Kugel

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Kugel


Hast du gerade das Thema Kugel in Mathe, aber verstehst es nicht so ganz? Dann bist du hier genau richtig: In diesem Artikel erklären wir dir, was ein Kugel ist und wie du das Volumen und den Flächeninhalt einer Kugel berechnen kannst.


Die Berechnung einer Kugel erweitert den Themenbereich Geometrische Körper und gehört zum Schulfach Mathe.

Viel Spass beim Lernen!



Was ist eine Kugel?


Im dreidimensionalen Raum ist eine Kugel das, was im zweidimensionalen Raum ein Kreis ist. Sicherlich kennst du im Alltag einige Gegenstände, die kugelförmig sind, wie z.B. einen Ball.


Welche Merkmale hat eine Kugel?



KreisKugel

Mittelpunkt M

Der Abstand von Kreislinie zum Mittelpunkt ist überall gleich. M = (x/y)

Der Abstand von Kugeloberfläche zum Zentrum ist überall gleich.

M = (x/y/z)

Radius r

Die Strecke r geht von einem Punkt P auf der Kreislinie zu M. 

Die Strecke r geht von einem Punkt P auf der Kugeloberfläche zu M.

Dimension

Ein Kreis befindet sich auf einer Ebene.

Eine Kugel befindet sich in einem Raum.

Zusammenfassung

Beim Kreis haben alle Punkte auf einer Ebene denselben Abstand r zum Mittelpunkt M.

Bei der Kugel haben alle Punkte in einem Raum denselben Abstand r zum Zentrum M.




via kapiert.de

 



Wie berechne ich das Volumen einer Kugel?


Da die Kugel ein Kreis im dreidimensionalen Raum ist, müssen wir mit π rechnen. Die Formel zur Berechnung des Volumens einer Kugel lautet:


V (Kugel) = 4/3⋅π⋅r³



Beispiel zur Volumen-Berechnung einer Kugel

Berechne das Volumen einer Billardkugel, die einen Durchmesser d von 57,2mm hat.


  • Als erstes musst du beachten, dass Durchmesser d nicht gleich Radius heißt. Der Durchmesser beträgt nämlich das doppelte vom Radius. Damit rechnen wir als erstes:


r = d/2 → r = 57,2 mm/2 → r = 28,6 mm


  • Nun kannst du den Wert in die Formel einsetzen und ausrechnen:

  • V (Kugel) = 4/3⋅π⋅r³
  •  → V (Kugel) = 4/3⋅(28,6 mm)⋅r³
  • → V (Kugel) = 97991, 1171...mm³ ≈ 98 000 mm³ = 98,0 cm³ 


  • Damit hat die Billardkugel ein Volumen von 98,0 cm³ .


Wie berechne ich den Oberflächeninhalt einer Kugel?


Die Formel um den Flächeninhalt einer Kugel auszurechnen lautet wie folgt: 


O (Kugel) = 4⋅π⋅r²


Beispiel zur Berechnung des Oberflächeninhalts einer Kugel


Ein offizieller Basketball hat einen Oberflächeninhalt von 576πcm2. Was ist dann der Radius r?


  1. Zuerst musst du die Formel nach r² umstellen:

    1. O (Basketball) = 4⋅π⋅r²

    2. → O (Basketball) / 4⋅π = r²


  1. Als nächstes musst du die Wurzel ziehen, damit am Ende nur noch r dasteht:

    1. √O (Basketball/ 4⋅π


  1. Nun kannst du den gegebenen Wert einsetzen:

    1. √576π cm²/ 4⋅π = 12 cm


  1. Der Radius des Basketballs beträgt somit 12cm. 


Wie berechne ich den Umfang einer Kugel?


Der Kugelumfang befindet sich an der breitesten Stelle der Kugel. Dies entspricht einem Kreis. Man legt also quasi ein Maßband um die geometrische Figur und misst dann dessen Breite. Die Formel dafür lautet:


U(Kugel)= 2⋅π⋅r


Beispiel Umfangsberechnung einer Kugel


Welchen Umfang hat eine Eiskugel mit dem Radius r=2cm?


  1. Setze den gegebenen Wert in die Formel ein:

    1. U(Eiskugel)= 2⋅π⋅r

    2. → U(Eiskugel)= 2⋅π⋅2 cm = 4π cm


  1. Diese Eiskugel hat einen Umfang von 4π cm.


Formelsammlung und Zusammenfassung Kugel


Zum Schluss haben wir dir ein Bild vorbereitet, wo alles nochmal zusammengefasst drauf steht mitsamt den ganzen Formeln, die du wissen solltest:



Gut gemacht! Nachdem du alles fleißig durchgelesen hast, solltest du nun wissen, wie du das Volumen und den Oberflächeninhalt einer Kugel berechnen kannst:) Weiter so!


Finales Kugel Quiz

Frage

Wie berechnet man das Volumen einer Kugel?

Antwort anzeigen

Antwort

V = 4 / 3 * π * r³

Frage anzeigen

Frage

Wie berechnet man die Oberfläche einer Kugel?

Antwort anzeigen

Antwort

O = 4 * π * r² = π * d²

Frage anzeigen

Frage

Der Radius einer aufblasbaren Kugel verdoppelt sich. 


Wie groß ist nun das Volumen der Kugel im Vergleich zum Ausgangszustand?

Antwort anzeigen

Antwort

Neuer Radius r(neu) = 2 * r 


V(neu) = 4 / 3 * π * r(neu)³
V(neu) = 4 / 3 * π * (2r)³
V(neu) = 4 / 3 * π * 8 *r³
V(neu) = 8 * V(alt)

Das Volumen ist achtmal so groß. 

Frage anzeigen

Frage

Berechne das Volumen einer Kugel mit dem Radius r = 5 cm.

Antwort anzeigen

Antwort

V = 4 / 3 * π * (5 cm)³
V = 4 / 3 * π * 125 cm³
V = 523,60 cm³

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Frage

Das Volumen einer Kugel beträgt 2 500 cm³. Berechne den Radius der Kugel.

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Antwort

V = 4 / 3 * π * r³
r³ = (3 * V) / (4 * π)
r³ = (3 * 2500 cm³) / (4 * π)
r³ = 596,83 cm³
r = 596,83 cm³^1/3
r = 8,42 cm 


Der Radius der Kugel beträgt 8,42 cm

Frage anzeigen

Frage

Der Radius einer Kugel beträgt 8,42 cm. Berechne die Oberfläche der Kugel.


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Antwort

O = 4 * π * r²
O = 4 * π * 8,42 cm²
O = 890,91 cm²

Die Oberfläche beträgt 890,91 cm²

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Frage

Gibt es Kugeln, bei denen die Maßzahlen für Volumen und Oberfläche übereinstimmen? Für welche Radien r ist dies der Fall?

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Antwort

V = A
4 / 3 * π * r² = 4 * π * r²
1/ 3 r = 1
r = 3

Nur für eine Kugel mit r = 3 sind die Maßzahlen für Volumen und Oberfläche gleich.

Frage anzeigen

Frage

Wie ist der Abstand von der Kugeloberfläche zum Zentrum?

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Antwort

 Der Abstand ist überall gleich.

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Frage

Wo läuft der Radius r einer Kugel entlang?

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Antwort

r ist eine Strecke, die von einem Punkt P auf der Kugeloberfläche zu M verläuft.

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Frage

Wie groß ist das Volumen einer Billardkugel, die einen Durchmesser d von 57,2mm hat?

Antwort anzeigen

Antwort

Setze den Wert in die Volumenformel ein.


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Frage

Wie lang ist der Radius eines Basketballs mit einem Oberflächeninhalt von 576πcm²?

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Antwort

r = 12cm

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Frage

Wie lautet die Formel für den Umfang einer Kugel?

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Antwort


Frage anzeigen

Frage

Welchen Umfang hat eine Eiskugel mit einem Radius r von 2cm?

Antwort anzeigen

Antwort


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