Grenzwerte

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Im Rahmen einer Kurvendiskussion möchte man möglichst viele Informationen über eine Funktion und deren Graphen erhalten. Der sogenannte Grenzwert liefert die Information, wie sich die y-Werte verhalten, wenn die x-Werte in eine bestimmte Richtung gehen. Die Grenzwerte sind also ein wichtiges Thema im Bereich der Funktionen in der Mathematik. In diesem Artikel erfährst du, was du auf jeden Fall über den Grenzwert wissen solltest. Viel Spaß beim Lernen!


Was versteht man unter einem Grenzwert?

In der Mathematik bezeichnet der Grenzwert einer Funktion an einer bestimmten Stelle denjenigen Wert, dem sich die Funktion in der Umgebung der betrachteten Stelle annähert. Man nutzt Grenzwerte in der Mathematik also immer dann, wenn man das Verhalten einer Funktion in der Nähe eines x-Wertes untersuchen möchte, den man selbst nicht in die Funktion einsetzen kann. 


Ein solcher Grenzwert existiert allerdings nicht in allen Fällen. Existiert der Grenzwert, so konvergiert die Funktion, andernfalls divergiert sie. Das Grenzwertkonzept wurde im 19. Jahrhundert formalisiert und ist eines der wichtigsten Konzepte der Analysis


Die Grenzwerte können mit Hilfe des Limes angegeben werden. Der Limes beschreibt, was passiert, wenn man für eine Variable Werte einsetzt, die einem bestimmten Wert immer näher kommen. Dabei steht unter dem „lim“ die Variable und gegen welche Zahl sie geht, also welchem Wert die Variable immer näher kommt. 


Nach dem „lim“ steht dann die Funktion, in die die Werte für x eingesetzt werden. Das kann dann zum Beispiel so aussehen:



                                                                                                   



Diese Schreibweise bedeutet, dass man für x in die Funktion 1x Werte einsetzt, die immer näher an unendlich rankommen. Man spricht dann „Limes gegen unendlich“. Dieses Vorgehen funktioniert auch mit allen anderen Werten.  


Die Bestimmung von Grenzwerten

Zur Bestimmung des Grenzwerts kann man verschiedene Fälle unterscheiden, auf die ich nun etwas näher eingehen werde. 


Grenzwert im Unendlichen

Um dieses Thema zu veranschaulichen, betrachten wir den Graph einer Normalparabel. Im Koordinatensystem ist der Graph der Funktion f(x)= x2 eingezeichnet.


 (Quelle: studimup.de)


Grenzwerte im Unendlichen beschreiben, was mit der Funktion passiert, also an welchen Wert sich die Funktion immer mehr annähert, wenn x gegen unendlich läuft. Dabei kann x gegen + und - unendlich laufen, also immer kleiner oder größer werden. In mathematischer Schreibweise sieht dies folgendermaßen aus:


                                                                                     und


Grafisch sieht der Grenzwert dann so aus, wie im Bild dargestellt. Wenn man den Grenzwert für +∞ oder -∞ haben möchte, schaut man, was die Funktion "in der Richtung macht". Hier geht sie in beide Richtungen gegen unendlich.


Um zu untersuchen, wie sich die y-Werte verhalten, wenn die x-Werte immer größer werden, kann man eine Wertetabelle aufstellen:









x

1

10

100

1.000

....

f(x)

1

100

10.000

1.000.000

….



Man erkennt, dass die Funktionswerte unendlich groß werden. Mathematisch formuliert bedeutet das: 


                                                                                           


Wie sich die y-Werte verhalten, wenn die x-Werte immer kleiner werden, kann man ganz leicht analog dazu ermitteln, man lässt den Limes dann gegen minus unendlich laufen. 


Grenzwert an einer endlichen Stelle

Grenzwerte im Endlichen sind Werte, die die Funktion annimmt, wenn sie sich einem bestimmten Wert annähert. Dies wird häufig an Definitionslücken verwendet, um zu prüfen, was in der Nähe dieser Lücke passiert. Dabei kann man sich dem Wert von links oder rechts annähern, sich also entweder von der negativen Seite an die Definitionslücke annähern oder aber von der positiven. Dabei können nämlich unterschiedliche Grenzwerte rauskommen. 


Notiert wird das Ganze folgendermaßen:


                                                                                  und


Statt x → ∞ geht es hierbei also um  x → x0. Dabei ist x0 eine reelle Zahl.


(Quelle: studimup.de)


Grenzwerte von Funktionen, die nur aus Polynomen bestehen

Wie berechnet man nun den Grenzwert einer Funktion, wenn die Funktion nur aus Polynomen besteht? Wenn in der Funktion lediglich Polynome vorliegen, ermittelt man zunächst das x mit dem höchsten Exponenten. Wenn man x gegen +∞ oder -∞ gehen lässt, können andere Bestandteile der Funktion niemals so groß werden wie dieser Term. Deswegen reicht es aus, nur den Term zu betrachten, in dem das x mit dem höchsten Exponenten steht. 


Hat man also die Funktion reicht es, lediglich den


 zu betrachten.



Grenzwerte an Funktionssprüngen und Definitionslücken

Funktionssprüngen und Definitionslücken kann man sich von links oder rechts nähern, die Grenzwerte sind dabei jeweils unterschiedlich. Ein Funktionssprung liegt dann vor, wenn in der Funktionsvorschrift eine Fallunterscheidung vorliegt. Gekennzeichnet wird dies durch eine Mengenschreibweise, beispielsweise so: 




Auf der Abbildung erkennst du an der Stelle a den entsprechenden Funktionswert A. Wenn man sich diesem Funktionssprung von links nähert, so ist der Grenzwert B. 


(Quelle: studybees.de)


Möchte man den Grenzwert der Funktion am Funktionssprung von links berechnen,           

schreibt man also:


                                                                                   



Nähert man sich hingegen von rechts, verwendet man folgende Schreibweise:


                                                                                   


Den Definitionslücken kann man sich ebenso von links und rechts annähern.


Ein genaueres Verfahren zur Bestimmung dieser Grenzwerte würde über eine entsprechende Folge funktionieren, die gegen Null konvergiert, z.B. die Folge . Diese würde man dann zusammen mit dem a in die Funktion einsetzen und gegen Null laufen lassen, zum Beispiel in dem man n gegen unendlich laufen lässt.


Grenzwerte für bestimmte Funktionen

Hier nun der Vollständigkeit halber die Grenzwerte für bestimmte Funktionen, nämlich für die Potenzfunktionen und die Exponentialfunktionen.


Der Grenzwert einer Potenzfunktion ist gegeben durch:






(Quelle: studimup.de)


Bei den Exponentialfunktionen ist der Grenzwert gegeben durch:






(Quelle: studimup.de)


Grenzwerte - Alles Wichtige auf einen Blick

Na, schon am Ende des Artikels angekommen? Zum Abschluss des Themas erhältst du hier noch einen Überblick über die wichtigsten Aspekte des Grenzwertes, damit du bestens für die nächste Prüfung vorbereitet bist. 


  • In der Mathematik bezeichnet der Grenzwert einer Funktion an einer bestimmten Stelle denjenigen Wert, dem sich die Funktion in der Umgebung der betrachteten Stelle annähert. Er ist eine wichtige Kennzahl im Rahmen einer Kurvendiskussion.
  • Die Grenzwerte können mit Hilfe des Limes angegeben werden. Er beschreibt, was passiert, wenn man für eine Variable Werte einsetzt, die einem bestimmten Wert immer näherkommen. 
  • Rechnerisch bestimmt man Grenzwerte meist mit Hilfe von Wertetabellen.
  • Der Grenzwert im Unendlichen verrät, wie sich die y-Werte verhalten, wenn die x-Werte immer größer oder immer kleiner werden.
  • Der Grenzwert an einer endlichen Stelle verrät, wie sich die y-Werte verhalten, wenn sich die x-Werte der Stelle x0 annähern. 
  • Für den Grenzwert einer Potenzfunktion gilt .
  • Für den Grenzwert einer Exponentialfunktion gilt .

Finales Grenzwerte Quiz

Frage

Wieso ist es sinnvoll die Zusammenstellung häufig auftretender Grenzwerte zu lernen?

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Antwort

Es ist sinnvoll, die folgende Zusammenstellung häufig auftretender Grenzwerte zu lernen. Sie gestattet zusammen mit den

Grenzwertsätzen eine schnelle Bestimmung von Grenzwerten.

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