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Kreuzprodukt

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Mathe

In diesem Artikel erklären wir dir, was es mit dem Vektorprodukt, bzw. Kreuzprodukt auf sich hat und zeigen dir anhand von Beispielaufgaben, wie du garantiert zum richtigen Ergebnis kommst. Dieser Artikel gehört zum Fach Mathematik und erweitert das Thema Vektoren.



Was ist überhaupt ein Kreuzprodukt / Vektorprodukt? 


Du benötigst das Kreuzprodukt, auch Vektorprodukt genannt, bei vielen Anwendungen in der Geometrie, in der Technischen Mechanik und der Physik. Ziel des Vektorprodukts ist es die Lotrichtung zu einem, bzw. zwei Vektoren zu ermitteln. Mit Hilfe des Kreuzprodukts lässt sich ein Vektor ermitteln der senkrecht, bzw. lotrecht zu einer Ebene steht. Diese Ebene ist definiert durch zwei zentrale Vektoren, welche gegeben sind um das Kreuzprodukt zu bestimmen.


Die beiden zentralen Vektoren sind durch beschrieben. Das Vektorprodukt dieser zwei Vektoren ist wiederum ein Vektor und definiert durch . Diese drei Vektoren bilden zusammen ein Rechtssystem wie folgendes Schaubild verdeutlicht.

Ein Rechtssystem bezeichnet hier drei 

Vektoren im Raum. 


  • Die Vektoren bilden eine Ebene
  • Der Vektor steht senkrecht zu dieser Ebene




Das Ergebnis des Kreuzprodukts der Vektoren ist ein Vektor, der sowohl auf dem Vektor  als auch auf dem Vektor  senkrecht steht.


 



Wann benötige ich das Kreuzprodukt / Vektorprodukt? 

 

Mit Hilfe des Kreuzprodukts lässt sich beispielsweise der Winkel bestimmen, der zwischen den Richtungsvektoren der Ebene auftritt. Für den Betrag des Kreuzprodukts gilt . Das folgende Schaubild hilft sich diesen Zusammenhang bildlich vorzustellen.

                                                 


Das Rechtssystem aus der vorherigen Abbildung wird erweitert und es zeigt sich, dass die Vektorenein Parallelogramm in der Ebene bilden.


Der Winkel  und der Flächeninhalt des Parallelogramms können über den Betrag des Vektors, des Vektors  und die Höhe h des Parallelogramms bestimmt

werden






Auch lässt sich über den Betrag des Vektorprodukts der Flächeninhalt des Parallelogramms bestimmen, das von den Basisvektoren aufgespannt wird. Es gilt demnach .


Jetzt bist du startklar und wir können sofort mit der Anwendung des Kreuzprodukts, auch Vektorprodukt genannt, loslegen!




Worauf muss ich beim Vektorprodukt / Kreuzprodukt achten? 


Das Kreuzprodukt hat im Unterschied zum Skalarprodukt als Ergebnis einen Vektor. Der resultierende Vektor steht senkrecht auf den beiden Faktoren. Er wird insbesondere zur Darstellung von Ebenen und zur Abstandsberechnungen benutzt.


Das Kreuzprodukt zweier Vektoren bist wie folgt definiert:

Der Vektor ist orthogonal zu den Vektoren und wird deshalb auch Normalenvektor vongenannt.


Um den Unterschied zwischen dem Vektorprodukt und einem Skalarprodukt zweier Vektoren auch nachvollziehen zu können müsst ihr die Bedeutung der beiden vektor- geometrischen Anwendungen verstehen. Deshalb seht ihr jetzt die wichtigsten Punkte die das Vektorprodukt vom Skalarprodukt unterscheiden auf einen Blick.



Vektorprodukt und Skalarprodukt - Der wesentliche Unterschied? 


Das Skalarprodukt zwischen zwei reellen Vektoren ist definiert als . Das Ergebnis beim Skalarprodukt ist im Gegensatz zum Kreuzprodukt kein Vektor, sondern eine reelle Zahl. Um das Vektorprodukt vom Skalarprodukt zu unterscheiden verwendet man bei der Schreibweise ein Kreuz  anstatt eines Punktes .


Das Skalarprodukt zweier dreidimensionaler Vektoren   wird folgendermaßen gebildet:




Bei zweidimensionalen Vektoren   ergibt sich dementsprechend:




Das Vektorprodukt hingegen lässt sich nur geometrisch sinnvoll mit dreidimensionalen Vektoren nachvollziehen. Auch die Berechnung des Vektors beim Vektorprodukt folgt einem anderen Schema wie die Berechnung der Zahl. In der Anwendung unterscheiden sich Skalarprodukt und Vektorprodukt wie folgt:


  • Das Skalarprodukt wird in erster Linie fast ausschließlich dazu verwendet um den Winkel zwischen zwei Vektoren zu bestimmen. Dadurch lässt sich feststellen ob zwei Vektoren orthogonal (φ=90°) zueinander sind. Das Skalarprodukt orthogonaler Vektoren ist null.

  • Das Vektorprodukt, bzw. Kreuzprodukt hingegen beschreibt keine Zahl, sondern einen Vektor der orthogonal zu den beiden Ausgangsvektoren liegt. Das Skalarprodukt, berechnet aus diesem neuen Vektor und einem Basisvektor , ist deshalb ebenfalls null .


Wie ihr seht verwendet man je nach gesuchter Lösung bei vektor-geometrischen Aufgaben entweder das Skalar- oder das Vektorprodukt.

 

Das generelle Vorgehen bei der Berechnung des Kreuzprodukts wurde euch bereits in der Einführung veranschaulicht. Um euch das Vorgehen bei der Bestimmung des Vektorsauf Basis zweier dreidimensionaler Vektoren step by step zu zeigen starten wir jetzt mit der Anwendung.




Kreuzprodukt - Anwendung und Übung 


Um das Vektorprodukt schriftlich zu berechnen hilft folgende Verfahrensweise:


Step_1: Man schreibt die ersten Beiden Koordinaten der Vektoren nochmals unter die Tupel:


Step_2: Anschließend werden die Produkte der Koordinaten der Farbe entsprechend gebildet:


Dabei sind die Produkte, die durch einen von links unten nach rechts oben laufenden Pfeil gekennzeichnet sind, mit dem negativen Vorzeichen, bzw. Rechenzeichen zu versehen.


Um den Rechenweg anschaulich nachvollziehen zu können seht ihr jetzt ein Rechenbeispiel zur Bestimmung des Kreuzprodukts.


Beispiel:


Gegeben sind die Vektoren . Das Vektorprodukt berechnet sich dadurch wie folgt:



Dieser Vektor ist orthogonal zu, also ein Normalenvektor von.


Neben der Orthogonalitätsbeziehung lässt sich mit Hilfe des Vektorprodukts der Winkel bestimmen, der zwischen den Richtungsvektoren der Ebene auftritt. Dabei ist es wichtig, wie in der Einführung bereits erwähnt, dass ihr Vektorbeträge bilden könnt.


Für den Betrag des Kreuzprodukts gilt. In der Schulmathematik reicht es vorerst aus, wenn ihr das Kreuzprodukt wie in dem Anwendungsbeispiel erklärt berechnen könnt. Mehr erwartet euch im Studium.


Gratuliere! Wenn du alle erklärten Schritte logisch nachvollziehen kannst und du den Sinn des Kreuzprodukts verstehst, so bist du jetzt Experte was die Berechnung und Anwendung des Vektorprodukts anbelangt und dir werden einige mathematische Operationen die im weiteren Verlauf deiner Schulausbildung oder deines Studiums auf dich zukommen werden mit Sicherheit leichter fallen!

 

Zum Abschluss findest du noch die wichtigsten Punkte zum Thema Vektorprodukt in einer Checkliste zusammengefasst.

 



Kreuzprodukt - Das Wichtigste auf einen Blick


Das Vektorprodukt, bzw. Kreuzprodukt ist ein Hilfsmittel zur Ermittlung der Lotrichtung zu einem, bzw. zwei Vektoren. Das Kreuzprodukt ist nichts anderes als ein weiterer Vektor der senkrecht, bzw. lotrecht zu einer Ebene steht.


Hier ist eine Checkliste, mit den zentralen Punkten die für dich relevant sind im Überblick:

 

  • Das Vektorprodukt wird auch Kreuzprodukt genannt, weil meist das Kreuz  als Multiplikationszeichen verwendet wird.


  • Der Vektor steht senkrecht auf den Vektoren. Den Beweis liefert das Skalarprodukt, da das Skalarprodukt orthogonaler Vektoren stets gleich null ist.


  • Sind die Vektoren parallel, dann ist  (Nullvektor).


  • Für die Länge des Vektorprodukts gilt die Beziehung. Dabei bezeichnet den Winkel, der von den Vektoren eingeschlossen wird.


  • Der Betrag des Vektorprodukts stimmt mit dem Flächeninhalt des von den Vektorenaufgespannten Parallelogramms überein [].


  • Das Vektorprodukt hat die folgende Eigenschaft: .

 

Glückwunsch, du hast den schwierigsten Teil geschafft. Du weißt jetzt wie du das Vektorprodukt richtig anwendest und damit umzugehen hast.


INSIDER TIPP

 

Cool das du dich für das Thema Kreuzprodukt interessierst! Wusstest du, dass Kreuzprodukt und Vektorprodukt ein und dasselbe sind? Das Skalarprodukt hingegen unterscheidet sich grundsätzlich in der Berechnung und in der Form vom Kreuzprodukt. Mehr Infos dazu findest du auf dieser Learning Page! Bei Fragen nutze gerne auch unseren Kommentarbereich! Check it out! 

 

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