Hessesche Normalform: Formel, Ebene & Gerade
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Hessesche Normalform

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Mathe

In diesem Kapitel geht es um die Hessesche Normalform. Dieses Thema ist in das Fach „Mathematik“ einzuordnen. Die Hessesche Normalform gehört zum Thema der Vektoren.


Wir erklären dir in den folgenden Abschnitten die wichtigsten Begriffe zu diesem Thema und verdeutlichen dir das Ganze noch an Beispielen. 


Am Ende dieses Kapitels bist du sicher ein Profi! ☺

Am Schluss haben wir dir noch einmal das Wichtigste zum Thema „Hessesche Normalform“ zusammengefasst!


Um ein breiteres Verständnis für das Überthema Vektoren zu erhalten, schau dir doch unseren anderen Artikel zum Thema Vektoren an!




Die Hessesche Normalform – die Basics zuerst! 


Zuerst beantworten wir dir einmal die Frage, was denn die Hessesche Normalform überhaupt ist. 


Eine Geradengleichung oder Ebenengleichung kann in der Hesseschen Normalform geschrieben sein. 



Beachte bei der Hesseschen Normalform


Hierbei müssen wir allerdings beachten, dass die Geradengleichung in der Hesseschen Normalform nur im 2-dimensionalen Raum möglich ist, da es im 3-dimensionalen Raum keinen eindeutigen Normalenvektor für diese Gerade geben würde. Eine Ebene ist hingegen nur im 3-dimensionalen Raum möglich.



Für was brauchen wir die Hessesche Normalform?


Oft müssen wir den Abstand eines Punktes zur Ebene berechnen. Gerade dann ist die Hessesche Normalform eine große Hilfe, denn um den Abstand zu erhalten, musst du lediglich den beliebigen Punkt in die Hessesche Normalform einsetzen.



Beispielaufgabe zur Berechnung des Abstandes von einem Punkt zur Ebene


Die Aufgabe lautet:


Berechne den Abstand |d| des Punktes P (1|2|3) von der Ebene 


Lösung:


Wir haben die Ebene bereits in der Hesseschen Normalform gegeben, was uns die Berechnung des Abstandes zwischen dem Punkt und der Ebene recht einfach macht. 


Wir setzen den Punkt in die Ebenengleichung ein. 

Das Ergebnis 4,5 gibt dabei den Abstand an:



Beachte dabei: Der Abstand kann nicht negativ sein, deshalb musst du Betragsstriche vor die Gleichung setzen.


Falls gilt:

  • d=0 dann ist P Teil der Ebene
  • d>0 dann liegt der Ursprung O und der Punkt P auf verschiedenen Seiten der Ebene
  • d<0 dann liegt der Ursprung O und der Punkt P auf der gleichen Seite der Ebene




Die Hessesche Normalform der Geraden


Wie oben bereits gelesen, können wir die Normalform einer Geraden nur im 2-dimensionalen Raum bilden. 



Die Gleichung der Hesseschen Normalform der Geraden


Dabei ist:


  •  der Normalenvektor, der mit unserer Gerade einen rechten Winkel bildet
  • der normierte Vektor, also der Einheitsvektor des Normalenvektors.
    Hier gilt:  (  gibt die Länge des Normalenvektors an)
  •  ist der Aufpunkt der Geraden



Beispielaufgabe 1: Die Gleichung ist in der Koordinatenform gegeben


Die Aufgabe lautet:


Die Gerade in der Koordinatenform lautet: .
Wandle diese in die Hessesche Normalform um.


Lösung:


  1. Wir können die beiden Koordinaten des Normalenvektors einfach an der Geradengleichung ablesen. Die Koeffizienten von  und geben diese an.



  2. Als nächstes berechnen wir die Länge des Normalenvektors:

    Zur Erinnerung:
    Mit dieser Formel berechnest du die Länge eines Vektors:



  3. Mit diesen Informationen können wir die Gerade in die Hessesche Normalform umwandeln.




Beispielaufgabe 2: Die Gleichung ist in der Normalenform gegeben


Die Aufgabe lautet:


Die Gerade in der Normalenform lautet:  

Wandle diese in die Hessesche Normalform um.


Lösung:


  1. Wir berechnen die Länge des Normalenvektors

    Zur Erinnerung:
    Mit dieser Formel berechnest du die Länge eines Vektors:



  2. Mit diesen Informationen können wir die Gerade in die Hessesche Normalform umwandeln.

     



Tadaaa! Schon hast du den ersten Teil geschafft ☺




Die Hessesche Normalform der Ebenen


Wie oben bereits gelesen, können wir die Normalform einer Ebenen nur im 3-dimensionalen Raum bilden. 



Die Gleichung der Hesseschen Normalform der Ebene


Dabei ist:


  •  der Normalenvektor, der mit unserer Ebene einen rechten Winkel bildet, d.h. senkrecht zu dieser steht
  •   der normierte Vektor, also der Einheitsvektor des Normalenvektors.
    Hier gilt:  (  gibt die Länge des Normalenvektors an)
  •  ist der Aufpunkt der Geraden



Beispielaufgabe 1: Die Gleichung ist in der Koordinatenform gegeben


Die Aufgabe lautet:


Die Ebene in der Koordinatenform lautet: . Wandle diese in die Hessesche Normalform um.


Lösung:


  1. Wir können die beiden Koordinaten des Normalenvektors einfach an der Ebenengleichung ablesen. Die Koeffizienten von geben diese an.



  2. Als nächstes berechnen wir die Länge des Normalenvektors:
    Zur Erinnerung:
    Mit dieser Formel berechnest du die Länge eines Vektors:
    n=22+(-1)2+32=14

  3. Mit diesen Informationen können wir die Gerade in die Hessesche Normalform umwandeln.
     E: 114*2x1-x2+3x3+2=0




Beispielaufgabe 2: Die Gleichung ist in der Normalenform gegeben


Die Aufgabe lautet:


Die Ebene in der Normalenform lautet:
Wandle diese in die Hessesche Normalform um.


Lösung:


  1. Als erstes berechnen wir die Länge des Normalenvektors:

    Zur Erinnerung:
    Mit dieser Formel berechnest du die Länge eines Vektors:



  2. Mit diesen Informationen können wir die Ebene in die Hessesche Normalform umwandeln.



Hessesche Normalform - Alles Wichtige auf einen Blick


  • Die Geradengleichung in der Hesseschen Normalform ist nur im 2-dimensionalen Raum möglich. Eine Ebene in dieser Form ist hingegen nur im 3-dimensionalen Raum möglich.
  • Hilfreich zur Berechnung des Abstands eines Punktes zur Ebene, denn der Punkt muss lediglich in die Gleichung eingesetzt werden.
  • Die Gleichung für die Gerade lautet:
  • Die Gleichung für die Ebene lautet:




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