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Gleichungen lösen

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Mathe

Hier kannst du nachlesen, wie du Gleichungen lösen kannst. Das kommt natürlich auf die Art der Gleichung an, aber dafür haben wir dir in diesem Kapitel verschiedene Vorgehensweisen zusammengeschrieben.

Das Kapitel Gleichungen lösen gehört in das Fach Mathe und dort in den Bereich Algebra, genauer in die Rubrik Gleichungen.

Wie kannst du eine Gleichung lösen?

In diesem Kapitel lernst du folgende Vorgehen kennen, die dir helfen können, Gleichungen zu lösen:

  • Lösen durch Umkehraufgaben
  • Gleichungen graphisch lösen
  • systematisches Probieren

Außerdem kannst du je nach Gleichungsart nachlesen, wie die entsprechende Gleichung zu lösen ist:

  • Lösen von linearen Gleichungen
  • Lösen von quadratischen Gleichungen
  • Lösen von Bruchgleichungen
  • Lösen von biquadratischen Gleichungen
  • Lösen von Gleichungen höheren Grades
  • Lösen von Exponentialgleichungen
  • Lösen von Logarithmusgleichungen
  • Lösen von trigonometrischen Gleichungen

Was solltest du vor diesem Kapitel wissen?

Bevor du eine bestimmte Art von Gleichung lösen willst, solltest du wissen, was die Besonderheiten an dieser Gleichungsart sind. Daher solltest du die Grundlagen des Kapitels Gleichungen verstanden haben. Außerdem solltest du wissen, was eine Äquivalenzumformung ist.

Häufig gestellte Fragen zum Thema Gleichungen lösen

Für das Lösen einer Gleichung gibt es verschiedene Vorgehen. Man kann Gleichungen durch das Einsetzungs-, dem Gleichsetzungs- oder dem Additionsverfahren lösen. Manchmal bietet sich auch eine graphische Lösung an oder eine Lösung durch systematisches Probieren.

Zuerst sollten die Klammern auf jeder Seite des = aufgelöst werden, beispielsweise durch Ausmultiplizieren. Dann kann die Gleichung wie gewohnt gelöst werden.

Zum Lösen von Gleichungen mit zwei Unbekannten sind das Einsetzungsverfahren, das Gleichsetzungsverfahren und das Additionsverfahren hilfreich. Zudem kann man Gleichungen auch graphisch lösen oder mithilfe des Gauß-Algorithmus.

Finales Gleichungen lösen Quiz

Frage

Was ist die 1. binomische Formel?

Antwort anzeigen

Antwort

(a + b)² = a² + 2ab + b²

Frage anzeigen

Frage

Was ist die 2. binomische Formel?

Antwort anzeigen

Antwort

(a – b)² = a² – 2ab + b²

Frage anzeigen

Frage

Was ist die 3. binomische Formel?

Antwort anzeigen

Antwort

(a + b) * (a – b) = a² – b²

Frage anzeigen

Frage

Wende die 1. binomische Formel an: (3x + 4)²


Antwort anzeigen

Antwort

(3x + 4)²
= (3x)² + 2 ⋅ 3x ⋅ 4 + 42 

= 9x² + 24x + 16

Frage anzeigen

Frage

Wende die 2. binomische Formel an: (y-2)²

Antwort anzeigen

Antwort

(y – 2)²
= y² – 2 ⋅ y ⋅ 2 + 2²
= y² – 4y + 4

Frage anzeigen

Frage

Wende die 3. binomische Formel an: (4x + 5) * (4x - 5)

Antwort anzeigen

Antwort

(4x + 5) ⋅ (4x – 5) 

= (4x)² – 52

= 16x² – 25

Frage anzeigen

Frage

Löse die Klammern auf.


(16 + m)²

Antwort anzeigen

Antwort

(16 + m)²
= 162 + 2 ⋅ 16 ⋅ m + m²
= 256 + 32m + m²

Frage anzeigen

Frage

Löse die Klammern auf.


(s – 20)²


Antwort anzeigen

Antwort

(s – 20)²

= s² – 2 ⋅ 20 ⋅ s + 202 

= s² – 40s + 400

Frage anzeigen

Frage

Löse die Klammer auf


(5x + 4)²

Antwort anzeigen

Antwort

(5x + 4)²

= (5x)²  + 2 ⋅ 5 ⋅ x ⋅ 4 + 4²

= 25x²  + 40x + 16

Frage anzeigen

Frage

Löse die Klammern auf 


(t – 12) ⋅ (t + 12)

Antwort anzeigen

Antwort

(t – 12) ⋅ (t + 12)

= t² – 122
= t² – 144

Frage anzeigen

Frage

Welcher Fehler wurde hier gemacht?


(x + 3)² = 2x + 6x + 9

Antwort anzeigen

Antwort

Richtig ist: (x + 3)² = x² + 6x + 9

Frage anzeigen

Frage

Welcher Fehler wurde hier gemacht? 


(2x – 6)² = 4x² + 12x + 36

Antwort anzeigen

Antwort

Richtig ist: (2x – 6)² = 4x² - 24x + 36

Frage anzeigen

Frage

Welcher Fehler wurde hier gemacht? 


36 + 48a + 16a² = (6 + 4a²)

Antwort anzeigen

Antwort

Richtig ist: 36 + 48a – 16a² = (6 + 4a)²

Frage anzeigen

Frage

Forme die Terme zu Klammertermen um


4x² + 4x + 1

Antwort anzeigen

Antwort

4x² + 4x + 1 

= (2x + 1)²

Frage anzeigen

Frage

Forme den Term zu einem Klammerterm um


s² – 4


Antwort anzeigen

Antwort

s² – 4 

= (s + 2)*(s – 2)

Frage anzeigen

Frage

Forme den Term zu einem Klammerterm um


0,04n²– 0,4n + n2

Antwort anzeigen

Antwort

0,04n² – 0,4n + n2
= (0,2n – n)²

Frage anzeigen

Frage

Forme den Term zu einem Klammerterm um


16 – 8b + b²

Antwort anzeigen

Antwort

16 – 8b + b²

= (4 – b)²

Frage anzeigen

Frage

Wie heißt unser Zahlensystem? 


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Antwort

Zehnersystem. Die zehn Ziffern 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 genügen, um jede beliebige Zahl darzustellen.

Frage anzeigen

Frage

Was sind natürliche Zahlen? 

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Antwort

Die Zahlen (1, 2, 3, 4, …), mit denen du abzählst, nennt man natürliche Zahlen

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Frage

Was ist die Menge der ganzen Zahlen? 

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Antwort

Man erweitert die natürlichen Zahlen um ihre negativen Gegenzahlen und erhält die Menge der ganzen Zahlen

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Frage

Was ist der Betrag einer Zahl? 

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Antwort

Der Abstand einer Zahl a von 0 wird ihr Betrag IaI genannt. Der Betrag einer Zahl ist immer positiv oder null.

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Frage

Wann entstehen Brüche? 

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Antwort

Wenn man ein Ganzes oder mehrere Ganze in gleich große Teile zerlegt.

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Frage

Was sagt der Zähler und Nenner eines Bruchs aus?

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Antwort

Am Nenner eines Bruches erkennt man, in wie viele Teile ins- gesamt zerlegt wird. 


Der Zähler gibt an, wie viele dieser Teile genommen werden.

Frage anzeigen

Frage

Was sind gemischte Zahlen? 

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Antwort

Gemischte Zahlen setzen sich aus einer ganzen Zahl und einem Bruch zusammen.

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Frage

Was bilden alle positiven und negativen Brüche zusammen? 

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Antwort

Die Menge der rationalen Zahlen.

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Frage

Was hat jede Zahl?

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Antwort

Jede natürliche Zahl hat eine bestimmte Anzahl von Teilern, d. h. Zahlen, durch die sie ohne Rest teilbar ist, und eine unendliche Anzahl von Vielfachen.

Frage anzeigen

Frage

Was ist die Teilermenge einer Zahl? 

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Antwort

Sämtliche Teiler einer natürlichen Zahl n bilden die endliche Teilermenge Tn.


Tn enthält stets die Teiler 1 und n, die deshalb auch als uneigentliche Teiler bezeichnet werden.

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Frage

Was ist die Teilermenge von 16?

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Antwort

T = {1; 2; 4; 8; 16}

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Frage

Was ist die Vielfachmenge einer Zahl?

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Antwort

Die Menge aller Vielfachen einer natürlichen Zahl n, die Vielfachenmenge Vn, ist im Gegensatz zur Teilermenge Tn eine unendliche Menge


Vn = (n; 2 ∙ n; 3 ∙ n; …)

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Frage

Was ist die Vielfachmenge von 3?

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Antwort

V3 = {3; 6; 9; 12; 15; …}

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Frage

Was ist der größte gemeinsame Teiler? 

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Antwort

Der größte gemeinsame Teiler (ggT) zweier oder mehrerer natürlicher Zahlen ist die größte Zahl, die alle diese Zahlen teilt.

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Frage

Was ist der größte gemeinsame Teiler von 12 und 18?

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Antwort

T12 = {1; 2; 3; 4; 6; 12} 

T18 = {1; 2; 3; 6; 9; 18} 

ggT(12; 18) = 6

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Frage

Was ist das kleinste gemeinsame Vielfache? 

Antwort anzeigen

Antwort

Das kleinste gemeinsame Vielfache (kgV) zweier oder mehrerer natürlicher Zahlen ist die kleinste Zahl, die durch alle diese Zahlen teilbar ist.

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Frage

Was ist das kleinste gemeinsame Vielfache von 12 und 18?

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Antwort

V12 = {12; 24; 36; 48; 60; 72; …} 

V18 = {18; 36; 54; 72; 90; …} 

kgV(12; 18) = 36

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Frage

Welche Endstellenregeln gibt es?

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Antwort

  • Eine Zahl ist durch 2 teilbar, wenn ihre Endziffer gerade (0, 2, 4, 6 oder 8) ist.
  • Eine Zahl ist durch 4 teilbar, wenn die beiden letzten Ziffern der Zahl 00 sind oder eine durch 4 teilbare Zahl bilden.
  • Eine Zahl ist durch 5 teilbar, wenn sie auf 0 oder 5 endet.
  • Eine Zahl ist durch 10 teilbar, wenn sie auf 0 endet.
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Frage

Ist die Zahl 916 durch 2, 4, 5 oder 10 teilbar?


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Antwort

Die Zahl 916 ist durch 2 teilbar, weil ihre Endziffer gerade ist. 


Sie ist auch durch 4 teilbar, weil die letzten beiden Ziffern (16) durch 4 teilbar sind. 


916 ist aber nicht durch 5 bzw. 10 teilbar, weil die Zahl weder auf 0 noch auf 5 endet.

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Frage

Was ist die Quersummenregel?

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Antwort

  • Eine Zahl ist durch 3 teilbar, wenn ihre Quersumme durch 3 teilbar ist.
  • Eine Zahl ist durch 9 teilbar, wenn ihre Quersumme durch 9 teilbar ist.
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Frage

Wie berechnet man die Quersumme einer Zahl?

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Antwort

Die Quersumme einer Zahl ist die Summe aller Ziffern der Zahl.

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Frage

ist die Zahl 2154 durch 3 und 9 teilbar? 

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Antwort

Quersumme = 2 + 1 + 5 + 4 = 12


Die Quersumme der Zahl und damit auch die Zahl selbst ist durch 3, aber nicht durch 9 teilbar.

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Frage

Wann ist eine Teilbarkeit durch 6 gegeben?

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Antwort

Die Teilbarkeit durch 6 = 2 ∙ 3 ergibt sich, wenn die Zahl durch 2 und durch 3 teilbar ist. 


Eine natürliche Zahl ist also durch 6 teilbar, wenn ihre Endziffer 0, 2, 4, 6 oder 8 ist und wenn ihre Quersumme durch 3 teilbar ist.

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Frage

Was sind Primzahlen? 

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Antwort

Eine natürliche Zahl heißt Primzahl, wenn sie genau zwei Teiler besitzt. Eine Primzahl ist nur durch sich selbst und 1 teilbar.


Die Zahl 1 hat nur einen Teiler, daher ist 1 keine Primzahl. Die kleinste und gleichzeitig die einzige gerade Primzahl ist 2.

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Frage

Welche Regeln gelten für römische Zahlzeichen? 

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Antwort

  • Bei absteigenden Werten der Zahlzeichen von links nach rechts werden die Werte addiert
  • Steht ein Zahlzeichen mit geringerem Wert links von einem Zeichen mit höherem Wert, wird das kleinere vom größeren subtrahiert.
  • Es werden höchstens drei gleiche Hauptzeichen hinter- einander notiert.
  • Nebenzeichen werden nicht wiederholt.
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Frage

Berechne die römische Ziffern: XI 

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Antwort

XI = 10 + 1 = 11

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Frage

Berechne die römische Ziffern: IX

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Antwort

IX = 10 - 1 = 9

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Frage

Berechne die römische Ziffern: LXXXVIII

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Antwort

LXXXVIII = 50 + 10 +10 + 10 + 5 + 1 + 1 + 1 = 88

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Frage

Berechne die römische Ziffern: XCIX

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Antwort

XCIX = (100 - 10) + (10 -1) = 90 + 9 = 99

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Frage

Berechne die römische Ziffern: MCDXIX

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Antwort

MCDXIX = 1000 +(500 - 100) + 10 + (10-1) = 1419

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Frage

Wieso kann es sinnvoll sein Werte zu runden? 

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Antwort

Manchmal ist es nicht sinnvoll, für eine Größe ganz genaue Zahlenwerte anzugeben, etwa bei der Einwohnerzahl einer Großstadt, die sich täglich ändert. 


In einem solchen Fall gibt man gerundete Zahlenwerte an. Ein (genauer) Wert wird dann durch einen Näherungswert ersetzt.

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Frage

Wann wird abgerundet? 

Antwort anzeigen

Antwort

Vor dem Runden wird die gewünschte Stelle bestimmt, auf die gerundet werden soll.


Folgt als nächste Ziffer eine 0, 1, 2, 3 oder 4, wird abgerundet. Die Ziffer an der gewünschten Stelle bleibt stehen.

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Frage

Wann wird aufgerundet? 

Antwort anzeigen

Antwort

Vor dem Runden wird die gewünschte Stelle bestimmt, auf die gerundet werden soll.


Folgt als nächste Ziffer eine 5, 6, 7, 8 oder 9, wird aufgerundet. Die Ziffer an der gewünschten Stelle wird um 1 erhöht.

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