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Geometrische Körper

Frage

Wie viele Grundflächen gibt es bei einer Pyramide?

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Antwort

Bei der Pyramide gibt es nur eine Grundfläche G

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Frage

Welche Form kann die Grundfläche einer Pyramide besitzen? 

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Antwort

Wie beim Prisma kann die Grundfläche aus einem beliebigen Vieleck (z. B. Quadrat, gleichseitiges Dreieck, regelmäßiges Sechseck) bestehen

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Frage

Wie berechnet man das Volumen einer Pyramide? 

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Antwort

V = 1 / 3 * G * hk

mit

G= Grundfläche
hk = Körperhöhe

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Frage

Wie berechnet man die Oberfläche einer Pyramide? 

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Antwort

O = G + M

mit

G= Grundfläche
M = Mantelfläche

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Frage

Wie berechnet man das Volumen bei einer quadratischen Pyramide?

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Antwort

V = 1/3 * a² * hk

mit

hk = Körperhöhe
a = Grundseite

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Frage

Wie berechnet man die Mantelseite einer quadratischen Pyramide? 


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Antwort

M = 4 * (a * hs / 2 ) = 2 * a * hs

mit

a = Grundseite
hs = Höhe der Seitenfläche

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Frage

Wie berechnet man die Oberfläche einer quadratischen Pyramide?

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Antwort

O = a² + 2 * a * hs

mit


a = Grundseite
hs = Höhe der Seitenfläche

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Frage

Was ist eine quadratische Pyramide?

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Antwort

Bei einer quadratischen Pyramide bezeichnet man die Grundkanten mit a. Der Mantel M besteht aus gleichschenkligen Dreiecken mit der Grundseite a und der Höhe hs.

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Frage

Welche Fläche hat die Grundfläche G bei einem Kegel?

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Antwort

Beim (geraden) Kegel ist die Grundfläche G eine Kreisfläche

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Frage

Wie berechnet man das Volumen eines Kegels?

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Antwort

V = 1 / 3 * π * r² * hk

mit

r = Radius
hk = Höhe des Körpers

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Frage

Wie berechnet man die Mantelfläche eines Kegels?

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Antwort

M = 1 / 2 * b * s = π * r * s

mit

r = Radius
b= Umfang des Grundkreises
s = Mantellinie

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Frage

Wie berechnet man den Umfang eines Kegels?

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Antwort

Umfang u = 2 * π * r

mit

r = Radius

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Frage

Wie berechnet man die Oberfläche eines Kegels?

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Antwort

O = π * r² + π * r * s
O = π * r * (r + s)

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Frage

Berechne für einen Kreiskegel mit dem Grundkreisradius r = 7 cm und der Höhe h = 17 cm den Mittelpunktswinkel?

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Antwort

Maß des Mittelpunktswinkels:


a / 360° * π * s² = r*π*s
a / 360 = r / s
a = r / s * 360°
a = 7 cm / 18,38 cm * 360°
a = 137,11°

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Frage

Berechne für einen Kreiskegel mit dem Grundkreisradius r = 7 cm und der Höhe h = 17 cm das Volumen

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Antwort

V = 1 / 3 * r² * π * h
V = 1 / 3 * (7 cm)² * π * 17 cm
V = 872,32 cm³

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Frage

Berechne für einen Kreiskegel mit dem Grundkreisradius r = 7 cm und der Höhe h = 17 cm die Mantelfläche

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Antwort

Mantelfläche:

M = r * π * s
M = 7 cm * π * 18,38 cm
M = 404,20 cm²

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Frage

Berechne für einen Kreiskegel mit dem Grundkreisradius r = 7 cm und der Höhe h = 17 cm die Oberfläche

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Antwort

Oberfläche

O = G + M

O = (7 cm)² * π + M = (7 cm)² + π * r * s
O = (7 cm)² * π + π * 7 cm * 18,38 cm
O = 153,94 cm² + 404,20 cm²
O = 558,14 cm² 

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Frage

Die Mantelfläche eines Kreiskegels ist durch einen Kreissektor mit dem Radius s = 15 cm und einen Mittelpunktswinkel ϕ = 135° gegeben. Berechne die Höhe des Kegels

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Antwort

Höhe des Kegels:
s² = h² + r²
h² = s² - r²
h² = (15 cm)² - (5,62 cm)²
h² = 193,42 cm²
h = 13,91 cm

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Frage

Die Mantelfläche eines Kreiskegels ist durch einen Kreissektor mit dem Radius s = 15 cm, Radius des Kegels r = 5,62 cm und einen Mittelpunktswinkel ϕ = 135° gegeben. Berechne das Volumen des Kegels

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Antwort

V = 1 / 3 * π * r² * h
V = 1 / 3 * (562 cm)² * π * 13,91 cm
V = 457,62 cm³

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Frage

Die Mantelfläche eines Kreiskegels ist durch einen Kreissektor mit dem Radius s = 15 cm, Radius des Kegels r = 5,62 cm, der Mantelfläche = 265,07 cm und einen Mittelpunktswinkel ϕ = 135° gegeben. Berechne die Oberfläche des Kegels

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Antwort

Oberfläche 

O = G + M

O = r² ⋅ π + M

O = (5,62 cm)² ⋅ π + M 

O = 99,22 cm² + 265,07 cm²

O = 364,30 cm²

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Frage

Wonach werden Pyramiden im Allgemeinen benannt?

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Antwort

Pyramiden werden im Allgemeinen nach der Anzahl ihrer Seitenflächen benannt, die den Mantel bilden

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Frage

Was sind die Seitenflächen von Dreiecken?

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Antwort

Die Seitenflächen sind Dreiecke.

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Frage

Haben Pyramiden mit gleich großer Grundfläche und gleicher Höhe das gleiche Volumen? 

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Antwort

Ja. Pyramiden mit gleich großer Grundfläche G und gleicher Höhe h haben das gleiche Volumen V.

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Frage

Eine Pyramide hat das Rechteck ABCD mit AB = 16 cm und BC = 06 cm als Grundfläche. Die Pyramidenspitze S liegt senkrecht über dem Diagonalenschnittpunkt M der Grundfläche, wobei MS = 12 cm ist.


Berechne das Volumen V

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Antwort

V = 1 / 3 * G * h

V = 1 / 3 * AB * BC * MS
V = 1 / 3 * 16 cm * 6 cm * 12 cm
V = 384 cm²

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Frage

Eine Pyramide hat das Rechteck ABCD mit AB = 16 cm und BC = 06 cm als Grundfläche. Die Pyramidenspitze S liegt senkrecht über dem Diagonalenschnittpunkt M der Grundfläche, wobei MS = 12 cm ist. Die Mantelfläche beträgt 284,8 cm²


Berechne Oberfläche O

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Antwort

O = G + M
O = AB * BC + M
O = 16 cm * 6 cm + 284,8 cm²
O = 380,8 cm²

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Frage

Was ist das Netz eines Körpers?

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Antwort

Das Netz eines Körpers ist eine zweidimensionale Darstellung seiner Oberfläche, die man sich längs der Kanten in geeigneter Weise aufgeschnitten und in die Ebene ausgebreitet vorstellt. 


Grund-, Deck- und Seitenflächen werden in wahrer Größe wiedergegeben.

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Frage

Was ist die Zweitafelprojektion?

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Antwort

Die Zweitafelprojektion bietet eine weitere Möglichkeit, sich eine Vorstellung von der räumlichen Gestalt eines Körpers zu machen. 


Dabei werden die Punkte eines Körpers senkrecht auf zwei Ebenen projiziert.

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Frage

Beschreibe die Darstellung eines Körpers bei einer Zweitafelprojektion

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Die Projektion des Körpers in die horizontale Grundrissebene liefert die Ansicht des Körpers von oben. 


Die Projektion des Körpers in die vertikale Aufrissebene ergibt die Ansicht von vorn. Grund- und Aufrissebene stehen senkrecht aufeinander. 


Die Schnittgerade der beiden Ebenen heißt Rissachse.

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Frage

Was ist der Nachteil bei der Darstellung von Körpern mit Netz oder Zweitafelprojektion?

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Antwort

Netz und Zweitafelprojektion vermitteln keine richtige räumliche Anschauung

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Frage

Wie kann man einen räumlichen Eindruck eines Körpers erhalten? 

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Antwort

Durch das Zeichnen eines Schrägbild des Körpers.

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Frage

Was ist beim Zeichnen des Schrägbildes eines Körpers zu beachten? 

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Antwort

  • Alle Strecken, die parallel zur Bildebene liegen, werden in ihrer wahren Länge wiedergegeben. 
  • Strecken, die senkrecht zur Bildebene stehen, werden unter dem Winkel ϕ (Verzerrungswinkel) gegen die Schrägbildachse geneigt und mit einem Faktor q (Verkürzungsfaktor) verkürzt gezeichnet. Für den Verzerrungswinkel und den Verkürzungsfaktor gelten in der Regel:
    ϕ = 45° und q = 1 / 2
  • Strecken, die nicht sichtbar sind, werden gestrichelt gezeichnet.
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Frage

Welche zwei Flächen sind bei einem Prisma kongruent?

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Bei einem Prisma sind Grund- und Deckfläche gleich in Größe und Form; Grund- und Deckfläche sind also kongruent

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Frage

Woraus kann die Grundfläche bei einem Prisma bestehen? 

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Antwort

Die Grundfläche G kann aus einem beliebigen Vieleck bestehen (Quadrat, gleichseitiges Dreieck, regelmäßiges Sechseck). 


Auch unregelmäßige Vielecke sind möglich.

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Frage

Was ist ein gerades Prisma?

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Antwort

Bei einem geraden Prisma stehen die Seitenkanten sk senkrecht auf der Grundfläche und verlaufen zur Körperhöhe hk parallel. 


Die Höhe der Seitenfläche hs sowie sk und hk sind dann gleich lang

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Was ist ein schiefes Prisma?

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Bei schiefen Prismen sind die Seitenkanten nicht senkrecht zur Grundfläche. Solche Körper werden nicht weiter betrachtet.

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Frage

Was sind die Seitenflächen von Prismas?

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Antwort

Die Seitenflächen des Prismas sind Rechtecke

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Frage

Was bilden alle Seitenflächen eines Prismas zusammengenommen? 

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Antwort

Alle Seitenflächen eines Prismas zusammengenommen bilden die Mantelfläche M 

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Frage

Was ergibt der abgewickelte Mantel eines Prismas? 

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Antwort

Ein Rechteck mit der Körperhöhe hk und dem Umfang u der Grundfläche G als Seitenlängen.

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Frage

Wie berechnet man das Volumen eines Prismas?

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Antwort

V = G ⋅ hk

mit

G = Grundfläche
hk = Körperhöhe

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Frage

Wie berechnet man die Mantelfläche eines Prismas?

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Antwort

M = u * hk

mit

u = Umfang
hk = Körperhöhe

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Frage

Wie berechnet man die Oberfläche eines Prismas? 

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Antwort

O = 2 * G + M

mit

G = Grundfläche
M = Mantelfläche (M = u * hk) 

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Frage

Wie berechnet man das Volumen eines Würfels?

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Antwort

V = a³


mit a = Seitenlänge 

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Frage

Wie berechnet man die Oberfläche eines Würfels?

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Antwort

O = 6 * a²

mit a = Seitenlänge 

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Frage

Wie berechnet man die Raumdiagonale eines Würfels?

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Antwort

d = a * 3^0,5

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Frage

Wie berechnet man das Volumen eines Quaders?

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Antwort

V = a * b * c

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Wie berechnet man die Raumdiagonale eines Quaders?

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Antwort

d = (a² + b² + c²)^0,5

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Frage

Was ist die Grundfläche bei einem Zylinder? 

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Antwort

Beim Zylinder ist die Grundfläche G eine Kreisfläche mit dem Radius r.

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Wie berechnet man das Volumen eines Zylinders?

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Antwort

V = π ⋅ r² ⋅ hk

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Frage

Wie berechnet man die Mantelfläche eines Zylinders?

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Antwort

M = 2 ⋅ π ⋅ r ⋅ hk

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Frage

Wie berechnet man die Oberfläche eines Zylinders?

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Antwort

O = 2 ⋅ π ⋅ r² + 2 ⋅ π ⋅ r ⋅ hk 

O = 2 ⋅ π ⋅ r ⋅ (r + hk)

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