Parameterform: Beispielaufgabe & Aufstellung | StudySmarter
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Parameterform

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Mathe

In diesem Kapitel geht es um die Parameterform. Dieses Thema ist in das Fach  „Mathematik“ in den Bereich „Vektoren“ einzuordnen.  


Wir erklären dir in den folgenden Abschnitten die wichtigsten Begriffe zum Thema  „Parameterform“. Falls du noch mehr über Zufallsgrößen wissen möchtest, würde ich dir empfehlen, unsere anderen Artikel dazu anzusehen. 


Am Ende dieses Kapitels hast du hoffentlich einen sehr guten Überblick über das Thema „Parameterform“! ☺ Falls du allerdings doch noch Fragen haben solltest, dann schreib doch in die Kommentare! 


Am Schluss haben wir dir noch einmal das Wichtigste zu diesem Thema zusammengefasst! 




Was ist die Parameterform? – die Basics zuerst!  


Wenn wir uns im dreidimensionalen Raum bewegen, dann gibt es dort Ebenen. Um die genaue Lage der Ebenen anzugeben, gibt es bestimmte Schreibweisen. Zum einen gibt es die Koordinatenform und die Normalenform, über diese beiden Schreibweisen hast du sicherlich schon einiges gehört. Zum anderen gibt es die Parameterform, welcher wir uns in diesem Kapitel widmen. 



Die allgemeine Schreibweise der Parameterform


Die allgemeine Schreibweise für die Parameterform lautet:  


 


Dabei gilt als ein sogenannter Stützvektor und die Vektoren  und werden als Spannvektoren bezeichnet.

Dabei dürfen die Vektoren und kein Vielfaches voneinander sein, denn sonst würden sie  keine Ebene aufspannen.


Bildlich kannst du dir das so vorstellen: Die Ebene wird auf den Vektor gestützt und die Vektoren  und spannen die Ebene auf.  



Beachte: Die Parameterform hat keine einheitliche Form


Die Parameterform der Ebene ist nicht eindeutig. Zwei unterschiedliche Parametergleichungen können ein und dieselbe Ebene beschreiben. Meist erkennst du, dass zwei Parametergleichungen eine Ebene darstellen, da die eine Parametergleichung ein Vielfaches der anderen ist. 

Das gilt auch für die beiden nachfolgenden Parametergleichungen, die ein und dieselbe Ebene beschreiben.





Beispielaufgabe


Um das Thema dir noch besser erklären zu können, veranschaulichen wir das Alles noch an ein paar Beispielen. 



Beispielaufgabe 1


Die Aufgabe lautet: 

Du hast drei Punkte gegeben, welche alle auf einer Ebene liegen. Bestimme die Parameterform dieser Ebene. 

Die drei Punkte lauten:


 


Lösung: 


Schritt 1: Der Punkt wird als Stützpunkt verwendet. Mit diesem können wir dann den Verbindungsvektor zu den beiden anderen Punkten  und  und damit die Spannvektoren  berechnen.  


Die beiden Spannvektoren lauten:  



Schritt 2: Jetzt müssen wir sicherstellen, dass die Spannvektoren kein Vielfaches voneinander sind und damit keine Ebene aufspannen. Das können wir ganz einfach ablesen. 


Schritt 3: Wir setzen die berechneten Punkte in die Ebenengleichung ein.



Die Ebenengleichung in Parameterform lautet also:




Beispielaufgabe 2 


Die Aufgabe lautet: 

Liegt der Punkt A(2|1|3) auf der Ebene?


Lösung: 

Schritt 1: Wir setzen den Punkt A(2|1|3) für den Vektor  ein und stellen ein Lineares Gleichungssystem auf.



Schritt 2: Wir lösen das LGS. Wir können ablesen, dass ℎ = 1 und i = 1 ist. Das können wir in (III) einsetzen. Wir erhalten 3 = 3 und damit stimmt die Gleichung, das heißt, dass A auf der Ebene liegt. 


Probe: Wir können das überprüfen, indem wir die ℎ = 1 und i = 1 in die Ebenengleichung einsetzen und den Punkt A erhalten. 




Parameterform - Alles Wichtige auf einen Blick


  • Neben der Koordinatenform und der Normalenform gibt es bei Ebenen auch noch die Möglichkeit diese in der Parameterform darzustellen. 
  • Die allgemeine Schreibweise für die Parameterform lautet , dabei dürfen  und  kein Vielfaches voneinander sein.
  • Die Parameter-Darstellung hat keine einheitliche Form. Zwei unterschiedliche Parametergleichungen können dieselbe Ebene darstellen. 



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