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Ein Geodreieck auf seinem Finger zu balancieren, ist gar nicht so leicht. Du musst den richtigen Punkt erwischen und sobald der Finger auch nur einen Zentimeter nach links oder rechts verrutscht, fällt das Geodreieck runter. Woran liegt das? Jeder Körper hat einen Schwerpunkt, um den die Masse des Körpers gleichmäßig verteilt ist.
Wo dieser Schwerpunkt bei einem Dreieck liegt und wie Du ihn berechnen und konstruieren kannst, erfährst Du in dieser Erklärung.
Dreiecke haben verschiedene Eigenschaften. Sie können spitzwinklig, rechtwinklig oder stumpfwinklig sein. Sie können gleichseitig, gleichschenklig oder unregelmäßig sein. Trotzdem sind sie alle Dreiecke, die eine gemeinsame, allgemeine Definition besitzen.
Das Dreieck ABC ist eine geometrische Figur, bei welcher drei Punkte verbunden werden. Die drei Punkte dürfen dabei nicht auf einer Geraden liegen. Die Verbindungsstrecken zwischen den Punkten heißen Dreiecksseiten a, b und c.
Abbildung 1: Definition Dreieck
Die Verbindungsstrecken werden nach dem gegenüberliegendem Eckpunkt benannt.
Mehr zu Dreieck erfährst Du in der Erklärung „Dreieck“.
Neben dem Umkreismittelpunkt und Inkreismittelpunkt ist der Schwerpunkt ein besonderer Punkt des Dreiecks, den Du kennen solltest.
Der Schwerpunkt eines Dreiecks ist der eindeutige Punkt im Dreieck, in dem sich die drei Seitenhalbierenden schneiden. Er wird auch Massenmittelpunkt oder physikalischer Schwerpunkt der Dreiecksfläche genannt.
Der Schwerpunkt liegt auf dem Schnittpunkt der Seitenhalbierenden.
Abbildung 2: Schwerpunkt Dreieck
Auf besondere Weise teilt der Schwerpunkt die Seitenhalbierenden.
Die Seitenhalbierenden werden vom Schwerpunkt im Verhältnis 2:1 geteilt.
Das heißt, dass die Seitenhalbierende vom Eckpunkt zum Schwerpunkt doppelt so lang ist wie die Seitenhalbierende vom Schwerpunkt zur Dreiecksseite.
Aufgabe 1
In dem folgenden Dreieck sind die Seitenhalbierenden eingezeichnet und mit ihren Längen beschriftet. Überprüfe, ob das oben definierte Verhältnis der Seitenhalbierenden zwischen Schwerpunkt, Ecken und Dreieckseiten stimmt.
Abbildung 3: Seitenhalbierenden Verhältnis
Lösung
Du überprüfst das Verhältnis, indem Du die Strecken zwischen Schwerpunkt und Seitenmittelpunkt multiplizierst mit 2. Das vergleichst Du anschließend mit den Strecken zwischen Schwerpunkt und Eckpunkt.
Bei allen drei Seitenhalbierenden stimmt das Verhältnis überein.
Zum Konstruieren des Schwerpunktes eines Dreiecks benötigst Du einen Zirkel und ein Lineal oder Geodreieck.
| Beschreibung | Visualisierung |
| 1. SchrittZeichne Dir zunächst ein beliebiges Dreieck, dessen Schwerpunkt Du konstruieren möchtest. |
|
| 2. SchrittKonstruiere für alle drei Seiten des Dreiecks den Seitenmittelpunkt. Dafür konstruierst Du die Mittelsenkrechte des Dreiecks. Der Schnittpunkt der Mittelsenkrechten mit der jeweiligen Dreiecksseite ist der Seitenmittelpunkt. Um zu erfahren, wie Du eine Mittelsenkrechte konstruierst, schau in der Erklärung Mittelsenkrechte konstruieren nach. |
|
| 3. SchrittVerbinde die Seitenmittelpunkte mit den Eckpunkten. Du erhältst die Seitenhalbierenden. |
|
| 4. SchrittDer Schnittpunkt der Seitenhalbierenden ist der Schwerpunkt S. |
|
Mehr zu der Konstruktion des Schwerpunktes eines Dreiecks erfährst Du in der Erklärung „Schwerpunkt eines Dreiecks konstruieren“.
Das gleichseitige Dreieck ist ein besonderes spitzwinkliges Dreieck. Alle Seiten dieses Dreiecks sind gleich lang und alle Winkel sind gleich groß. Bei diesen Dreiecken sind die Winkelhalbierenden gleichzeitig die Mittelsenkrechten. Schlussfolgernd sind auch die Seitenhalbierenden gleich der Mittelsenkrechten/Winkelhalbierenden.
Diese Dreiecke besitzen den Schwerpunkt S, Inkreismittelpunkt MI und den Umkreismittelpunkt MU in einem Punkt.
Abbildung 8: Schwerpunkt gleichseitiges Dreieck
Weitere besondere Dreiecke sind die gleichschenkeligen Dreiecke, dabei sind zwei Seiten des Dreiecks gleich lang und zwei Winkel gleich groß. In folgendem gleichschenkligen Dreieck fällt die Seitenhalbierende sc, die Mittelsenkrechte mc und die Winkelhalbierende wy zusammen. Auf dieser Strecke liegen der Schwerpunkt S, Umkreismittelpunkt MU und Inkreismittelpunkt MI.
Abbildung 9: Schwerpunkt gleichschenkliges Dreieck
Anders als beim gleichseitigen oder gleichschenkligen Dreieck kannst Du bei rechtwinkligen Dreiecken den Schwerpunkt nicht auf einer Linie mit dem Inkreis- oder Umkreismittelpunkt verorten. Das rechtwinklige Dreieck hat keine vorausgesetzte Besonderheit in den Seitenlängen, weshalb die Seitenhalbierenden in jedem rechtwinkligen Dreieck anders liegen.
Abbildung 10: Schwerpunkt rechtwinkliges Dreieck
Bislang hast Du den Schwerpunkt eines Dreiecks durch Zeichnen bzw. Konstruieren ermittelt. Jetzt geht es darum, ihn zu berechnen. Punkte im Koordinatensystem können entweder als Koordinaten oder als Vektoren dargestellt werden. Deshalb gibt es zwei verschiedene Ansätze bzw. Formeln, wie Du den Schwerpunkt eines Dreiecks mit drei Punkten A, B, und C berechnen kannst.
Im zweidimensionalen Koordinatensystem hast Du zwei Möglichkeiten, den Schwerpunkt zu berechnen. Als Erstes wird Dir die Möglichkeit ohne Vektoren vorgestellt. Du benötigst für die x- und y-Koordinate jeweils eine Formel.
Den Schwerpunkt eines Dreiecks, mit den Punkten 
, 
und 
kannst Du mit folgenden Formeln berechnen:
und 
,
wobei 
der Mittelpunkt der Strecke 
ist. Dieser berechnet sich mit den Formeln:
und 
.
Das sieht auf den ersten Blick sehr viel aus, ist es jedoch nicht. Die Formeln mit dem x sind genau die gleichen wie die mit dem y. Es werden der Aufgabe nur andere Werte entnommen.
Bei 
handelt es sich um den Mittelpunkt der Strecke 
, genauer gesagt der Seite a. Mit der Formel von diesem Mittelpunkt kannst Du auch den Mittelpunkt der Seite b oder c errechnen.
Abbildung 11: Schwerpunkt Dreieck Formel
Aufgabe 2
Berechne den Schwerpunkt des Dreiecks mit den Punkten
, 
und 
.
Lösung
Als Erstes berechnest Du den x-Wert von M1. Dazu setzt Du jeweils die x-Werte von Punkt B und C in die Formel ein.
Danach berechnest Du die x-Koordinate vom Schwerpunkt S. Hier setzt Du den x-Wert von Punkt A und den gerade berechneten x-Wert von M1 in die Formel ein.
Jetzt berechnest Du den y-Wert von M1. Dabei gehst Du analog vor wie bei der Ermittlung der x-Werte, mit dem Unterschied, dass Du jetzt die y-Werte entsprechend in die Formeln einsetzt.
Anschließend berechnest Du die y-Koordinate des Schwerpunktes.
Zum Schluss schreibst Du die Koordinaten des Schwerpunktes auf.
Die Koordinaten des Schwerpunktes des Dreiecks sind 
.
Den Schwerpunkt kannst Du nicht nur über Formeln errechnen, sondern auch mithilfe von Vektoren.
Wenn Du Dir unsicher bei der Vektorrechnung bist, ließ einmal im Themengebiete „Vektorrechnung in der Ebene“ nach.
Spannen drei Vektoren 
, 
und 
ein Dreieck im zweidimensionalen Raum auf,
kannst Du den Schwerpunkt S des Dreiecks mit folgender Formel berechnen
.
Die Formel aus der Definition kannst Du mit dem Wissen aus der Vektorrechnung auch ausschreiben. Dann sieht sie folgendermaßen aus:
Wenn das Dreieck im dreidimensionalen Raum liegt, wird der Formel die z-Koordinate hinzugefügt.
Aufgabe 3
Berechne den Schwerpunkt S des Dreiecks mit den Punkten 
, 
und 
.
Abbildung 12: Schwerpunkt DreieckVektoren
Lösung
Beginne, indem Du die Punkte bzw. Vektoren mit den entsprechenden x- und y-Werten in die Formel einsetzt.
Nun rechne den Ortsvektor von S aus.
Zum Schluss schreibst Du Dir 
in eine Koordinate um.
Der Schwerpunkt des Dreiecks liegt im Punkt 
.
Wie Du den Schwerpunkt mit Vektoren im zweidimensionalen Koordinatensystem errechnest, weißt Du bereits. Jetzt lernst Du, wie Du es auch im dreidimensionalen Koordinatensystem schaffst. Dafür benötigst Du neben der x- und y-Koordinate auch noch eine z-Koordinate.
Spannen drei Vektoren 
, 
und 
ein Dreieck im dreidimensionalen Raum auf, kannst Du den Schwerpunkt S des Dreiecks mit folgender Formel berechnen
.
Ausgeschrieben sieht die Formel folgendermaßen aus
.
Wenn Du eine Auffrischung zu Vektoren benötigst, schau einmal im Themenbereich „Vektoren im dreidimensionalen Koordinatensystem“ nach.
Aufgabe 4
Berechne den Schwerpunkt S des Dreiecks mit den Punkten
und 
.
Abbildung 13: Schwerpunkt Dreieck Vektoren
Lösung
Als Erstes setzt Du alle Werte in die Gleichung ein.
Danach rechnest Du den Ortsvektor von S aus.
Zum Schluss schreibst Du 
noch in den Punkt S um.
Der Schwerpunkt des Dreiecks hat die Koordinaten 
.
Jetzt kannst Du Dein eben erlerntes Wissen testen.
Aufgabe 5
Konstruiere den Schwerpunkt S des Dreiecks ABC. Beschreibe Dein Vorgehen.
Abbildung 14: Schwerpunkt Dreieck konstruieren
Lösung
Als Erstes zeichnest Du das Dreieck. Danach konstruierst Du die Mittelsenkrechten aller drei Dreiecksseiten. Nun verbindest Du die Mittelpunkte der Seiten mit dem jeweils gegenüberliegenden Eckpunkt. Du erhältst die Seitenhalbierenden. Der Schnittpunkt der Seitenhalbierenden ist der Schwerpunkt S.
Abbildung 15: Schwerpunkt Dreieck konstruieren
Aufgabe 6
Berechne den Schwerpunkt S des Dreiecks mit den Punkten
, 
und 
.
Lösung
Variante 1:
Setze die Werte in die Gleichung ein.
Jetzt berechne den Ortsvektor von S.
Zum Schluss schreibe 
in einen Punkt um.
Variante 2:
Berechne als Erstes den x und y Werte von M1.
M1 hat die Koordinaten 
. Diese setzt Du jetzt in die jeweilige Gleichung für den Schwerpunkt und berechnest diesen.
Der Schwerpunkt hat die Koordinaten 
.
Um den Schwerpunkt zu konstruieren, konstruierst Du als Erstes von allen drei Seiten die Mittelsenkrechte. Den Schnittpunkt der Mittelsenkrechten mit der Seite verbindest Du mit dem gegenüberliegenden Eckpunkt. Diese Strecke ist die Seitenhalbierende. Der Schnittpunkt der drei Seitenhalbierenden ist der Schwerpunkt des Dreiecks.
Der Schwerpunkt eines Dreiecks ist der Punkt im Dreieck, in dem sich die drei Seitenhalbierenden schneiden. Er wird auch Massenmittelpunkt oder physikalischer Schwerpunkt der Dreiecksfläche genannt. In diesem Punkt kannst Du ein Dreieck auf Deiner Fingerspitze balancieren, ohne dass es runterfällt.
Der Schwerpunkt liegt immer innerhalb des Dreiecks. Außerhalb des Dreiecks kann der Schwerpunkt nicht liegen.
Der Umkreismittelpunkt gibt den Mittelpunkt des Umkreises an. Er liegt im Schnittpunkt der Mittelsenkrechten, weshalb er auch außerhalb des Dreiecks liegen kann. Der Schwerpunkt liegt auf dem Schnittpunkt der Seitenhalbierenden, welcher immer innerhalb des Dreiecks liegt.
Der Schwerpunkt eines rechtwinkligen Dreiecks liegt im Schnittpunkt der Seitenhalbierenden. Es gibt keine Besonderheiten beim Schwerpunkt eines rechtwinkligen Dreiecks.
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