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Funktionen

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Mathe

Funktionen

In diesem Artikel geht es um die wichtigsten Fakten zum Thema „Funktionen“. Dieses Thema ist in das Fach „Mathematik“ einzuordnen. 


Wir erklären dir in den folgenden Abschnitten die wichtigsten Arten von Funktionen und verdeutlichen dir das Ganze noch an Beispielen. Wir erklären dir auch die Sonderfälle und was du zu beachten hast! 


Am Ende dieses Kapitels hast du hoffentlich einen guten Überblick über Funktionen! ☺

Lineare Funktion

Unter einer linearen Funktion mit Steigung m und Achsenabschnitt t versteht man eine Funktion der Form:




Der Graph einer linearen Funktion ist eine Gerade.



Die quadratische Funktion


Eine quadratische Funktion mit den reellen Koeffizienten a ≠ 0,  b, c ist eine Funktion der Form:




a ist eine reelle Zahl, dabei ist es wichtig, das diese Zahl nicht 0 ist. Im Gegensatz dazu können die Koeffizienten b ,c alle reellen Zahlen annehmen - auch die 0.


Der Graph einer quadratischen Funktion wird Parabel genannt.


Der zur Funktion gehörende Graph heißt Normalparabel.




Die Potenzfunktion


Eine Potenzfunktion mit ganzzahligen Exponenten hat die Form:




mit der veränderlichen Basis x und dem festen Exponenten n mit .


Ihr Graph heißt:


  • Parabel der Ordnung n, wenn n = 2,3,4,…
  • Hyperbel der Ordnung |n|, wenn n = -1,-2,-3,…


Die Wurzelfunktion


Eine Wurzelfunktion ist nah mit der Potenzfunktion verwandt. Eine Wurzelfunktion ist eine Potenzfunktion mit Bruch als Exponenten.


Sie hat zwei Schreibweisen:


1.


2.


Beachte, dass die Wurzelfunktion nur für positive Werte, einschließlich der 0,  definiert ist.

Der Graph hat eine Nullstelle bei (0|0) und verläuft immer durch den Punkt (1|1).



Die Ganzrationale Funktion

Eine ganzrationale Funktion n-ten Grades wird auch Polynomfunktion n-ten Grades genannt. 


Man versteht darunter eine Funktion der Form:



     

Die Nullstellen einer Polynomfunktion

Hat eine ganzrationale Funktion n Grade, hat sie höchstens n Nullstellen.


Falls eine ganzrationale Funktion n Grade hat und du bereits eine Nullstelle kennst, kannst du die Polynomdivision durchführen.


Falls eine ganzrationale Funktion den Grad 2 hat, kannst du die Nullstellen mithilfe der Mitternachtsformel berechnen.


Hier siehst du einen Beispielgraph für eine ganzrationale Funktion geraden Grades. Das erkennst du, da die Grenzwerte der Funktion gleich sind. Da das Vorzeichen des höchsten Parametes (in diesem Fall 2) positiv ist, hat die Funktion zwei positive Grenzwerte, sie verläuft von Plus zu Plus.


Die gebrochen-rationale Funktion:


Eine gebrochen-rationale Funktion besteht aus zwei ganzrationalen Funktionen, die dividiert werden:



Wobei g(x) und h(x) Funktionen der Form: bzw.

sind. 


Je nach Zählergrad und Nennergrad, kann eine gebrochen-rationale Funktion eine Polstelle mit und ohne Vorzeichenwechsel haben. Sie kann allerdings auch die Form einer Parabel oder einer linearen Funktion haben. Falls sich der Nenner aus dem Zähler kürzen lässt, hat die gebrochen-rationale Funktion eine hebbare Definitionslücke.


Hier siehst du einen Beispielgraph für eine gebrochen-rationale Funktion. Eine gebrochen-rationale Funktion kann allerdings ganz verschieden aussehen.



Die Exponentialfunktion

Die Exponentialfunktion

Eine Exponentialfunktion mit der Basis ist eine reelle Funktion und hat die Form:



 bedeutet, dass a (genannt: „die Basis“) größer als 0 ist und gleichzeitig nicht 1 sein darf. Im Exponenten steht die Variable x. b gibt den Vorfaktor an.


Die natürliche Exponentialfunktion 

Unter der Euler´schen Zahl versteht man den Grenzwert:




e ist eine irrationale Zahl. Du kannst diese auch als Dezimalbruch schreiben. Sie ist unendlich, aber nicht periodisch und beginnt mit 2,71828…


Die natürliche Exponentialfunktion hat die Form .


Die Umkehrfunktion

Die Umkehrfunktion der Exponentialfunktion lautet:



Die Ableitung

Die Ableitung der Exponentialfunktion lautet:



Die Stammfunktion

Die Stammfunktion der Exponentialfunktion lautet:




Die ln-Funktion

Die ln-Funktion

Die ln-Funktion mit der Basis e  , ist eine reelle Funktion mit der Form:



Die Umkehrfunktion

Die Umkehrfunktion der ln-Funktion lautet:




Die Ableitung

Die Ableitung der ln-Funktion lautet:



Die Stammfunktion

Die Stammfunktion der ln-Funktion lautet:



Hier siehst du den Zusammenhang der e-Funktion und der ln-Funktion. 



Die Veränderung der Grundfunktion


Du kannst eine gegebene Funktion bzw. einen gegebenen Graphen auch transformieren. Also beispielsweise durch die Verschiebung des Graphen Gf an der x-Achse um 2 Einheiten, entsteht der neue Graph Gg. Dadurch verändert sich auch der Wertebereich von Gf.


Im folgenden siehst du, wie du den Graphen verändern kannst und was das dann für Auswirkungen hat. f(x) ist dabei unsere Ausgangsfunktion und g(x) unsere transformierte Funktion.


Auswirkung

g(x)

Dg

Wg

Spieglung an der x-Achse

-f(x)

Df

-Wf

Spiegelung an der y-Achse

-f(x)

D

-W

Vertikale Verschiebung um a

fx+a, a∈R

D

W+a

Horizontale Verschiebung um -a

f(x+a), a∈R

D-a

W

c >1:Streckung, 0<c <1:Stauchung 

c*fx, c>0

D

c*W

c >1:Stauchung, 0<c<1: Streckung

fc*x, c>0

1c*D

W



Wenn du mehr zu diesem Thema wissen möchtest, dann schau dir doch unseren Artikel „Graphen zeichnen“ an.


Die Umkehrfunktion

Die Umkehrfunktion für die Funktion lautet . Wenn du in die Funktion  den zugehörigen y-Wert einsetzt, erhältst du den x-Wert der Umkehrfunktion.


Du musst diese drei Schritte dabei beachten:


  1. Schreibe die Funktion als  um und löse schrittweise nach x auf

  2. Tausche die Variablen x und y

  3. Schreibe die Umkehrfunktion  auf



Unser Tipp für Euch: 

Schau dir doch die einzelnen verlinkten Seiten zu den Themen an. Dort haben wir dir Beispielaufgaben, Beispielgraphen und Tipps gezeigt. ☺

Finales Funktionen Quiz

Frage

Was sind Asymptoten?

Antwort anzeigen

Antwort

Asymptoten sind Geraden, denen sich der Graph einer Funktion beliebig genau nähert. Sie geben Ihnen wichtige Hinweise auf den Verlauf des Graphen und auf
Möglichkeiten, Funktionsterme näherungsweise zu vereinfachen. Man unterscheidet drei Typen.

Frage anzeigen

Frage

Was sind Wendepunkte?

Antwort anzeigen

Antwort

Wendestellen sind Stellen (x-Werte), an denen der Graph einer Funktion seine Krümmung wechselt (von einer Links- in eine Rechtskurve oder umgekehrt).

Frage anzeigen

Frage

Wann hat ein Graph einen Wendepunkt?

Antwort anzeigen

Antwort

Ist f ''(x0) = 0 und wechselt f '' an der Stelle x0 das Vorzeichen, so hat der Graph Gf an dieser Stelle einen Wendepunkt.

Frage anzeigen

Frage

Wann ist ein Graph linksgekrümmt?

Antwort anzeigen

Antwort

f ''(x) > 0 im Intervall I ⇒ Der Graph Gf ist in I linksgekrümmt.

Frage anzeigen

Frage

Wann ist ein Graph rechtsgekrümmt?

Antwort anzeigen

Antwort

f ''(x) < 0 im Intervall I ⇒ Der Graph Gf ist in I rechtsgekrümmt.

Frage anzeigen

Frage

Wieso ist es sinnvoll die Zusammenstellung häufig auftretender Grenzwerte zu lernen?

Antwort anzeigen

Antwort

Es ist sinnvoll, die folgende Zusammenstellung häufig auftretender Grenzwerte zu lernen. Sie gestattet zusammen mit den

Grenzwertsätzen eine schnelle Bestimmung von Grenzwerten.

Frage anzeigen

Frage

Was ist ein Terrassenpunkt?

Antwort anzeigen

Antwort

Ein Terrassenpunkt ist ein Wendepunkt mit waagrechter Tangente.

Frage anzeigen

Frage

Gib die Schritte zur Bestimmung der Wendepunkte mithilfe der 3. Ableitung an.

Antwort anzeigen

Antwort

Schritt 1: 1., 2. und 3. Ableitung von f bestimmen
Schritt 2: Nullstellen der 2. Ableitung berechnen, d. h. Lösen der Gleichung f ''(x) = 0
Schritt 3: Für jede Nullstelle x0 der 2. Ableitung den Funktionswert f '''(x0) berechnen und das Ergebnis auswerten
f '''(x0) ≠ 0: Wendepunkt
f '''(x0) = 0: keine Aussage möglich

Frage anzeigen

Frage

Was sind Asymptoten?

Antwort anzeigen

Antwort

Asymptoten sind Geraden, denen sich der Graph einer Funktion beliebig genau nähert.

Frage anzeigen

Frage

Was versteht man unter Monotonie?

Antwort anzeigen

Antwort

Die Monotonie beschreibt das Steigungsverhalten einer Funktion.

Frage anzeigen

Frage

Wann ist ein Graph streng monoton fallend?

Antwort anzeigen

Antwort

f '(x) < 0 im Intervall I ⇒ Der Graph Gf fällt streng monoton in I

Frage anzeigen

Frage

Wann ist ein Graph streng monoton wachsend?

Antwort anzeigen

Antwort

f '(x) > 0 im Intervall I ⇒ Der Graph Gf steigt streng monoton in I.

Frage anzeigen

Frage

Was sind Extremstellen?

Antwort anzeigen

Antwort

Extremstellen sind Stellen (x-Werte), an denen der Graph einer Funktion die Steigung null und damit eine waagrechte
Tangente
besitzt. Außerdem ändert sich an dieser Stelle das Monotonieverhalten
(von steigend zu fallend oder umgekehrt).

Frage anzeigen

Frage

Welche drei Arten von Extremstellen werden unterschieden?

Antwort anzeigen

Antwort

Tiefpunkt, Hochpunkt, Terrassenpunkt

Frage anzeigen

Frage

Wann liegt ein Hochpunkt vor?

Antwort anzeigen

Antwort

VZW von + nach − : relatives Maximum bei x0

Frage anzeigen

Frage

Wann liegt ein Terrassenpunkt vor?

Antwort anzeigen

Antwort

Kein VZW

Frage anzeigen

Frage

Wie kann das Monotonieverhalten und die Extrempunkte mithilfe einer Monotonietabelle bestimmt werden?

Antwort anzeigen

Antwort

Schritt 1: 1. Ableitung von f bestimmen
Schritt 2: Nullstellen der 1. Ableitung berechnen, d. h. Lösen der Gleichung f '(x) = 0
Schritt 3: Für jede Nullstelle x0 der 1. Ableitung überprüfen, ob f '(x) beim Fortschreiten von links nach rechts über die Nullstelle hinweg das Vorzeichen wechselt
− nach + : relatives Minimum bei x0
+ nach − : relatives Maximum bei x0
kein VZW: Terrassenpunkt

Frage anzeigen

Frage

Wie können Extrempunkte mithilfe der 2. Ableitung bestimmt werden?

Antwort anzeigen

Antwort

Schritt 1: 1. und 2. Ableitung von f bestimmen
Schritt 2: Nullstellen der 1. Ableitung berechnen, d. h. Lösen der Gleichung f '(x) = 0
Schritt 3: Für jede Nullstelle x0 der 1. Ableitung den Funktionswert f ''(x0) berechnen und das Ergebnis auswerten
f ''(x0) > 0: relatives Minimum bei x0
f ''(x0) < 0: relatives Maximum bei x0
f ''(x0) = 0: Terrassenpunkt möglich

Frage anzeigen

Frage

Wann spricht man von einer echt gebrochenrationaler Funktion?

Antwort anzeigen

Antwort

Zählergrad ist kleiner als Nennergrad

Frage anzeigen

Frage

Wann spricht man von einer unecht gebrochenrationaler Funktion?

Antwort anzeigen

Antwort

Zählergrad ist größer als Nennergrad

Frage anzeigen

Frage

Was versteht man unter einer linearen Funktion?

Antwort anzeigen

Antwort

f(x)=mx + t

Frage anzeigen

Frage

Wie wird der Wert m einer linearen Funktion noch bezeichnet?

f(x)=mx + t

Antwort anzeigen

Antwort

Steigung m

Frage anzeigen

Frage

Wie wird der Wert t einer linearen Funktion noch bezeichnet?

f(x)=mx + t

Antwort anzeigen

Antwort

Achsenabschnitt t

Frage anzeigen

Frage

Welche Eigenschaften hat der Graph einer linearen Funktion?

Antwort anzeigen

Antwort

Gerade mit folgenden Eigenschaften:

  • Sie verläuft von links unten nach rechts oben, wenn m > 0, bzw. von links oben nach rechts unten, wenn m < 0.
  • Sie schneidet die y-Achse im Punkt (0 | t) und die x-Achse im Punkt (−t/ m | 0).
  • Für | m | > 1 verläuft sie steiler als die Winkelhalbierende der jeweiligen Quadranten, für | m | < 1 flacher.
Frage anzeigen

Frage

Wie kann der Achsenabschnitt t bei bekannter Steigung m berechnet werden?

Antwort anzeigen

Antwort

Setze die Koordinaten eines auf der Geraden liegenden Punktes A(a1 | a2) in die Geradengleichung y = mx + t ein, erhalte so a2 = ma1 + t und löse diese Gleichung nach t auf.

Frage anzeigen

Frage

Unter welcher Bedingung ist der Graph einer Potenzfunktion eine Parabel?

Antwort anzeigen

Antwort

Parabel der Ordnung n, wenn n = 2, 3, 4, …

Frage anzeigen

Frage

Unter welcher Bedingung ist der Graph einer Potenzfunktion eine Hyperbel?

Antwort anzeigen

Antwort

Hyperbel der Ordnung | n |, wenn n = –1, –2, –3, …

Frage anzeigen

Frage

Welche Aussagen lassen sich über den ganzzahligen Exponenten n einer Potenzfunktion treffen, wenn ihr Graph vollständig über der x-Achse verläuft und sie auch nicht berührt?

Antwort anzeigen

Antwort

Die Aussage ist nur für eine Hyperbel gerader Ordnung erfüllt, n ist daher
negativ und gerade.

Frage anzeigen

Frage

Welche Aussagen lassen sich über den ganzzahligen Exponenten n einer
Potenzfunktion treffen, wenn Definitions- und Wertemenge der Funktion gleich sind?

Antwort anzeigen

Antwort

Die Aussage ist nur für Parabeln und Hyperbeln ungerader Ordnung erfüllt, n ist daher ungerade.

Frage anzeigen

Frage

Berechne die folgenden Aufgaben


a. (2x^2 + 3) * (x + 2x^2)

b. (3x^3 -2x) * (3 - 4x)

c. (2x - 3x^2) * (x^2 + 3)

Antwort anzeigen

Antwort

a. 4x^4 + 2x^3 + 6x^2 + 3x

b. -12x^4 + 9x^3 +8x^2 - 6x

c. -3x^4 + 2x^3 - 9x^2 + 6x

Frage anzeigen

Frage

Berechne die Summe der folgenden Funktionen.


f(x) = 2x^2 + 4

g(x) = 4x - 3

h(x) = -x^2 + 5x


a. f(x) + g(x)

b. g(x) + h(x)

c. h(x) + f(x)

Antwort anzeigen

Antwort

a. 2x^2 + 4x + 1

b. -x^2 + 9x - 3

c. x^2 + 5x +4

Frage anzeigen

Frage

Berechne die Summe der folgenden Funktionen.


f(x) = -3x + 5

g(x) = 4x^2 + 3x

h(x) = -x^2 + 5


a. f(x) + g(x)

b. g(x) + h(x)

c. h(x) + f(x)

Antwort anzeigen

Antwort

a. 4x^2 + 5

b. 3x^2 + 3x + 5

c. -x^2 - 3x + 10

Frage anzeigen

Frage

Berechne die Summe der folgenden Funktionen.


f(x) = 5x + 5

g(x) = -3x^2 + 3x

h(x) = 2x^2 + 4


a. f(x) + g(x)

b. g(x) + h(x)

c. h(x) + f(x)

Antwort anzeigen

Antwort

a. -3x^2 + 8x + 5

b. -x^2 + 3x + 4

c. 2x^2 + 5x + 9

Frage anzeigen

Frage

Berechne die Summe der folgenden Funktionen.


f(x) = 3x + 4

g(x) = 4x^2 - 2x 

h(x) = -2x^2 + 2x


a. f(x) + g(x)

b. g(x) + h(x)

c. h(x) + f(x)

Antwort anzeigen

Antwort

a. 4x^2 + x + 4

b. 2x^2 

c. -2x^2 + 5x + 4

Frage anzeigen

Frage

Berechne die Summe der folgenden Funktionen.


f(x) = 3x^2 + 2x

g(x) = -2x + 3x^2

h(x) = x^2 + 5


a. f(x) + g(x)

b. g(x) + h(x)

c. h(x) + f(x)

Antwort anzeigen

Antwort

a. 6x^2

b. 4x^2 - 2x + 5

c. 4x^2 + 2x + 5

Frage anzeigen

Frage

Berechne die Summe der folgenden Funktionen.


f(x) = 4x + 4

g(x) = x^2 - 1

h(x) = 3x^2 + 2


a. f(x) + g(x)

b. g(x) + h(x)

c. h(x) + f(x)

Antwort anzeigen

Antwort

a. x^2 + 4x + 3

b. 4x^2 + 1

c. 3x^2 + 4x + 6

Frage anzeigen

Frage

Berechne die Summe der folgenden Funktionen.


f(x) = 2x^2 + 4

g(x) = -2x + 2

h(x) = -x^2 - 3


a. f(x) + g(x)

b. g(x) + h(x)

c. h(x) + f(x)

Antwort anzeigen

Antwort

a. 2x^2 - 2x + 6

b. -x^2 - 2x - 1

c. x^2 + 1

Frage anzeigen

Frage

Berechne die Summe der folgenden Funktionen.


f(x) = -3x^3 + 2x^2 + 3

g(x) = -2x^2 + 5

h(x) = x^3 + 3x - 5


a. f(x) + g(x)

b. g(x) + h(x)

c. h(x) + f(x)

Antwort anzeigen

Antwort

a. -3x^2 + 8

b. x^3 - 2x^2 + 3x 

c. -2x^2 + 2x^2 + 3x - 2

Frage anzeigen

Frage

Berechne die Summe der folgenden Funktionen.


f(x) = -3x^3 - 2x + 3

g(x) = x^3 + 2x^2 - 4

h(x) = x^2 + 3x


a. f(x) + g(x)

b. g(x) + h(x)

c. h(x) + f(x)

Antwort anzeigen

Antwort

a. -2x^3 + 2x^2 - 2x - 1

b. x^3 + 3x^2 + 3x - 4

c. -3x^3 + x^2 + x + 3

Frage anzeigen

Frage

Berechne die Summe der folgenden Funktionen.


f(x) = -x^3 + 2x - 4

g(x) = x^2 - 2x + 3

h(x) = 3x^3 + 4x


a. f(x) + g(x)

b. g(x) + h(x)

c. h(x) + f(x)

Antwort anzeigen

Antwort

a. -x^3 + x^2 - 1

b. 3x^3 + x^2 + 2x + 3

c. 2x^3 + 6x - 4

Frage anzeigen

Frage

Berechne die Summe der folgenden Funktionen.


f(x) = 3x^3 + 2x - 2

g(x) = 4x^2 + 3x + 4

h(x) = x^3 + 3x^2 + 2x + 1


a. f(x) + g(x)

b. g(x) + h(x)

c. h(x) + f(x)

Antwort anzeigen

Antwort

a. 3x^3 + 4x^2 + 5x + 2

b. x^3 + 7x^2 + 5x + 5

c. 4x^3 + 3x^2 + 4x - 1

Frage anzeigen

Frage

Berechne die Differenz der folgenden Funktionen.


f(x) = 3x^3 + 2x - 2

g(x) = 4x^2 + 3x + 4

h(x) = x^3 + 3x^2 + 2x + 1


a. f(x) - g(x)

b. g(x) - h(x)

c. h(x) - f(x)

Antwort anzeigen

Antwort

a. 3x^3 - 4x^2 - x - 6

b. -x^3 + x^2 + x + 3

c. -2x^3 + 3x^2 + 3

Frage anzeigen

Frage

Berechne die Differenz der folgenden Funktionen.


f(x) = 2x^2 + 3x - 1

g(x) = 4x^3 + 2x + 3

h(x) = x^3 - 2x^2 - 3


a. f(x) - g(x)

b. g(x) - h(x)

c. h(x) - f(x)

Antwort anzeigen

Antwort

a. -4x^3 + 2x^2 + x - 4

b. 3x^3 + 2x^2 + 2x + 6

c. x^3 - 4x^2 - 3x - 2

Frage anzeigen

Frage

Berechne die Differenz der folgenden Funktionen.


f(x) = 2x^2 + 3x - 4

g(x) = 3x^2 - 2x + 3

h(x) = x^2 - x + 4


a. f(x) - g(x)

b. g(x) - h(x)

c. h(x) - f(x)

Antwort anzeigen

Antwort

a. -x^2 + 5x - 7

b. 2x^2 - x - 1

c. -x^2 - 4x + 8

Frage anzeigen

Frage

Berechne die Differenz der folgenden Funktionen.


f(x) = -2x^2 + 3x - 3

g(x) = x^2 + 3x - 1

h(x) = x^2 - x


a. f(x) - g(x)

b. g(x) - h(x)

c. h(x) - f(x)

Antwort anzeigen

Antwort

a. -3x^2 - 2

b. 4x - 1

c. 3x^2 - 4x + 3

Frage anzeigen

Frage

Berechne die Differenz der folgenden Funktionen.


f(x) = 2x^2 + 3

g(x) = -4x^2 + 2x + 1

h(x) = 3x^2 + 3x - 3


a. f(x) - g(x)

b. g(x) - h(x)

c. h(x) - f(x)

Antwort anzeigen

Antwort

a. 6x^2 - 2x + 2

b. -7x^2 - x + 4

c. x^2 + 3x - 6

Frage anzeigen

Frage

Berechne die Differenz der folgenden Funktionen.


f(x) = -x^2 + 3x -1

g(x) = 2x^2 + 3x + 1

h(x) = 3x^2 + 3x + 4


a. f(x) - g(x)

b. g(x) - h(x)

c. h(x) - f(x)

Antwort anzeigen

Antwort

a. -3x^2 - 2

b. -x^2 - 3

c. 4x^2 + 5

Frage anzeigen

Frage

Berechne die Differenz der folgenden Funktionen.


f(x) = 2x^2 + 3x - 3

g(x) = -x^2 - 2x

h(x) = 3x^2 + 4x - 1


a. f(x) - g(x)

b. g(x) - h(x)

c. h(x) - f(x)

Antwort anzeigen

Antwort

a. 3x^2 + 5x - 3

b. -4x^2 - 6x + 1

c. x^2 + x + 2

Frage anzeigen

Frage

Berechne die folgenden Aufgaben


a. (x^2 + 2x) * (-x + 3x^2)

b. (2x^3 + 2x) * (2 - 4x)

c. (x - 2x^2) * (2x^2 + 3x)

Antwort anzeigen

Antwort

a. 3x^4 + 5x^3 - 2x^2

b. -8x^4 + 4x^3 - 8x^2 + 4x

c. -4x^4 - 4x^3 + 3x^2 

Frage anzeigen

Frage

Berechne die folgenden Aufgaben


a. (x^2 + 3x) * (2x + 3x^2)

b. (2 + 2x) * (4 - 4x)

c. (2x - 6x^2) * (2 + 3x)

Antwort anzeigen

Antwort

a. 3x^4 + 11x^3 + 6x^2

c. -8x^2 + 8

c. -18x^3 - 6x^2 + 4x

Frage anzeigen
60%

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