Subtraktion von Vektoren: Erklärung & Aufgaben | StudySmarter
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Subtraktion von Vektoren

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Mathe

In diesem Kapitel geht es um Vektorsubtraktion. Dieses Thema ist in das Fach „Mathematik“ einzuordnen. Die Vektorsubtraktion gehört zum Thema der Vektoren.


Wir erklären dir in den folgenden Abschnitten die wichtigsten Begriffe zu diesem Thema und verdeutlichen dir das Ganze noch an Beispielen. 


Am Ende dieses Kapitels bist du sicher ein Profi! ☺

Am Schluss haben wir dir noch einmal das Wichtigste zu zum Thema „Vektorsubtraktion“ zusammengefasst!


Um ein breiteres Verständnis für das Überthema Vektoren zu erhalten, schau dir doch unseren Überblick zum Thema Vektoren an!




Subtraktion von Vektoren– die Basics zuerst! 


Neben der Addition von Vektoren, kannst du natürlich Vektoren auch subtrahieren. Wir veranschaulichen dir das Ganze an Grafiken, so kannst du dir die Subtraktion von Vektoren nämlich besser vorstellen. 



Voraussetzungen für die Subtraktion von Vektoren 


Wichtig bei der Vektorsubtraktion ist, dass die zu subtrahierenden Vektoren die gleiche Art haben. Außerdem müssen sie die gleiche Dimension haben, also entweder müssen beide Vektoren im zweidimensionalen Raum sein oder beide im dreidimensionalen Raum, etc…


Schauen wir uns dazu ein paar Beispiele an:


  •  : gleiche Art und Dimension, deshalb ist eine Subtraktion möglich

  • : gleiche Art, allerdings nicht die gleiche Dimension, deshalb ist keine Subtraktion möglich

  •   : gleiche Dimension, allerdings nicht die gleiche Art (a ist ein Zeilenvektor,     während b ein Spaltenvektor ist) deshalb ist keine Subtraktion möglich

  • : gleiche Art und die gleiche Dimension, deshalb ist eine Subtraktion möglich




Vektorsubtraktion - grafisch


Stell dir vor, du möchtest die beiden Vektoren  subtrahieren. Zuerst schauen wir uns das einmal bildlich an. Wir haben zwei Vektoren gegeben und subtrahieren diese jetzt. Da wir diese allerdings subtrahieren möchten, müssen wir das negative Vorzeichen des Vektors  beachten.



Dazu legen wir an die Spitze des ersten Vektors , den Anfang des zweiten Vektors . Das Ergebnis dieses Vorgangs ist wieder ein Vektor, der Vektor .


Der Ergebnisvektor reicht vom Fuß des ersten Vektors  bis zu der Spitze des zweiten Vektors .




Vektorsubtraktion - Das musst du beachten! 


Achtung!

Hier musst du aber - im Gegenteil zur Addition von Vektoren - etwas sehr Wichtiges beachten: 

Die Vorzeichen des Vektors müssen umgedreht werden, da wir diesen ja subtrahieren wollen und deshalb das Vorzeichen des zweiten Vektors negativ werden muss.



Vektorsubtraktion– rechnerisch 


Wenn du zwei Vektoren rechnerisch subtrahieren möchtest, musst du jeweils die Komponenten der beiden Vektoren subtrahieren. Die Vektoren können auch mehr als zwei Werte in der Matrix haben und beispielsweise so aussehen: .


Haben sie nur zwei Komponenten, dann befinden wir uns im zweidimensionalen Raum, haben sie drei Komponenten befinden wir uns im dreidimensionalen Raum, usw. 



Die Formel zur Vektorsubtraktion

Du berechnest die Subtraktion der Vektoren  wie folgt:



Im Gegensatz zur Vektoraddition ist die Reihenfolge hier sehr wichtig!




Beispielaufgabe zur Subtraktion von Vektoren 



Beispielaufgabe 1 


Die Aufgabe lautet:

Berechne die Differenz der beiden Vektoren  .


Lösung:

  1. Wir können diese Aufgabe berechnen, da beide Vektoren die gleiche Art und die gleiche Dimension haben.
  2. Wir setzen die Werte der beiden Vektoren in die Formel  von oben ein und erhalten den Ergebnisvektor:


 



Beispielaufgabe 2 


Die Aufgabe lautet:

Berechne die Differenz der beiden Vektoren .


Lösung:


Wir können diese Aufgabe nicht berechnen, da beide Vektoren weder die gleiche Art (ein Spaltenvektor und ein Zeilenvektor), noch dieselbe Dimension (ein Vektor im zweidimensionalen Raum und ein Vektor im dreidimensionalen Raum) haben.



Vektorsubtraktion - Alles Wichtige auf einen Blick


In diesem Kapitel haben wir uns mit der Vektorsubtraktion beschäftigt.


  • Dazu legen wir an die Spitze des ersten Vektors , den Anfang des zweiten Vektors .  Der Vektor, der das Ende des ersten Vektors und die Spitze des zweiten Vektors verbindet, ist das Ergebnis dieser Vektorsubtraktion.


  • Natürlich kannst du das Ergebnis auch einfach berechnen. Du berechnest die Differenz der Vektoren  mit dieser Formel:





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