Prisma

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Prisma


Hast du gerade das Thema Prisma in Mathe? Dann bist du hier genau richtig: In diesem Artikel erklären wir dir, was ein Prisma ist und wie du das Volumen und den Flächeninhalt eines Prismas berechnen kannst - inklusive Rechenweg!


Das Prisma ist ein geometrischer Körper und gehört somit ins Fach Mathe.

Viel Spaß beim Lernen!


Was ist ein Prisma?


Das Prisma ist im Gegensatz zur Kugel oder zum Zylinder kein eindeutig definierbarer Körper, denn er kann verschiedene Formen haben. Deswegen wird ein Prisma eher als eine Gruppe oder eine Art von geometrischen Körpern bezeichnet. 


Diese Gruppe hat als Grundfläche ein beliebiges Vieleck (z.B. Dreieck, Sechseck). Außerdem sind alle Seitenkanten parallel zueinander und somit auch gleich lang. Das heißt, dass  die gegenüber liegenden Grundflächen gleich groß sind und identisch sind.


Jeder geometrische Körper hat eine Grund-, Deck- und Mantelfläche und so auch das Prisma. Im folgendem Bild kannst du als Beispiel zwei verschiedene Prismen sehen. 


Links ist die Grundfläche des Prismas ein Dreieck. Wenn du es aufklappst, wirst du erkennen, dass die Mantelfläche aus drei Rechtecken besteht, die zusammen ein großes Rechteck ergeben.


Rechts ist die Grundfläche des Prismas ein Sechseck. Beim Aufklappen besteht der Mantel aus sechs Rechtecken, die zusammen eine große Mantelfläche eines Rechtecks bilden.


Daraus ergibt sich: Die Mantelfläche eines Prismas ist immer ein Rechteck, egal welche Form die Grundfläche hat.



via studienkreis.de

 


Wie berechne ich das Volumen eines Prismas?


Da die Grundfläche variieren kann, gibt es nicht die Volumen Formel, mit der du das Volumen von jedem Prisma berechnen kannst. Dennoch gibt es eine relativ allgemeine Formel, mit der du das Volumen berechnen kannst. Hierbei musst du einfach jedes mal die Formel für die Grundfläche ersetzen:


V (Prisma)= G ⋅ h 


G = Grundfläche


h = Höhe des Prismas


Die Grundfläche (G) ist jedes mal anders, deswegen musst du immer darauf achten, dass du die richtige Grundflächenformel einsetzt.



Beispiel zur Volumenberechnung eines Prismas


Berechne das Volumen des beschriebenen Prismas:


Die Grundfläche des Prismas ist ein Dreieck. Die Grundseite (gD) beträgt 6 cm und die Hlhe des Dreiecks (hD) beträgt 4 cm. Die Höhe des Prismas (hP) beträgt 12 cm.


In diesem Beispiel ist die Grundfläche des Prismas ein Dreieck. Also brauchen wir die Flächeninhaltsformel für das Dreieck. Die lautet:


G (Prisma) = A (Dreieck) = 1/2⋅ gD⋅ hD


Jetzt wissen wir, dass die Grundfläche ein Dreieck ist. Also können wir die Volumenformel demnach umstellen: 


V (Prisma) = G (Prisma) ⋅ h (Prisma)


↔   V (Prisma) = 1/2⋅ gD ⋅hD ⋅hP


Nun musst du nur noch die Werte einsetzen:


V (Prisma) = 1/2⋅ 6 cm ⋅ 4 cm ⋅ 12 cm = 144 cm3



Wie berechne ich die Oberfläche eines Prismas?


Auch bei dem Oberflächeninhalt gibt es nur eine relativ allgemeine Formel. Die Oberfläche besteht aus dem Flächeninhalt der Deck-, Grund- und Mantelfläche:


O (Prisma)= A (Grundfläche)+ A (Deckfläche)+ A (Mantelfläche)


Weil die Grund- und Deckfläche gleich groß sind, können wir die Formel vereinfachen:


O (Prisma)= 2 ⋅A (Grundfläche)+ A (Mantelfläche)


Je nachdem welche Form die Grundfläche des Prismas besitzt, musst du die richtige Prisma- Formel für das jeweilige Vieleck finden und einsetzen.


Wie wir dir oben bereits erklärt haben ist die Mantelfläche eines Prismas immer ein Rechteck. Und die beiden Seitenlängen dieses Rechtecks sind bekannt. Die eine Seitenlänge des Rechtecks ist der Umfang der Grundfläche (U (Grundfläche)) und die andere Seitenlänge ist die Höhe des Prismas (hP). Zur Berechnung der Mantelfläche gibt es also folgende Formel:


A (Mantel)= U (Grundfläche)⋅ hP



Beispiel Oberflächen-Berechnung eines Prismas


Berechne die Oberfläche des folgenden Prismas:


via studienkreis.de

 

Die Grund- und Deckenfläche des Prismas sind dreieckig. Du musst also die Formel für den Flächeninhalt eines Dreiecks anwenden. Daraus ergibt sich:


A (Grundfläche) = 1/2⋅ 12 cm⋅ 5 cm= 30 cm2


Als nächstes berechnest du die Mantelfläche:


A (Mante)l= U (Grundfläche) ⋅ hP= (9 cm+12 cm+6 cm)⋅ 20 cm= 540 cm2


Jetzt wissen wir, wie groß die Grund- und die Mantelfläche ist. Nun müssen wir die Werte nur noch addieren und dann erhalten wir die Oberfläche des Prismas:


O (Prisma)= 2⋅ A (Grundfläche)+ A (Mantelfläche)= 2⋅ 30 cm2+ 540 cm2= 600 cm2



Formelsammlung Prisma



Volumen 

Grundfläche 

Oberfläche 

V (Prisma)= G ⋅ h 

A (Dreieck) = 1/2⋅ gD⋅ hD

O (Prisma)= 2 ⋅A (Grundfläche)+ A (Mantelfläche)



A (Mantel)= U (Grundfläche)⋅ hP




Gut gemacht! Nachdem du alles fleißig durchgelesen hast, solltest du nun wissen, wie du das Volumen und den Oberflächeninhalt eines Prismas berechnen kannst:) Weiter so!

Finales Prisma Quiz

Frage

Welche zwei Flächen sind bei einem Prisma kongruent?

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Antwort

Bei einem Prisma sind Grund- und Deckfläche gleich in Größe und Form; Grund- und Deckfläche sind also kongruent

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Frage

Woraus kann die Grundfläche bei einem Prisma bestehen? 

Antwort anzeigen

Antwort

Die Grundfläche G kann aus einem beliebigen Vieleck bestehen (Quadrat, gleichseitiges Dreieck, regelmäßiges Sechseck). 


Auch unregelmäßige Vielecke sind möglich.

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Frage

Was ist ein gerades Prisma?

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Antwort

Bei einem geraden Prisma stehen die Seitenkanten sk senkrecht auf der Grundfläche und verlaufen zur Körperhöhe hk parallel. 


Die Höhe der Seitenfläche hs sowie sk und hk sind dann gleich lang

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Frage

Was ist ein schiefes Prisma?

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Antwort

Bei schiefen Prismen sind die Seitenkanten nicht senkrecht zur Grundfläche. Solche Körper werden nicht weiter betrachtet.

Frage anzeigen

Frage

Was sind die Seitenflächen von Prismas?

Antwort anzeigen

Antwort

Die Seitenflächen des Prismas sind Rechtecke

Frage anzeigen

Frage

Was bilden alle Seitenflächen eines Prismas zusammengenommen? 

Antwort anzeigen

Antwort

Alle Seitenflächen eines Prismas zusammengenommen bilden die Mantelfläche M 

Frage anzeigen

Frage

Was ergibt der abgewickelte Mantel eines Prismas? 

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Antwort

Ein Rechteck mit der Körperhöhe hk und dem Umfang u der Grundfläche G als Seitenlängen.

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Frage

Wie berechnet man das Volumen eines Prismas?

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Antwort

V = G ⋅ hk

mit

G = Grundfläche
hk = Körperhöhe

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Frage

Wie berechnet man die Mantelfläche eines Prismas?

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Antwort

M = u * hk

mit

u = Umfang
hk = Körperhöhe

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Frage

Wie berechnet man die Oberfläche eines Prismas? 

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Antwort

O = 2 * G + M

mit

G = Grundfläche
M = Mantelfläche (M = u * hk) 

Frage anzeigen

Frage

Der Querschnitt eines Bleibarrens ist ein gleichschenkliges Trapez mit dem Umfang u = 11,9 cm.


Berechne die Grundfläche


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Antwort

Berechnung von a

u = 3 * a + c
u - c = 3 * a
a = (u - c) / 3
a = (11,9 cm - 5 cm) / 3
a = 2, 3 cm

Berechnung der Grundfläche

G = (a + c) / 2 * ht
G = (2,3 cm + 5 cm) / 2 * 2 cm
G = 7,3 cm

Frage anzeigen

Frage

Der Querschnitt eines Bleibarrens ist ein gleichschenkliges Trapez mit dem Umfang u = 11,9 cm. Die Grundfläche beträgt 7,3 cm²


Berechne die Oberfläche und das Volumen

Antwort anzeigen

Antwort

Oberfläche


O = 2 * G + M
O = 2 * G + u * hk
O = 2 * 7,3 cm² + 11,9 cm * 6 cm
O = 86 cm²

Volumen

V = G * hk
V = 7,3 cm² * 6 cm
V = 43, 8 cm³


Volumen 

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Frage

Ist das Prisma ein klar definierter Körper?

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Antwort

Nein, es ist eine Gruppe von geometrischen Körpern.

Frage anzeigen

Frage

Wie sind die Eigenschaften der Seitenkanten eines Prismas?

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Antwort

Alle Seitenkanten sind parallel zueinander und somit gleich lang.

Frage anzeigen

Frage

Wie lautet die Volumenformel wenn das Prisma ein Dreieck als Grundfläche hat?

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Antwort

V (Prisma) = 1/2⋅ gD ⋅hD ⋅hP

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Frage

Die Grundfläche des Prismas ist ein Dreieck. Die Grundseite (gD) beträgt 6 cm und die Höhe des Dreiecks (hD) beträgt 4 cm. Die Höhe des Prismas (hP) beträgt 12 cm. Wie groß das Volumen des Prismas?

Antwort anzeigen

Antwort

Verwende hierfür die Formel für das Volumen, bei einem Prisma mit einem Dreieck als Grundfläche.


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