzeigen

Frage

Wie multipliziert man Brüche? 

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Antwort

Brüche werden multipliziert, indem man Zähler mit Zähler und Nenner mit Nenner multipliziert.

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Frage

Wie dividiert man Brüche? 

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Antwort

Brüche werden dividiert, indem man den ersten Bruch mit dem Kehrwert des zweiten Bruches multipliziert


Um den Kehrwert zu erhalten, vertauscht man den Zähler mit dem Nenner.

Frage anzeigen

Frage

Wie geht man bei der Addition oder Subtraktion von Dezimalbrüchen vor? 

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Antwort

  • Bei der Addition oder Subtraktion schreibt man die Dezimalbrüche stellengerecht untereinander (Komma unter Komma).
  • Dann addiert oder subtrahiert man wie gewohnt von rechts nach links.
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Frage

Wie multipliziert man Dezimalbrüche?

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Antwort

  • Bei der Multiplikation von Dezimalbrüchen rechnet man zunächst, ohne auf das Komma zu achten.
  • Das Komma wird anschließend im Ergebnis gesetzt. Das Ergebnis hat so viele Dezimalstellen wie alle Faktoren zusammen.
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Frage

Was darf im Divisor beim Dividieren von Dezimalbrüchen nicht vorkommen?

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Antwort

Beim Dividieren von Dezimalbrüchen darf im Divisor kein Komma vorkommen.

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Frage

Wie dividiert man Dezimalbrüche?

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Antwort

  • Bei Dividend und Divisor muss das Komma um so viele Stellen nach rechts verschoben werden, bis der Divisor eine natürliche Zahl ist. Der Quotient ändert dadurch seinen Wert nicht. 
  • Anschließend teilt man durch die natürliche Zahl. Sobald man beim Dividenden das Komma „überschreitet“, muss das Komma ins Ergebnis übertragen werden.
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Frage

Wie multipliziert man einen Dezimalbruch mit einer Stufenzahl?

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Antwort

Ein Dezimalbruch wird mit einer Stufenzahl (10, 100, 1 000, …) multipliziert, indem man das Komma um die Anzahl der Nullen nach rechts verschiebt.

Frage anzeigen

Frage

Wie dividiert man einen Dezimalbruch mit einer Stufenzahl?

Antwort anzeigen

Antwort

Ein Dezimalbruch wird durch eine Stufenzahl (10, 100, 1 000, …) dividiert, indem man das Komma um die Anzahl der Nullen nach links verschiebt.

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Frage

Berechne 3,215 * 100

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Antwort

3,215 * 100 = 321,5

Das Komma wird um zwei Stellen nach rechts verschoben.

Frage anzeigen

Frage

Berechne 11,4 * 1000

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Antwort

11,4 ∙ 1 000 = 11,400 ∙ 1 000 = 11 400


Es werden Nullen als Dezimalen ergänzt. Das Komma wird um drei Stellen nach rechts verschoben und verschwindet.

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Frage

Berechne 25,76 : 10

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Antwort

25,76 : 10 = 2,576


Das Komma wird um eine Stelle nach links verschoben.

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Frage

Berechne 8,62 : 100

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Antwort

8,62 : 100 = 0,0862


Das Komma wird um zwei Stellen nach links verschoben. Es müssen Nullen ergänzt werden.

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Frage

Was sind Terme?

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Antwort

Terme sind sinnvolle Rechenausdrücke, bei denen neben Zahlen auch Platzhalter auftreten können. Für die Platzhalter werden Buchstaben geschrieben. 


Sie halten in Rechenausdrücken den Platz für Zahlen frei und heißen auch Variablen. Tritt eine Variable mehrfach auf, steht sie für dieselbe Zahl.

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Frage

Was kann ein Term sein?

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Antwort

Terme können Zahlen, Variablen oder sinnvolle Verknüpfungen von Zahlen, Variablen, Rechenzeichen und Klammern sein.

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Frage

Wie kann der Termwert berechnet werden?

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Antwort

Indem anstelle der Variablen Zahlen eingesetzt werden, sodass der Termwert berechnet werden kann

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Frage

Berechne den Termwert für:

a = –2
7a + 18

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Antwort

7 ⋅ (–2) + 18 = –14 + 18 = 4


Setzte für a = –2 ein und berechne den Wert

Frage anzeigen

Frage

Was ist mit dem Zusammenfassen von Termen gemeint?

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Antwort

In einem Term kann man alle Vielfachen derselben Variablen und alle Zahlen ohne Variablen zusammenfassen.

Frage anzeigen

Frage

Vereinfache den Term



8x + 3 – 5y + 4 – 3x + 7y

8x 3x 5y 7y 3 4

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Antwort

8x + 3 – 5y + 4 – 3x + 7y

= 8x - 3x - 5y + 7y + 3 + 4
= 5x + 2y + 7 

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Frage

Wie kann man eine Klammer auflösen, wenn vor der Klammer ein "+" steht?


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Antwort

Steht vor der Klammer ein „+“, werden die Zeichen beim Auflösen der Klammer beibehalten.


… + (a + b – c) = … + a + b – c

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Frage

Wie kann man eine Klammer auflösen, wenn vor der Klammer ein "-" steht?

Antwort anzeigen

Antwort

Steht vor der Klammer ein „–“, werden die Zeichen beim Auflösen der Klammer umgekehrt.


… – (a + b – c) = … – a – b + c

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Frage

Löse die Klammer auf

3x + (4x - 5)

Antwort anzeigen

Antwort

3x + (4x – 5) = 3x + 4x – 5 = 7x – 5


Vor der Klammer steht ein „Plus“. Die Zeichen ändern sich beim Auf- lösen der Klammer nicht.

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Frage

Löse die Klammer auf


6 – (– 4 + 3z) + 7z

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Antwort

6 – (– 4 + 3z) + 7z = 6 + 4 – 3z + 7z = 10 + 4z


Vor der Klammer steht ein „Minus“. Die Zeichen ändern sich beim Auf- lösen der Klammer.

Frage anzeigen

Frage

Wann wird eine Klammer mit einem Faktor multipliziert?

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Antwort

Eine Klammer wird mit einem Faktor multipliziert, indem man jedes Glied der Klammer mit dem Faktor multipliziert.


x(a + b – c) = xa + xb – xc

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Frage

Was passiert beim Faktorisieren?

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Antwort

Beim Faktorisieren wird der gemeinsame Faktor ausgeklammert.


ay + by – cy = y(a + b – c)

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Frage

Vereinfache den Term


2 (a - 3) + 8a 



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Antwort

2(a – 3) + 8a = 2a – 6 + 8a = 10a – 6


Um den Term zu vereinfachen, wird die Klammer aufgelöst. Jedes Glied der Klammer wird mit dem Faktor 2 multipliziert.

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Frage

Vereinfache den Term


11 – 3(3 + b)

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Antwort

11 – 3(3 + b) = 11 – (9 + 3b) = 11 – 9 – 3b = 2 – 3b


Multipliziere die Klammer aus. Achte dabei auf das Minuszeichen vor dem Faktor. Beim Auflösen der Klammer müssen die Zeichen in der Klammer geändert werden.

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Frage

Bei welchen Rechenausdrücken handelt es sich um Terme? Kreuze an.

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Antwort

(a + 4 ⋅ b) ⋅ c

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