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gebrochenrationale Funktionen

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Mathe

Die gebrochen-rationale Funktion ist eine Funktion, die aus dem Quotienten zweier ganzrationaler Funktionen besteht.


Falls du nicht mehr so ganz auf dem Schirm hast, was denn nochmal eine ganzrationale Funktion war, würden wir die empfehlen den dazugehörigen Artikel zu lesen!




Zur Erinnerung: Die Funktionsgleichung einer ganzrationalen Funktion 


Unter einer ganzrationalen Funktion bzw. Polynomfunktion n-ten Grades versteht man eine reelle Funktion der Form:


                                                 

 

dabei gilt:



Die Funktionsgleichung einer gebrochen-rationalen Funktion 


Eine Funktion f(x) ist eine gebrochen-rationale Funktion, wenn sie als Quotient der beiden ganzrationalen Funktionen g(x) und h(x) dargestellt werden kann. Ganzrationale Funktionen werden auch Polynomfunktionen genannt.


Daraus leitet sich die Funktionsgleichung einer gebrochen-rationalen Funktion ab.




Wobei g(x) und h(x) Funktionen der Form:  sind.



Die Bezeichnungen einer gebrochen-rationalen Funktion 


Die Parameter des Funktionsterms nennst du folgendermaßen:


  •  werden Koeffizienten des Zählers bzw. Nenners genannt
  • n, n-1, 2 ,1 ,0 werden die Exponenten des Zählers bzw. Nenners genannt
  • Grad der gebrochen-ganzrationalen Funktion/Polynomfunktion: der höchste vorkommende Exponent des Zählers               (hier n)


Gebrochen-rationale Funktionen werden in zwei Kategorien unterteilt: Die echt gebrochen-rationale Funktion und die unecht gebrochen-rationale Funktion.




Die echt gebrochen-rationale Funktion 


Bei einer echt gebrochen-rationalen Funktion ist der Grad des Zählerpolynoms g(x) kleiner als der Grad des Nennerpolynoms h(x).


Der folgende Bruch zeigt dir eine Beispielfunktion für die echt gebrochen-rationale Funktion. Hier ist der Grad des Zählerpolynoms 4 und der Grad des Nennerpolynoms 5. Da 4 kleiner als 5 ist, liegt eine echt gebrochen-rationale Funktion vor. 





Beispielgraphen für die echt gebrochen-rationale Funktion 


Hier siehst du die Hyperbel der Funktion




Hier siehst du den Graphen der Funktion  mit einer Polstelle ohne Vorzeichenwechsel:




Die unecht gebrochen-rationale Funktion 


Bei einer unecht gebrochen-rationalen Funktion ist der Grad des Zählerpolynoms g(x) größer oder gleich dem Grad des Nennerpolynoms h(x). Du kannst die Funktion mithilfe der Polynomdivision in eine Funktion zerlegen, die sowohl einen ganzrationalen, als auch einen gebrochen-rationalen Anteil hat.


Der folgende Bruch zeigt dir eine Beispielfunktion für die unecht gebrochen-rationale Funktion. Hier ist der Grad des Zählerpolynoms 4 und der Grad des Nennerpolynoms 3. Da 4 größer als 3 ist, liegt eine unecht gebrochen-rationale Funktion vor. 




Beispielgraphen für die unecht gebrochen-rationale Funktion 


Eine unecht gebrochen-rationale Funktion kann beispielsweise eine Parabel oder eine lineare Funktion sein.


Hier siehst du die lineare Funktion :


Hier musst du eine sehr wichtige Sache beachten. Du hast sicherlich schon einmal von der „hebbaren Definitionslücke“ gehört. Die Funktion f(x) entspricht nicht der Nennerfunktion h(x)=x. Die beiden Funktionen unterscheiden sich nämlich hinsichtlich ihres Definitionsbereiches. Die Funktion f(x) hat an der Stelle x=0 einen kleinen Punkt, an dem sie nicht definiert ist, während die Funktion h(x) durchgängig definiert ist.

 

Eine Funktion hat eine hebbare Definitionslücke, wenn sich der Nennerterm aus dem Zählerterm kürzen lässt.


Hier siehst du die Parabel zur Funktion :




Beispielaufgaben 


Oft kannst du bei gebrochen-rationalen Funktionen gewisse Eigenschaften einfach ablesen, beispielsweise die Lage und Art der Asymptoten. In den folgenden Beispielen zeigen wir dir, wie das funktioniert.



Beispielaufgabe 1: Polstelle mit Vorzeichenwechsel 


Die Funktion hat eine Definitionslücke bei x=1. Das kannst du ganz einfach ablesen, indem du dir den Nenner anschaust. Was musst du einsetzen, damit der Nenner 0 wird? Richtig, die 1! ☺ Da die Funktion einen ungeraden Exponenten hat (nämlich 3), hat sie eine Polstelle mit Vorzeichenwechsel. Der Nennergrad der Funktion ist größer als der Zählergrad, damit wissen wir, dass die gebrochen-rationale Funktion eine waagrechte Asymptote bei 0 hat.



Beispielaufgabe 2: Polstelle ohne Vorzeichenwechsel 




Die Funktion hat eine Definitionslücke bei x=1. Das kannst du ganz einfach ablesen, indem du dir den Nenner anschaust. Was musst du einsetzen, damit der Nenner 0 wird? Richtig, die 1! ☺ Da die Funktion einen geraden Exponenten hat (nämlich 2), hat sie eine Polstelle ohne Vorzeichenwechsel. Der Nennergrad der Funktion ist größer als der Zählergrad, damit wissen wir, dass die gebrochen-rationale Funktion eine waagrechte Asymptote bei 0 hat.



Beispielaufgabe 3: hebbare Definitionslücke


Die Funktion  hat eine hebbare Definitionslücke bei x=1. Sie ist an genau diesem einen Punkt nicht definiert. Das kannst du ablesen, indem du dir den Nenner anschaust. Eine Funktion hat eine hebbare Definitionslücke, wenn du h(x) aus g(x) kürzen kannst.



Beispielaufgabe 4: hebbare Definitionslücke 


Die Funktion  hat eine hebbare Definitionslücke bei x=1. Sie ist an genau diesem einen Punkt nicht definiert. Das kannst du ablesen, indem du dir den Nenner anschaust. Eine Funktion hat eine hebbare Definitionslücke, wenn du h(x) aus g(x) kürzen kannst.




Gebrochen Rationale Funktion - Alles Wichtige auf einen Blick


  • Eine gebrochen-rationale Funktion besteht aus zwei ganzrationalen Funktionen, die dividiert werden:



  • Wobei g(x) und h(x) Funktionen der Form: sind.

  • Je nach Zählergrad und Nennergrad, kann eine gebrochen-rationale Funktion eine Polstelle mit und ohne Vorzeichenwechsel haben. Sie kann allerdings auch die Form einer Parabel oder einer linearen Funktion haben.

  • Falls sich der Nenner aus dem Zähler kürzen lässt, hat die gebrochen-rationale Funktion eine hebbare Definitionslücke.



Unser Tipp für Euch 


Ich würde dir empfehlen, dir die anderen Artikel zu den unterschiedlichen Arten von Funktionen durchzulesen und dir eine klare Übersicht zu erstellen. Es ist hilfreich zu wissen, wie die konstante Funktion, die lineare Funktion und die quadratische Funktion mit der ganzrationalen Funktion zusammenhängen. So musst du dir weniger Formeln merken. Wenn du einmal den Zusammenhang verstanden hast, kannst du eine Formel für alle verwenden und die Herleitung von Graphen, Formeln etc. fällt dir einfacher!


Deine Manuela - StudySmarter Institute



Finales gebrochenrationale Funktionen Quiz

Frage

Wann verwendet man die Partialbruchzerlegung?

Antwort anzeigen

Antwort

Wenn du eine echt gebrochen-rationale Funktion integrieren möchtest, brauchst du die Partialbruchzerlegung, da es danach viel einfacher ist die Stammfunktion zu bilden.

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Frage

Wie funktioniert die Partialbruchzerlegung?

Antwort anzeigen

Antwort

Vorgehen bei der Partialbruchzerlegung

  • Schritt 1: Polynomdivision bei unecht gebrochen-rationalen Funktionen
  • Schritt 2: Nullstellen des Nennerpolynoms berechnen 
  • Schritt 3: Ordne jeder Nullstelle ihren Partialbruch zu (Achtung: Beachte die Vielfachheit der Nullstellen)
  • Schritt 4: Ansatz für die Partialbruchzerlegung aufstellen
  • Schritt 5: Bringe beide Teile der Funktion auf einen Hauptnenner
  • Schritt 6: Bestimme die Konstanten durch Einsetzen der zuvor berechneten Nullstellen    
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Frage

Wann führst du eine Polynomdivision durch und wann eine Partialbruchzerlegung?

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Antwort

Wenn der Zählergrad größer oder gleich dem Nennergrad ist, dann zunächst Polynomdivision, dadurch erhält man evtl. u.a. eine rationale Restfunktion, bei der der Zählergrad kleiner als der Nennergrad ist.

Für diese Restfunktion kann dann eine Integration nach vorheriger Partialbruchzerlegung durchgeführt werden.

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Frage

Ist der Zähler für den Ansatz der Partialbruchzerlegung relevant?

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Antwort

Nein, der Zähler wird beim Ansatz zunächst nicht beachtet. Es werden Konstanten wie A, B, C in den Zähler geschrieben.

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Frage

Wie entscheidet man, ob in den Zähler nur die Konstanten A, B, C geschrieben werden oder bei den Konstanten noch ein Faktor x dabei steht?

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Antwort

Bei den komplexen Nullstellen kannst du nicht einfach schreiben B+C, denn dadurch könnten beiden Konstanten zu einer neuen Konstanten (z.B. D) zusammengefasst werden. Damit das verhindert wird, musst du einfach eine der Konstanten mit x mulitplizieren. 

Frage anzeigen

Frage

Wann handelt es sich um eine echt gebrochen-rationale Funktion?

Antwort anzeigen

Antwort

Bei den echt Gebrochenen ist der Zählergrad kleiner als der Nennergrad.

Frage anzeigen

Frage

Wann handelt es sich um eine unecht gebrochen-rationale Funktion?

Antwort anzeigen

Antwort

Bei den unecht gebrochenen ist der Zählergrad größer oder gleich dem Nennergrad.

Frage anzeigen

Frage

Was ist die Voraussetzung für eine Partialbruchzerlegung?

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Antwort

Es muss sich um eine echt gebrochen-rationale Funktion handeln. Wenn das nicht der Fall ist, musst du eine Polynomdivision durchführen.

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Frage

Welchen Schritt musst du bei unecht gebrochen-rationalen Funktion vor der Partialbruchzerlegung durchführen?

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Antwort

Möglich ist die Partialbruchzerlegung auch bei unecht gebrochen-rationalen Funktionen. Doch wird man hier, zur Einfachheit, erst einmal per Polynomdivision den Funktionsterm in einen ganz-rationalen und einen echt gebrochen-rationalen Teil aufspalten. Von dem ganz-rationalen Teil kannst du leicht eine Stammfunktion finden. Die Partialbruchzerlegung wendest  du dann nur noch auf den gebrochenen Teil an.

Frage anzeigen

Frage

Was ist das Ziel der Partialbruchzerlegung?

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Antwort

Ziel ist es, eine komplizierte gebrochen-rationale Funktion in mehrere unkomplizierte, leicht zu integrierende Brüche zu zerlegen. 

Frage anzeigen

Frage

Wie berechnet man Polstellen und Nullstellen bei gebrochen-rationalen Funktionen?

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Antwort

Nullstellen berechnest du, indem du die Funktion gleich 0 setzt und nach x auflöst. Polstellen berechnest du, indem du schaust, für welche x-Werte der Nenner 0 wird, denn diese Werte sind für die Funktion nicht definiert.



Frage anzeigen

Frage

Was machst du, wenn der Zählergrad gleich dem Nennergrad ist?

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Antwort

Du führst eine Polynomdivision durch, bevor du mit der Partialbruchzerlegung beginnst.

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