Umkehrfunktion

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Im folgenden Artikel geht es um die Umkehrfunktionen, ein wichtiges Thema im Bereich der Funktionen in der Mathematik. Du erfährst unter anderem, wie man eine Umkehrfunktion bildet, wie man sie ableitet und was man bei verschiedenen Umkehrfunktionen beachten sollte. Wenn du noch nicht sicher bist, was es mit diesen Funktionen auf sich hat, bekommst du hier alle wichtigen Informationen, die du brauchst. Viel Spaß beim Lernen!


Was ist eine Umkehrfunktion?

Um zu verstehen, was eine Umkehrfunktion ist, sollte man zunächst rekapitulieren, wie genau eine Funktion definiert ist. Eine Funktion ist nämlich eine Beziehung zwischen zwei Mengen, die jedem Element der einen Menge genau ein Element der anderen Menge zuordnet. Genauer gesagt ist eine Funktion eine Zuordnung, bei der jedem Element x der Definitionsmenge D genau ein Element y der Wertemenge W zugeordnet ist.


Eine Umkehrfunktion ordnet nun, wie der Name schon sagt, die Variablen umgekehrt zu. Das bedeutet, dass der x-Wert und y-Wert vertauscht werden. Die Umkehrfunktion der Funktion f(x) wird mit  gekennzeichnet. Eine Funktion f besitzt also eine Umkehrfunktion , wenn jedem Element y der Wertemenge W genau ein Element x der Definitionsmenge D zugeordnet ist.


Wichtig ist, dass grundsätzlich nicht jede Funktion eine Umkehrfunktion besitzt. Die Umkehrfunktion der Umkehrfunktion ist wiederum die ursprüngliche Funktion, also . Graphisch kann die Bestimmung der Umkehrfunktion als Spiegelung des Funktionsgraphen an der Winkelhalbierenden interpretiert werden.


Eine Umkehrfunktion bilden

Den x-Wert und y-Wert zu vertauschen, ist nur möglich, wenn es für jeden Funktionswert y nur einen x-Wert gibt. Die umkehrbare oder invertierbare Funktion muss daher eindeutig sein. Unter Umständen muss also der Definitionsbereich einer Funktion eingeschränkt werden, damit die Funktion umkehrbar wird. Hierfür schauen wir uns nun konkrete Beispiele an. 


Die Umkehrfunktion von linearen Funktionen

Als Beispiel für die Vorgehensweise nehmen wir folgende lineare Funktion: 




Um die Umkehrfunktion zu erhalten, löst man im ersten Schritt die Gleichung nach x auf. Man schreibt dabei statt f(x) einfach y:


                                                                                   


Als nächstes schreibt man lediglich y statt x und x statt y und tauscht die beiden Seiten der Gleichung:


                                                                                   


Die Funktion  hat also die Umkehrfunktion . Im Bild erkennst du beide Funktionsgraphen und wie der Graph an der Winkelhalbierenden gespiegelt wird.               


 (Quelle: studyflix.de)

            

Die Umkehrfunktion von quadratischen Funktionen


Das Prinzip, die Funktionsgleichung nach x aufzulösen und die Variablen x und y dann zu tauschen, bleibt auch bei den quadratischen Funktionen gleich. Allerdings besteht hier das Problem, dass für einen y-Wert immer zwei x-Werte infrage kommen. Wie bereits angedeutet, muss man in diesem Fall den Definitionsbereich einschränken, also nur einen Teil der Funktion betrachten, um die Umkehrfunktion zu bestimmen. 


Haben wir als Beispiel den Graphen der Funktion , ist eine Möglichkeit, nur die positiven x-Werte zu betrachten.


Notieren kann man das Ganze folgendermaßen:


                                                                                           



Indem man nun nach x auflöst, erhält man die Umkehrfunktion:


                                                                                       


Bei der Wurzel erhält man nur positive Werte, da man nur positive x-Werte betrachtet hat. Der letzte Schritt ist nun, x und y zu vertauschen. Man erhält dann:


                                                                                       


Auch auf der Abbildung sind beide Funktionsgraphen, sowie die Winkelhalbierende zu erkennen. Beachte dabei, dass nur der positive Bereich der Funktionen gezeigt wird.  


(Quelle: studyflix.de)


Spezielle Umkehrfunktionen

Als Letztes werfen wir noch einen kurzen Blick auf die Umkehrfunktionen der ln- und e-Funktion, sowie auf die der trigonometrischen Funktionen


Für die e-Funktion  muss man die Umkehrfunktion nicht mit den beiden oben genannten Schritten berechnen. Die Umkehrfunktion ist stattdessen direkt durch die ln-Funktion  gegeben.  ist nämlich als natürlicher Logarithmus zur Basis e definiert.  


(Quelle: studyflix.de)


Die trigonometrischen Funktion Sinus (sin), Kosinus (cos) und Tangens (tan) müssen in ihrem Definitionsbereich eingeschränkt werden, um umkehrbar zu sein. Ihre Umkehrfunktionen sind der Arkussinus (arcsin), der Arkuskosinus (arccos) und der Arkustangens (arctan). Auf dem Taschenrechner findet man diese Funktionen meist mit dem Zusatz -1, zum Beispiel sin-1.


Die Umkehrfunktion ableiten

Wenn die Ableitung der ursprünglichen Funktion schon gegeben ist, kann man die Ableitung der Umkehrfunktion mit der folgenden Formel schnell berechnen: 


                                                                                           


Damit das Ganze etwas deutlicher wird ein Beispiel: Die Umkehrfunktion  zur Funktion wurde bereits weiter oben berechnet.Wenn man diese mit den gängigen Ableitungsregeln ableitet, erhält man:


                                                                                           


Dasselbe Ergebnis erhält man auch, wenn man  und  in die obige Formel einsetzt, wie man hier erkennt:  

   

                                                                               


Umkehrfunktion - Alles Wichtige auf einen Blick

Na, alles verstanden? Die wichtigsten Aspekte der Umkehrfunktion solltest du für deine nächste Prüfung auf jeden Fall im Kopf haben. Damit du nichts Wichtiges mehr vergisst, folgt hier eine kurze Zusammenfassung der wichtigsten Informationen:


  • Eine Umkehrfunktion ordnet die Variablen einer Funktion umgekehrt zu, der x- und y-Wert werden also vertauscht. Die Umkehrfunktion der Funktion f(x) wird mit gekennzeichnet.

  • Graphisch kann die Bestimmung der Umkehrfunktion als Spiegelung des Funktionsgraphen an der Winkelhalbierenden interpretiert werden.

  • Um die Umkehrfunktion zu erhalten, löst man im ersten Schritt die Gleichung nach x auf und schreibt im zweiten Schritt lediglich y statt x und x statt y.

  • Den x-Wert und y-Wert zu vertauschen, ist nur möglich, wenn es für jeden Funktionswert y nur einen x-Wert gibt. Unter Umständen muss daher der Definitionsbereich einer Funktion eingeschränkt werden, damit die Funktion umkehrbar wird, zum Beispiel bei quadratischen Funktionen.

  • Die Umkehrfunktion der e-Funktion  ist direkt durch gegeben.

  • Die Umkehrfunktionen der trigonometrischen Funktionen sind der Arkussinus (arcsin), der Arkuskosinus (arccos) und der Arkustangens (arctan).

  • Wenn die Ableitung der ursprünglichen Funktion schon gegeben ist, kann man die Ableitung der Umkehrfunktion mit der Formel   berechnen.


Finales Umkehrfunktion Quiz

Frage

Eine Fabrik hat am ersten Tag 150 Fahrräder auf Lager. Durch die Produktion können täglich 30 weitere hergestellt werden.



a. Bestimme die Funktion für den Lagerbestand abhängig von x=Tage


b. wie verändert sich diese Funkktion wenn die tägliche Produktion auf 60 Fahrräder verdoppelt werden kann


c. Zeichne die beiden Funktionen in ein Diagramm

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Antwort

a. f(x) = 150 + 30*x

b. f(x) = 150 + 60*x

c. (siehe Lösungsweg)

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Frage

Fabrik 1 kann pro Tag 25 Sonnenschirme produzieren. Zu Beginn ist das Lager jedoch bereits mit 500 Schirmen befüllt. Fabrik 2 kann durch bessere Maschinen 75 Sonnenschirme pro Tag herstellen, hat jedoch zu Beginn ein leeres Lager.


a. Stelle eine Funktion für den Lagerbestand von Fabrik 1 abhängig von den Tagen auf.


b. Stelle eine Funktion für den Lagerbestand von Fabrik 2 abhängig von den Tagen auf.


c. Nach wie vielen Tagen sind die beiden Lager mit gleich vielen Sonnenschirmen gefüllt und wie viele sind das?

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Antwort

a. f(x) = 500 + 25*x

b. f(x) = 75*x

c. x=10 (10 Tage)

    750 Sonnenschirme

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Frage

Die Firma 1 kann täglich 10 Fahrzeuge produzieren. Zu Beginn ist das Lager bereits mit 100 Fahrzeugen befüllt. Firma 2 kann durch neuere Maschinen 14 Fahrzeuge täglich produzieren hat zum beginn jedoch auch nur halb so viele Fahrzeuge auf Lager.



a. Stelle eine Funktion für den Lagerbestand von Firma 1 auf


b. Stelle eine Funktion für den Lagerbestand von Firma 1 auf


c. hat Firma 2 nach 10 Tagen Produktion bereits einen höheren Lagerbestand als Firma 1 erreicht?


d. nach wie vielen Tagen sind die Lagerbestände der beiden Firmen gleich groß?

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Antwort

a. f1(x) = 100 + 10*x

b. f2(x) = 50 + 14*x

c. NEIN - f1(10) > f2(10)

d. x = 12,5 (12,5 Tage)

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Frage

Die Bevölkerung in Stadt 1 beträgt zu Anfang 2 Millionen. Jährlich ziehen 75000 Personen aus der Stadt weg . Die Bevölkerung von Stadt 2 wächst jährlich um 75000 Personen. Zu Beginn ist die Bevölkerung jedoch nur 1/4 so groß wie in Stadt 1.



a. Stelle eine Funktion für die Bevölkerungszahl von Stadt 1 auf


b. Stelle eine Funktion für die Bevölkerungszahl von Stadt 2 auf


c. Nach wie vielen Jahren sind die Städte gleich groß? 

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Antwort

a. f1(x) = 2.000.000 - 75.000*x

b. f2(x) = 500.000 + 75.000*x

c. x = 10 (nach 10 Jahren)

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Frage

Ein Fahrradhändler hat 150 Fahrräder in seinem Lager. Täglich verkauft er 7 davon. Nur einmal im Monat (nach 30 Tagen) werden neue 150 Fahrräder geliefert.


a. Stelle eine Funktion für den Lagerbestand an Fahrrädern auf


b. Reicht der Lagerbestand bis zur nächsten Lieferung nach 30 Tagen?


c. Nach wie vielen Tagen hat der Verkäufer keine Fahrräder mehr im Lager?

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Antwort

a. f(x) = 150 - 7*x

b. NEIN ->  f(30) = -60 (zu geringer Lagerbestand)

c. x = 21,4 -> am 22. Tag wird das letzte Fahrrad verkauft

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Frage

Anna und Peter wollen Geld anlegen. Anna hat bereits am Anfang 500€ und kann jeden Monat weitere 50€ ansparen. Peter hingegen hat zu beginn nur 300€ kann jedoch monatlich ganze 70€ ansparen.



a. Stelle eine Funktion für den Betrag auf Annas Konto auf


b. Stelle eine Funktion für den Betrag auf Peters Konto auf


c. nach wie vielen Monaten haben Anna und Peter gleich viel Geld auf ihren Konten und wie viel ist das dann?

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Antwort

a. f1(x) = 500 + 50*x

b. f2(x) = 300 + 70*x

c. x = 10 (nach 10 Monaten)

    f(10) = 1000€

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Frage

Ein Elektrofachgeschäft hat zu Beginn des Monats 300 Fernsehgeräte auf Lager. Täglich werden 25 Geräte an Kunden verkauft.



a. Stelle eine Funktion für den Bestand an Fernsehgeräten auf


b. Nach wie vielen Tagen ist der komplette Bestand verkauft?


c. Nach wie vielen Tagen muss spätestens eine neue Lieferung ankommen, wenn der Lagerbestand nie unter 50 Fernsehgeräte fallen soll?

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Antwort

a. f(x) = 300 - 25*x

b. x = 12 (nach 12 Tagen)

c. x = 10 (spätestens nach 10 Tagen müssen neue Geräte geliefert werden)

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Frage

Durch die Neueröffnung einer großen Industriegebiets erleben zwei Städte ein starkes Bevölkerungswachstum. In die zu Beginn größere Stadt 1 mit anfänglich 100.000 Einwohnern ziehen jeden Monat weitere 1500 Personen.

In Stadt 2 ziehen monatlich sogar ganze 1750 Personen. Zu Beginn wohnen dort jedoch nur 75000 Personen.



a. Stelle eine Funktion für die Einwohnerzahl von Stadt 1 auf


b. Stelle eine Funktion für die Einwohnerzahl von Stadt 2 auf


c. Wird Stadt 2 innerhalb der ersten 5 Jahre bereits größer als Stadt 1?


d. Nach welcher Zeit sind die beiden Städte genau gleich groß?

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Antwort

a. f1(x) = 100000 + 1500*x

b. f2(x) = 75000 + 1750*x

c. NEIN -> f1(60) = 190.000

                  f2(60) = 180.000

d. x = 100 (8 Jahre und 4 Monate)

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Frage

Eine Firma überlegt zur Produktion von Fußbällen eine neue Maschine für 20.000€ zu kaufen. Dadurch könnten die Stückkosten von aktuell 0,75€ auf nur noch 50 cent gesenkt werden. Die aktuelle Maschine ist bereits abgeschrieben.


a. Stelle eine Kostenfunktion für die neue Maschine auf in der du Stückkosten und Anschaffungskosten berücksichtigst


b. Stelle eine Kostenfunktion für die "alte" Maschine auf


c. Wie groß muss die Produktionsmenge mindestens sein, damit sich die Anschaffung der neuen Maschine lohnt

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Antwort

a. f1(x) = 20.000 + 0,5*x

b. f2(x) = 0,75*x

c. x= 80.000 (mindestens 80.000 Fußbälle)

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Frage

Ein Automobilhersteller verkauft pro Monat 12.000 Fahrzeuge. Da aktuell keine Produktion möglich ist, kommen alle Fahrzeuge aus dem Lager. Zu Beginn befinden sich im Lager 100.000 Fahrzeuge.



a. Stelle eine Funktion für den Lagerbestand auf


b. Wie viele Fahrzeuge befinden sich nach 6 Monaten noch im Lager?


c. Nach wie vielen Monaten muss die Produktion spätestens wieder starten, damit nie weniger als 15.000 Fahrzeuge im Lager sind.

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Antwort

a. f(x) = 100.00 - 12.000*x

b. f(6) = 28.000

c. f(x) = 15.000

       x = 7,08 (spätestens nach knapp über 7 Monaten)

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Frage

Eine Stadt verfügt über 15.000 Wohnungen. Im Zuge eines Projektes sollen jährlich weitere 1.000 Wohnungen gebaut werden. Es wird davon ausgegangen, dass in jeder Wohnung 4 Personen leben können.


a. Stelle eine Funktion für den Wohnungsbestand in der Stadt auf


b. Nach wie vielen Jahren verfügt die Stadt über ausreichend Wohnungen für 100.000 Menschen?


c. Wie viele Menschen können nach 22 Jahren in der Stadt wohnen?

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Antwort

a. f(x) = 15.000 + 1.000*x

b. 100.000 / 4 = 25.000 Wohnungen

     f(x) = 25.000

       x = 10 (nach 10 Jahren)

c. f(22) = 37.000 Wohnungen

    37.000 * 4 = 148.000 Menschen

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Frage

Infolge eines Virusausbruchs müssen 15000 Personen auf das Virus getestet werden. Anfangs stehen dazu 3000 Tests zur Verfügung und es werden täglich 800 hergestellt. 


a. Stelle eine Funktion für den Bestand an Tests auf

b. Wie viele Tage dauert es bis Tests für alle zur Verfügung stehen?

c. Während den Tests verbreitet sich das Virus weiter. Täglich müssen weitere 300 Menschen auf das Virus getestet werden. Wie lange dauert es, bis es mehr Tests gibt als Menschen die getestet werden müssen?

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Antwort

a. f1(x) = 3000 + 800*x

b. Nach 15 Tagen sind genug Tests für alle Verdachtsfälle da

c. Nach 24 Tagen überholt die Produktion an Tests die Anzahl an Virusverdachtsfällen

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Frage

Eine Firma steht kurz vor dem Bankrott. Die Unterhaltungskosten der Firma belaufen sich auf 9000€ am Tag. Der Firma bleiben 700000€ Finanzreserven.


a. Stelle eine Funktion für die Finanzreserven der Firma auf

b. In 60 Tagen kann die Firma ein neues Produkt veröffentlichen. Kommt es auf den Markt bevor die Firma bankrott ist?

c. Das neue Produkt bringt täglich 15000€ ein. Wie lange dauert es ab Markteinführung, bis die Firma über Finanzreserven von über 1000000€ verfügt?


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Antwort

a. f1(x) = 700000 + (-9000*x)

b. Die Firma hat nach 60 Tagen noch 160000€ -> sie ist noch nicht bankrott

c. Nach 140 Tagen nach Markteinführung des Produkts verfügt die Firma über 1000000€ Finanzreserven

 

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Frage

Tom spart seit einiger Zeit auf ein neues Handy und hat bereits 88€ zusammen. Von seiner Mutter bekommt er dafür jede Woche 10€ Taschengeld, jedoch gibt er davon jeden Tag 0,5€ für Süßigkeiten aus.


a. Stelle eine Funktion für Toms Ersparnisse auf

b. Das Handy kostet 400€. Wie lange muss Tom noch sparen? 

c. An wie vielen Tagen die Woche müsste Tom auf Süßigkeiten verzichten, damit er das Handy schon nach 39 Wochen kaufen kann?

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Antwort

a. f1(x) = 88 + 6,5*x

b. Tom muss 48 Wochen sparen bis er 400€ zusammen hat

c. Tom muss jede Woche 1,5€ mehr sparen, deshalb muss er 3 mal die Woche auf Süßigkeiten verzichten

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Frage

Auto 1 und Auto 2 liefern sich ein Rennen. Auto 1 fährt mit 50km/h, während Auto 2, aufgrund eines besseren Motors, 70km/h fährt. Das Rennen ist 350km lang.


a. Stelle eine Funktion für die Strecke Auto 1 und 2 zurückgelegt haben auf.

b. Wie lange brauchen Auto 1 und 2 bis zum Ziel?

c. Wie lange dauert es bis Auto 2, Auto 1 überrundet?

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Antwort

a. Auto 1: f1(x) = 0 + 50*x

    Auto 2: f2(x) = 0 + 70*x

b. Auto 1 braucht 7h für das Rennen, während Auto 2 nur 5h braucht.

c. Auto 2 überrundet Auto 1 nach 17,5 Stunden

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Frage

Ein Löschwasserteich fasst insgesamt 7500 Liter Wasser. Infolge eines Brandes wird mit drei Schläuchen insgesamt 60 Liter Wasser pro Minute (jeder Schlauch 20 Liter) aus dem Teich gesaugt.


a. Bestimme die Funktion für den Wasserstand des Teiches


b. Wie lange kann mit dem Löschwasserteich gelöscht werden, bis das Wasser aufgebraucht ist?


c. Wie verändert sich die Funktion, wenn ein Schlauch weggenommen wird? Und wie lange dauert es dann, bis der Teich leer ist?

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Antwort

a. f(x) = 7500 + (-60)*x

b. Mit 7500 Liter Wasser kann 125 Minuten gelöscht werden.

c. f(x) = 7500 - 40*x

   Mit nur 2 Schläuchen verlängert sich die Zeit, bis der Tank leer ist, auf 187,5 Minuten

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Thomas muss sein Auto tanken. Sein Tank fasst 30 Liter und der Preis bei der Tankstelle um die Ecke für einen Liter Benzin liegt bei 1,20€. Durch einen Umweg von 25 Kilometern könnte er zu einer Tankstelle fahren bei der der Sprit nur 1,15€ kostet.


a. Sein Auto hat einen Spritverbrauch von 5 Litern auf 100 Kilometer. Weit weit würde Thomas mit einem vollem Tank fahren können?


b. Thomas hat noch 3 Liter in seinem Tank. Lohnt sich der Umweg zu der billigeren Tankstelle?

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Antwort

a. Thomas kann mit vollem Tank 600 Kilometer weit fahren.

b. Ja der Umweg würde sich finanziell lohnen

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