Select your language

Suggested languages for you:
Log In App nutzen
StudySmarter - Die all-in-one Lernapp.
4.8 • +11k Ratings
Mehr als 5 Millionen Downloads
Free

Skalarprodukt

Save Speichern
Print Drucken
Edit Bearbeiten
Melde dich an und nutze alle Funktionen. Jetzt anmelden
X
Illustration Du hast bereits eine Erklärung angesehen Melde dich kostenfrei an und greife auf diese und tausende Erklärungen zu
Mathe

In diesem Kapitel geht es um das Skalarprodukt. Dieses Thema ist in das Fach „Mathematik“ einzuordnen. Das Skalarprodukt gehört zu den Vektoren.


Wir erklären dir in den folgenden Abschnitten die wichtigsten Begriffe zu diesem Thema und verdeutlichen dir das Ganze noch an Beispielen. Am Schluss haben wir dir noch einmal das Wichtigste zu zum Thema „Skalarprodukt“ zusammengefasst!


Das Skalarprodukt – die Basics zuerst!


Wie du oben schon gelesen hast, hängt das Skalarprodukt mit den Vektoren zusammen. 



Was kannst du dir unter dem Skalarprodukt vorstellen?


Du erhältst das Skalarprodukt, indem du den Vektor  auf den Vektor  projizierst. Zugegeben, darunter kann man sich erstmal recht wenig vorstellen. Die folgende Grafik verdeutlicht dir, was du dir unter einer „Projektion“ vorstellen kannst:





Wie berechnest du das Skalarprodukt?


Das Ergebnis des Skalarprodukts ist eine „skalare Größe“. Skalare Größe bedeutet, dass diese Größe alleine durch die Angabe des Zahlenwertes charakterisiert ist, also nach der Zahl steht nichts mehr.


Es ist definiert wie folgt:



Wie du an der Grafik oben erkennen kannst, bezeichnet  den Winkel zwischen den beiden Vektoren.


“ gibt dir an, dass du das Skalarprodukt berechnen sollst.



Beispielaufgabe


Aufgabe:
Berechne das Skalarprodukt der Vektoren


Lösung:

Wir setzen die beiden Vektoren in die oben genannte Formel ein und erhalten:


Wir erkennen, ist das Ergebnis kein Vektor, sondern lediglich eine Zahl.




Was du sonst noch zum Skalarprodukt wissen solltest


Beim Rechnen mit dem Skalarprodukt gelten unter anderem Rechengesetze, die du zu beachten hast. Du kannst das Skalarprodukt auch zur Berechnung von Winkeln benutzen.



Rechengesetze beim Skalarprodukt


Falls das Skalarprodukt zweier Vektoren berechenbar ist, gelten einige Rechenregeln:




Orthogonale Vektoren


Wie du oben schon gelesen hast, zeigt das Skalarprodukt die Projektion eines Vektors auf einen anderen. Du kannst folglich dann mit dem Skalarprodukt auch nachweisen, ob zwei Vektoren senkrecht aufeinander stehen. 


Falls das der Fall sein sollte, das heißt, dass die Vektoren „orthogonal“ sind, dann ist das Skalarprodukt der beiden Vektoren null.


 und damit folgt:




Die Berechnung eines Winkels mit dem Skalarprodukt


Wie die Definition des Skalarprodukts (Zur Erinnerung:) schon erkennen lässt, hängt das Skalarprodukt stark mit Winkeln zusammen. Du kannst nämlich mithilfe des Skalarproduktes den Winkel zwischen zwei Vektoren berechnen.


Die folgende Grafik, zeigt dir, welchen Winkel wir meinen: 



Dazu setzt du die zugehörigen Werte in folgende Formel ein:




Skalarprodukt - Das Wichtigste auf einen Blick


  • Das Skalarprodukt ist die Projektion des Vektors auf den Vektor .


  • Es ist definiert wie folgt:


  • Das Ergebnis ist eine skalare Größe, das heißt lediglich eine Zahl.


  • Zwei Vektoren sind orthogonal zueinander, also sie stehen senkrecht zueinander, wenn ihr Skalarprodukt null ist:  und damit folgt:


Finales Skalarprodukt Quiz

Frage

Bestimmen x jeweils so, dass die Vektoren v und w einen rechten Winkel einschließen!


Antwort anzeigen

Antwort

  1. -11
  2. 1,4
  3. 0
  4. 2
Frage anzeigen

Frage

Berechne das Skalarprodukt der folgenden Vektoren!



Antwort anzeigen

Antwort

  1. -5
  2. 0
  3. 10
  4. 1
Frage anzeigen

Frage

Berechne jeweils das Skalarprodukt!



Antwort anzeigen

Antwort

  1. 3
  2. 3
  3. -8
  4. 24
Frage anzeigen

Frage

Berechne jeweils das Skalarprodukt!


Antwort anzeigen

Antwort

  1. 10
  2. -1
  3. 0
  4. 0


Frage anzeigen

Frage

Bilde das Skalarprodukt der Vektoren a und b:



Antwort anzeigen

Antwort

Frage anzeigen

Frage

Berechne das Skalarprodukt der beiden Vektoren: 




Antwort anzeigen

Antwort

  1. 5
  2. 16
  3. -16
  4. 13
Frage anzeigen

Frage

Berechne das Skalarprodukt der beiden Vektoren!



Antwort anzeigen

Antwort

  1. -1
  2. -4
  3. -7
  4. 6
Frage anzeigen

Frage

Beantworte die folgenden Fragen!




Antwort anzeigen

Antwort

Frage anzeigen

Frage

Wie lässt sich das Skalarprodukt noch alternativ definieren? (mit Winkel)

Antwort anzeigen

Antwort

Frage anzeigen

Frage

Berechne das Skalarprodukt der beiden Vektoren u und v.


a.    u(1, 3, 2)    v(-2, 4 ,-2)

b.   u(2, -3, 1)   v(3, 3, 3)


Antwort anzeigen

Antwort

a. 6

b. 0

Frage anzeigen

Frage

Berechne das Skalarprodukt der beiden Vektoren u und v.


a.   u(3, 0, -2)   v(1, 7, -2)

b.   u(1, 0, 1)    v(-2, 7, 10)

Antwort anzeigen

Antwort

a. 7

b. 8

Frage anzeigen

Frage

Berechne das Skalarprodukt der beiden Vektoren u und v.


a.    u(1, 7, 27)    v(1, 10, -3)

b.   u(-2, -3, -4)   v(4, -3, 2)

Antwort anzeigen

Antwort

a. -10

b. -7

Frage anzeigen

Frage

Berechne das Skalarprodukt der beiden Vektoren u und v.


a.   u(9, 3, -1)   v(-4, 12, 3)

b.   u(8, 4, -2)   v(4, 8, 16)

Antwort anzeigen

Antwort

a. -3

b. 32

Frage anzeigen

Frage

Bestimme jeweils das Skalarprodukt!




Antwort anzeigen

Antwort

Frage anzeigen

Frage

Berechne das Skalarprodukt der beiden Vektoren u und v.


a.   u(1, 3, 0)    v(2, 4, 7)

b.   u(2, -2, 3)   v(-1, 2, 2)

Antwort anzeigen

Antwort

a. 14

b. 0

Frage anzeigen

Frage

Berechne das Skalarprodukt der beiden Vektoren u und v.


a.   u(1, 2, -3)    v(-1, 2, 1)

b.   u(2, -2, -2)   v(3, 2, -1)

Antwort anzeigen

Antwort

a. 0

b. 4

Frage anzeigen

Frage

Berechne das Skalarprodukt der beiden Vektoren u und v.


a.   u(2, 4, 0)    v(0, 2, 0)

b.   u(4, 2, -1)   v(1, 4, 2)

Antwort anzeigen

Antwort

a. 8

b. 10

Frage anzeigen

Frage

Berechne das Skalarprodukt der beiden Vektoren u und v.


a.   u(1, 2, 0)    v(2, -2, 2)

b.   u(2, 1, 2)    v(1, -2, 1)

Antwort anzeigen

Antwort

a. -2

b. 2

Frage anzeigen

Frage

Berechne das Skalarprodukt der beiden Vektoren u und v.


a.   u(4, 3, 7)    v(8, -7, 2)

b.   u(1, -3, 1)   v(5, -7, -5)

Antwort anzeigen

Antwort

a. 25

b. 21

Frage anzeigen

Frage

Berechne das Skalarprodukt der beiden Vektoren u und v.


a.   u(2, -8, 12)   v(4, 6, -3)

b.   u(3, 7, -11)   v(6, 6, 6)

Antwort anzeigen

Antwort

a. -76

b. -6

Frage anzeigen

Frage

Berechne das Skalarprodukt der beiden Vektoren u und v.


a.   u(4, 7, -2)    v(-13, 14, -9)

b.   u(8, 11, -2)  v(-4, -13, -3)

Antwort anzeigen

Antwort

a. 64

b. -169

Frage anzeigen

Frage

Berechne das Skalarprodukt der beiden Vektoren u und v.


a.   u(3, 4, -7)    v(3, -12, 7)

b.   u(6, 8, 1)     v(12, -4, 11)

Antwort anzeigen

Antwort

a. -88

b. 51

Frage anzeigen

Frage

Bearbeite die folgenden Aufgaben zum Thema Skalarprodukt:


  1. Gib die geometrische "Berechnung" des Skalarprodukt an. D.h wie wird das Skalarprodukt mit Hilfe des eingeschlossenen Winkels berechnet?
  2. Welche Bedeutung hat es, wenn das Skalarprodukt zweier Vektoren Null ist?
  3. Berechne

  4. Berechne


Antwort anzeigen

Antwort

  1. Das Skalarprodukt ist geometrisch definiert als
  2. Ist , so gilt. a und b stehen also senkrecht zueinander.




Frage anzeigen

Frage

Das Skalarprodukt von Vektoren ist...

Antwort anzeigen

Antwort

...eine Zahl

Frage anzeigen

Frage

Berechne das Skalarprodukt der folgenden Vektoren:


Antwort anzeigen

Antwort

32

Frage anzeigen

Frage

Berechne das Skalarprodukt der folgenden Vektoren. Was kannst du schlussfolgern?


Antwort anzeigen

Antwort

0 (das bedeutet, die beiden Vektoren stehen senkrecht aufeinander)

Frage anzeigen

Frage

Berechne das Skalarprodukt der folgenden Vektoren:


Antwort anzeigen

Antwort

48

Frage anzeigen

Frage

Berechne das Skalarprodukt der folgenden Vektoren:

Antwort anzeigen

Antwort

11

Frage anzeigen

Frage

Bestimme den Vektor v so, dass er orthogonal zu u ist.



Antwort anzeigen

Antwort

Frage anzeigen

Frage

Bestimme den Vektor v so, dass er orthogonal zu u ist.



Antwort anzeigen

Antwort

Frage anzeigen

Frage

Durch welche Formel wird die Berechnung des Skalarproduktes von zwei dreidimensionalen Vektoren definiert?

Antwort anzeigen

Antwort

Frage anzeigen

Frage

Beweise, dass für das Skalarprodukt zweier Vektoren gilt:


Antwort anzeigen

Antwort


Frage anzeigen

Frage

Prüfe, ob die folgenden Vektoren orthogonal sind.


Antwort anzeigen

Antwort

Da das Skalarprodukt Null ergibt, sind die Vektoren orthogonal.

Frage anzeigen

Frage

Prüfe, ob die folgenden Vektoren orthogonal sind.


Antwort anzeigen

Antwort

Die Vektoren sind nicht orthogonal, da das Skalarprodukt ungleich Null ist.

Frage anzeigen

Frage

Durch die Berechnung des Skalarproduktes zweier Vektoren lässt sich feststellen...

Antwort anzeigen

Antwort

ob die Vektoren orthogonal sind oder nicht

Frage anzeigen

Frage

Bestimme die beiden Vektoren, die orthogonal sind.


Antwort anzeigen

Antwort

u und v sind orthogonal

u und w sind orthogonal

v und w sind nicht orthogonal

Frage anzeigen

Frage

Bestimme die beiden Vektoren, die orthogonal sind. 


Antwort anzeigen

Antwort

u und v sind orthogonal

v und w sind orthogonal

u und w sind nicht orthogonal 

Frage anzeigen

Frage

Wie viele Vektoren v gibt es, die orthogonal zu u sind?


Antwort anzeigen

Antwort

unendlich viele. Hauptsache, die Bedingung für das Skalarprodukt ist erfüllt (muss Null ergeben).

Frage anzeigen

Frage

Bestimme das Skalarprodukt der folgenden Vektoren. Welche Bedingung muss erfüllt sein, damit die Vektoren senkrecht zueinander stehen?


Antwort anzeigen

Antwort

Das Skalarprodukt muss null ergeben, damit die Vektoren senkrecht zueinander stehen.




Frage anzeigen

Frage

Zeige mit Hilfe des Skalarproduktes, dass die x- und die y-Achsen eines dreidimensionalen Koordinatensystems im rechten Winkel zueinander stehen.

Antwort anzeigen

Antwort

Frage anzeigen

Frage

Zeige, dass die z-Achse eines Koordinatensystems senkrecht auf der x- sowie auf der y-Achse steht.

Antwort anzeigen

Antwort

Frage anzeigen

Frage

Die Definition des Skalarproduktes ist

Antwort anzeigen

Antwort

Frage anzeigen

Frage

Welche der folgenden Aussagen sind korrekt?

Antwort anzeigen

Antwort


Frage anzeigen

Frage

Welche der folgenden Aussagen ist korrekt?

Antwort anzeigen

Antwort

Frage anzeigen

Frage

Berechnen Sie das Spatprodukt aus den 3 Vektoren x, y und z


a. x(2, 3, 5); y(-2, 4, 0); z(1, 3, -1)

b. x(2, 4, 2); y(-4, 2, 0); z(2, 4, -1)

c. x(2, 1, 2); y(-1, 4, 1); z(0, 4, -2)

Antwort anzeigen

Antwort

a. -46

b. -60

c. -34

Frage anzeigen

Frage

Berechnen Sie das Spatprodukt aus den 3 Vektoren x, y und z


a. x(2, 3, 1); y(-2, 1, 0); z(1, 3, -1)

b. x(2, 1, 2); y(-4, 1, 0); z(2, 1, -1)

c. x(1, 1, 2); y(-1, 4, 1); z(0, 1, -2)

Antwort anzeigen

Antwort

a. -15

b. -18

c. -13

Frage anzeigen

Frage

Gegeben sind die 3 Vektoren a, b und c mit 



Berechne das Spatprodukt von  .



Antwort anzeigen

Antwort

Das Spatprodukt ist 35.

Frage anzeigen

Frage

Gegeben sind die 3 Vektoren u, v und w mit 


Berechne das Spatprodukt von

Antwort anzeigen

Antwort

Das Spatprodukt ist 71.

Frage anzeigen

Frage

Gegeben sind die 3 Vektoren u, v und w mit


Berechne das Spatprodukt von  

Antwort anzeigen

Antwort

Das Spatprodukt ist 88.

Frage anzeigen

Frage

Gegeben sind die 3 Vektoren u, v und w mit


Berechne das Spatprodukt von


Antwort anzeigen

Antwort

Das Spatprodukt ist 46.

Frage anzeigen

Frage

Gegeben sind die 3 Vektoren u, v und w mit

Berechne das Spatprodukt von 


Antwort anzeigen

Antwort

Das Spatprodukt ist 5.

Frage anzeigen

Frage

Gegeben sind die 3 Vektoren u, v und w mit 


Berechne das Spatprodukt von



Antwort anzeigen

Antwort

Das Spatprodukt ist 56.

Frage anzeigen

Frage

Bestimme das Volumen des Parallelepipeds, das durch die folgenden vier Punkte definiert ist

Antwort anzeigen

Antwort


Frage anzeigen

Frage

Bestimme das Volumen des Parallelepipeds, das durch die folgenden vier Punkte definiert ist


Antwort anzeigen

Antwort

Die vier Punkte liegen in einer gemeinsamen Ebene, womit kein Volumen aufgespannt wird!

Frage anzeigen

Frage

Zeige mit Hilfe des Spatproduktes, dass die beiden folgenden Geraden

windschief zueinander sind.

Antwort anzeigen

Antwort

nicht parallel/identisch


drei linear unabhängige Vektoren


Frage anzeigen

Frage

Berechne das Spatprodukt der folgenden Vektoren.


Antwort anzeigen

Antwort

-2

Frage anzeigen

Frage

Berechne das Spatprodukt der folgenden Vektoren. 


Antwort anzeigen

Antwort

-69

Frage anzeigen

Frage

Berechne das Spatprodukt der folgenden Vektoren. 


Antwort anzeigen

Antwort

-450

Frage anzeigen

Frage

Das Spatprodukt ist...

Antwort anzeigen

Antwort

...eine Zahl, die ein Volumen widerspiegelt

Frage anzeigen

Frage

Berechne das Spatprodukt der folgenden Vektoren. 


Antwort anzeigen

Antwort

384

Frage anzeigen

Frage

Berechne das Spatprodukt der folgenden Vektoren und interpretiere das Ergebnis.


Antwort anzeigen

Antwort

Das Spatprodukt ist Null. Das liegt daran, dass Vektor a die Länge Null hat, und somit kein Spat im Raum aufgespannt werden kann. 

Frage anzeigen

Frage

Berechne das Spatprodukt der folgenden Vektoren und interpretiere das Ergebnis.


Antwort anzeigen

Antwort

Das Spatprodukt ist Null, da die Vektoren a und b linear abhängig sind. Sie zeigen vom Ursprung aus in die gleiche Richtung. So kann kein Spat im Raum aufgespannt werden.

Frage anzeigen
Mehr zum Thema Analytische Geometrie
60%

der Nutzer schaffen das Skalarprodukt Quiz nicht! Kannst du es schaffen?

Quiz starten

Über 2 Millionen Menschen lernen besser mit StudySmarter

  • Tausende Karteikarten & Zusammenfassungen
  • Individueller Lernplan mit Smart Reminders
  • Übungsaufgaben mit Tipps, Lösungen & Cheat Sheets

Finde passende Lernmaterialien für deine Fächer

Hol dir jetzt die Mobile App

Die StudySmarter Mobile App wird von Apple & Google empfohlen.

Skalarprodukt
Lerne mit der Web App

Alle Lernunterlagen an einem Ort mit unserer neuen Web App.

JETZT ANMELDEN Skalarprodukt

Melde dich an für Notizen & Bearbeitung. 100% for free.