Analytische Geometrie: Überblick & Grundlagen | StudySmarter

Analytische Geometrie

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Mathe

Die Analytische Geometrie ist ein Teilgebiet der Geometrie. Hier werden vor allem algebraische Hilfsmittel (Algebra) für die Lösung von geometrischen Problemstellungen verwendet. 


 

Was lernst du in diesem Kapitel?

Du kannst hier alles zu folgenden Themen lernen:


  • Vektorrechnung in der Ebene und Parallelverschiebung 
  • Vektoren im dreidimensionalen Koordinatensystem 
  • Darstellung von Geraden und Ebenen 
  • Kugeln im dreidimensionalen Koordinatensystem  
  • Gegenseitige Lage von Punkten, Geraden und Ebenen 
  • Winkelberechnungen 
  • Abstandsbestimmungen


Schau doch mal in die in die einzelnen Artikel rein! Viel Spaß beim Lernen :)



Häufig gestellte Fragen zum Thema Analytische Geometrie

Folgende Inhalte gehören zur Analytischen Geometrie:

  • Vektorrechnung in der Ebene und Parallelverschiebung 
  • Vektoren im dreidimensionalen Koordinatensystem 
  • Darstellung von Geraden und Ebenen 
  • Kugeln im dreidimensionalen Koordinatensystem  
  • Gegenseitige Lage von Punkten, Geraden und Ebenen 
  • Winkelberechnungen 
  • Abstandsbestimmungen

Finales Analytische Geometrie Quiz

Frage

Was versteht man unter einem Vektor?

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Antwort

Unter einem Vektor versteht man die Menge aller gleich lan-
gen, gleich gerichteten und parallelen Pfeile (= parallelglei-
chen Pfeile).

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Frage

Was für ein Verfahren beschreibt die Punktprobe?

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Antwort

Die Punktprobe ist ein Verfahren, um zu überprüfen, ob ein Punkt ein Element einer Geraden oder einer Ebene ist. Dabei wird der Ortsvektor zum gegebenen Punkt für den variablen Ortsvektor der Geraden oder Ebene eingesetzt und die entstehende Gleichung auf Lösbarkeit überprüft.

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Frage

Berechne das Skalarprodukt der beiden Vektoren u und v.


a.    u(1, 3, 2)    v(-2, 4 ,-2)

b.   u(2, -3, 1)   v(3, 3, 3)


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Antwort

a. 6

b. 0

Frage anzeigen

Frage

Berechne das Skalarprodukt der beiden Vektoren u und v.


a.   u(3, 0, -2)   v(1, 7, -2)

b.   u(1, 0, 1)    v(-2, 7, 10)

Antwort anzeigen

Antwort

a. 7

b. 8

Frage anzeigen

Frage

Berechne das Skalarprodukt der beiden Vektoren u und v.


a.    u(1, 7, 27)    v(1, 10, -3)

b.   u(-2, -3, -4)   v(4, -3, 2)

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Antwort

a. -10

b. -7

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Frage

Berechne das Skalarprodukt der beiden Vektoren u und v.


a.   u(9, 3, -1)   v(-4, 12, 3)

b.   u(8, 4, -2)   v(4, 8, 16)

Antwort anzeigen

Antwort

a. -3

b. 32

Frage anzeigen

Frage

Berechne das Skalarprodukt der beiden Vektoren u und v.


a.   u(1, 3, 0)    v(2, 4, 7)

b.   u(2, -2, 3)   v(-1, 2, 2)

Antwort anzeigen

Antwort

a. 14

b. 0

Frage anzeigen

Frage

Berechne das Skalarprodukt der beiden Vektoren u und v.


a.   u(1, 2, -3)    v(-1, 2, 1)

b.   u(2, -2, -2)   v(3, 2, -1)

Antwort anzeigen

Antwort

a. 0

b. 4

Frage anzeigen

Frage

Berechne das Skalarprodukt der beiden Vektoren u und v.


a.   u(2, 4, 0)    v(0, 2, 0)

b.   u(4, 2, -1)   v(1, 4, 2)

Antwort anzeigen

Antwort

a. 8

b. 10

Frage anzeigen

Frage

Berechne das Skalarprodukt der beiden Vektoren u und v.


a.   u(1, 2, 0)    v(2, -2, 2)

b.   u(2, 1, 2)    v(1, -2, 1)

Antwort anzeigen

Antwort

a. -2

b. 2

Frage anzeigen

Frage

Berechne das Skalarprodukt der beiden Vektoren u und v.


a.   u(4, 3, 7)    v(8, -7, 2)

b.   u(1, -3, 1)   v(5, -7, -5)

Antwort anzeigen

Antwort

a. 25

b. 21

Frage anzeigen

Frage

Berechne das Skalarprodukt der beiden Vektoren u und v.


a.   u(2, -8, 12)   v(4, 6, -3)

b.   u(3, 7, -11)   v(6, 6, 6)

Antwort anzeigen

Antwort

a. -76

b. -6

Frage anzeigen

Frage

Berechne das Skalarprodukt der beiden Vektoren u und v.


a.   u(4, 7, -2)    v(-13, 14, -9)

b.   u(8, 11, -2)  v(-4, -13, -3)

Antwort anzeigen

Antwort

a. 64

b. -169

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Frage

Berechne das Skalarprodukt der beiden Vektoren u und v.


a.   u(3, 4, -7)    v(3, -12, 7)

b.   u(6, 8, 1)     v(12, -4, 11)

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Antwort

a. -88

b. 51

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Frage

Wie heißen die Seiten eines Dreiecks, die den rechten Winkel einschließen?

Antwort anzeigen

Antwort

Beim rechtwinkligen Dreieck ist ein Winkel gleich 90°. Die beiden Seiten (hier: a und b), die den rechten Winkel einschließen, heißen Katheten. Die Hypotenuse (hier: c) liegt dem rechten Winkel gegenüber.

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Frage

Was besagt der Kongruenzsatz sws?

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Antwort

Zwei Dreiecke sind kongruent, wenn sie in zwei Seiten und dem von den Seiten eingeschlossenen Zwischenwinkel übereinstimmen.

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Frage

Wie groß und land sind Winkel und Seiten bei einem gleichseitigen Dreieck?

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Antwort

Im gleichseitigen Dreieck sind alle
Seiten gleich lang und alle Winkel
gleich groß.

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Frage

Welche Fläche hat die Grundfläche G bei einem Kegel?

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Antwort

Beim (geraden) Kegel ist die Grundfläche G eine Kreisfläche

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Frage

Wie berechnet man das Volumen eines Kegels?

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Antwort

V = 1 / 3 * π * r² * hk

mit

r = Radius
hk = Höhe des Körpers

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Frage

Wie berechnet man die Mantelfläche eines Kegels?

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Antwort

M = 1 / 2 * b * s = π * r * s

mit

r = Radius
b= Umfang des Grundkreises
s = Mantellinie

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Frage

Wie berechnet man den Umfang eines Kegels?

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Antwort

Umfang u = 2 * π * r

mit

r = Radius

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Frage

Wie berechnet man die Oberfläche eines Kegels?

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Antwort

O = π * r² + π * r * s
O = π * r * (r + s)

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Frage

Berechne für einen Kreiskegel mit dem Grundkreisradius r = 7 cm und der Höhe h = 17 cm den Mittelpunktswinkel?

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Antwort

Maß des Mittelpunktswinkels:


a / 360° * π * s² = r*π*s
a / 360 = r / s
a = r / s * 360°
a = 7 cm / 18,38 cm * 360°
a = 137,11°

Frage anzeigen

Frage

Berechne für einen Kreiskegel mit dem Grundkreisradius r = 7 cm und der Höhe h = 17 cm das Volumen

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Antwort

V = 1 / 3 * r² * π * h
V = 1 / 3 * (7 cm)² * π * 17 cm
V = 872,32 cm³

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Frage

Berechne für einen Kreiskegel mit dem Grundkreisradius r = 7 cm und der Höhe h = 17 cm die Mantelfläche

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Antwort

Mantelfläche:

M = r * π * s
M = 7 cm * π * 18,38 cm
M = 404,20 cm²

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Frage

Berechne für einen Kreiskegel mit dem Grundkreisradius r = 7 cm und der Höhe h = 17 cm die Oberfläche

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Antwort

Oberfläche

O = G + M

O = (7 cm)² * π + M = (7 cm)² + π * r * s
O = (7 cm)² * π + π * 7 cm * 18,38 cm
O = 153,94 cm² + 404,20 cm²
O = 558,14 cm² 

Frage anzeigen

Frage

Die Mantelfläche eines Kreiskegels ist durch einen Kreissektor mit dem Radius s = 15 cm und einen Mittelpunktswinkel ϕ = 135° gegeben. Berechne die Höhe des Kegels

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Antwort

Höhe des Kegels:
s² = h² + r²
h² = s² - r²
h² = (15 cm)² - (5,62 cm)²
h² = 193,42 cm²
h = 13,91 cm

Frage anzeigen

Frage

Die Mantelfläche eines Kreiskegels ist durch einen Kreissektor mit dem Radius s = 15 cm, Radius des Kegels r = 5,62 cm und einen Mittelpunktswinkel ϕ = 135° gegeben. Berechne das Volumen des Kegels

Antwort anzeigen

Antwort

V = 1 / 3 * π * r² * h
V = 1 / 3 * (562 cm)² * π * 13,91 cm
V = 457,62 cm³

Frage anzeigen

Frage

Die Mantelfläche eines Kreiskegels ist durch einen Kreissektor mit dem Radius s = 15 cm, Radius des Kegels r = 5,62 cm, der Mantelfläche = 265,07 cm und einen Mittelpunktswinkel ϕ = 135° gegeben. Berechne die Oberfläche des Kegels

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Antwort

Oberfläche 

O = G + M

O = r² ⋅ π + M

O = (5,62 cm)² ⋅ π + M 

O = 99,22 cm² + 265,07 cm²

O = 364,30 cm²

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Frage

Welche zwei Flächen sind bei einem Prisma kongruent?

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Antwort

Bei einem Prisma sind Grund- und Deckfläche gleich in Größe und Form; Grund- und Deckfläche sind also kongruent

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Frage

Woraus kann die Grundfläche bei einem Prisma bestehen? 

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Antwort

Die Grundfläche G kann aus einem beliebigen Vieleck bestehen (Quadrat, gleichseitiges Dreieck, regelmäßiges Sechseck). 


Auch unregelmäßige Vielecke sind möglich.

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Frage

Was ist ein gerades Prisma?

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Antwort

Bei einem geraden Prisma stehen die Seitenkanten sk senkrecht auf der Grundfläche und verlaufen zur Körperhöhe hk parallel. 


Die Höhe der Seitenfläche hs sowie sk und hk sind dann gleich lang

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Frage

Was ist ein schiefes Prisma?

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Antwort

Bei schiefen Prismen sind die Seitenkanten nicht senkrecht zur Grundfläche. Solche Körper werden nicht weiter betrachtet.

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Frage

Was sind die Seitenflächen von Prismas?

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Antwort

Die Seitenflächen des Prismas sind Rechtecke

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Frage

Was bilden alle Seitenflächen eines Prismas zusammengenommen? 

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Antwort

Alle Seitenflächen eines Prismas zusammengenommen bilden die Mantelfläche M 

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Frage

Was ergibt der abgewickelte Mantel eines Prismas? 

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Antwort

Ein Rechteck mit der Körperhöhe hk und dem Umfang u der Grundfläche G als Seitenlängen.

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Frage

Wie berechnet man das Volumen eines Prismas?

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Antwort

V = G ⋅ hk

mit

G = Grundfläche
hk = Körperhöhe

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Frage

Wie berechnet man die Mantelfläche eines Prismas?

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Antwort

M = u * hk

mit

u = Umfang
hk = Körperhöhe

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Frage

Wie berechnet man die Oberfläche eines Prismas? 

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Antwort

O = 2 * G + M

mit

G = Grundfläche
M = Mantelfläche (M = u * hk) 

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Frage

Wie berechnet man das Volumen eines Würfels?

Antwort anzeigen

Antwort

V = a³


mit a = Seitenlänge 

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Frage

Wie berechnet man die Oberfläche eines Würfels?

Antwort anzeigen

Antwort

O = 6 * a²

mit a = Seitenlänge 

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Frage

Wie berechnet man die Raumdiagonale eines Würfels?

Antwort anzeigen

Antwort

d = a * 3^0,5

Frage anzeigen

Frage

Wie berechnet man das Volumen eines Quaders?

Antwort anzeigen

Antwort

V = a * b * c

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Frage

Wie berechnet man die Raumdiagonale eines Quaders?

Antwort anzeigen

Antwort

d = (a² + b² + c²)^0,5

Frage anzeigen

Frage

Was ist die Grundfläche bei einem Zylinder? 

Antwort anzeigen

Antwort

Beim Zylinder ist die Grundfläche G eine Kreisfläche mit dem Radius r.

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Frage

Wie berechnet man das Volumen eines Zylinders?

Antwort anzeigen

Antwort

V = π ⋅ r² ⋅ hk

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Frage

Wie berechnet man die Mantelfläche eines Zylinders?

Antwort anzeigen

Antwort

M = 2 ⋅ π ⋅ r ⋅ hk

Frage anzeigen

Frage

Wie berechnet man die Oberfläche eines Zylinders?

Antwort anzeigen

Antwort

O = 2 ⋅ π ⋅ r² + 2 ⋅ π ⋅ r ⋅ hk 

O = 2 ⋅ π ⋅ r ⋅ (r + hk)

Frage anzeigen

Frage

Woraus besteht der Mantel eines Zylinders?

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Antwort

Aus einem Rechteck mit der Höhe hk und dem Kreisumfang u = 2 π * r als Seitenlängen.

Frage anzeigen

Frage

Eine Konservendose hat ein Fassungsvermögen von 850 cm³ und einen Durchmesser von 10 cm. Wie hoch ist die Dose?

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Antwort

V = π ⋅ r² ⋅ hk
hk = V / (π ⋅ r²)
hk = 850 cm³ / (π ⋅ (5 cm))²
hk = 10,8 cm   

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