Summenregel

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Oftmals sind zwei Funktionen durch ein Plus- oder ein Minuszeichen voneinander getrennt und ergeben eine neue Funktion. Hier erfährst du, wie du eine derartige Funktion mithilfe der Summenregel ableiten kannst. Das ganze haben wir an Beispielen weiter unten verdeutlicht, denn eigentlich ist die Summenregel ganz einfach. Das Thema kann dem Fach Mathematik zugeordnet werden.




Die Ableitungsregel 


Werden zwei Funktionen miteinander addiert bzw. subtrahiert, werden die einzelnen Funktionsterme unabhängig voneinander abgeleitet. 


Für eine Funktion, bei der zwei Teilterme miteinander addiert wurden, gilt:



Für eine Funktion, bei der zwei Teilterme voneinander subtrahiert wurden, gilt:

 




Herleitung der Summenregel 


Wir begründen die Summenregel mithilfe des Differenzialquotienten:

Mit  gilt:


         




Beispielaufgaben    


In den folgenden Übungsaufgaben zur Summenregel wird auf die anderen Ableitungsregeln zurückgegriffen. Falls du diese Regeln nicht mehr im Kopf haben solltest, dann schau dir doch noch unsere anderen Seiten dazu an. 


1. Aufgabe:


Die Funktion lautet:


Sie besteht aus den beiden Teilfunktionen g(x) + h(x).   

  

Wir leiten unsere Teilterme separat ab:



Unsere Ableitungsfunktion lautet somit:

    

2. Aufgabe:




3. Aufgabe:

   



4. Aufgabe:

  



5. Aufgabe:




           


Summenregel - Das Wichtigste auf einen Blick 


  • Die beiden Teilfunktionen g(x) und h(x) werden einzeln abgeleitet.
  • Die Summenregel lautet:



Unser Tipp für Euch 


Ich würde dir empfehlen, die beiden Teilfunktionen g(x) und h(x) in einer Nebenrechnung abzuleiten und dann in die Formel einzusetzen. Das macht vor allem bei komplizierten Funktionen Sinn. Lass dir genügend Zeit beim Ableiten. Hier entstehen sehr schnell Fehler, die dein gesamtes Ergebnis verändern und dich damit Punkte kosten.



Finales Summenregel Quiz

Frage

Was beschreibt die Ableitung im Allgemeinen?

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Antwort

Die Ableitung einer Funktion entspricht in jedem Punkt der Steigung
der Tangente an den Graphen der Funktion und wird deshalb als Grenzwert der Sekantensteigung bestimmt.

Die Ableitung einer Funktion entspricht in jedem Punkt der Steigung der Tangente an den Graphen der Funktion und wird deshalb als Grenz- wert der Sekantensteigung bestimmt.

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Frage

Was sind Asymptoten?

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Antwort

Asymptoten sind Geraden, denen sich der Graph einer Funktion beliebig genau nähert. Sie geben Ihnen wichtige Hinweise auf den Verlauf des Graphen und auf
Möglichkeiten, Funktionsterme näherungsweise zu vereinfachen. Man unterscheidet drei Typen.

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Frage

Was sind Wendepunkte?

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Antwort

Wendestellen sind Stellen (x-Werte), an denen der Graph einer Funktion seine Krümmung wechselt (von einer Links- in eine Rechtskurve oder umgekehrt).

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Frage

Wann hat ein Graph einen Wendepunkt?

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Antwort

Ist f ''(x0) = 0 und wechselt f '' an der Stelle x0 das Vorzeichen, so hat der Graph Gf an dieser Stelle einen Wendepunkt.

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Frage

Wann ist ein Graph linksgekrümmt?

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Antwort

f ''(x) > 0 im Intervall I ⇒ Der Graph Gf ist in I linksgekrümmt.

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Frage

Wann ist ein Graph rechtsgekrümmt?

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Antwort

f ''(x) < 0 im Intervall I ⇒ Der Graph Gf ist in I rechtsgekrümmt.

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Frage

Was ist ein Terrassenpunkt?

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Antwort

Ein Terrassenpunkt ist ein Wendepunkt mit waagrechter Tangente.

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Frage

Wie kann das Krümmungsverhalten einer Funktion mithilfe einer Krümmungstabelle bestimmt werden?

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Antwort

Vorgehensweise
Schritt 1: 1. und 2. Ableitung von f bestimmen
Schritt 2: Nullstellen der 2. Ableitung berechnen, d. h. Lösen der Gleichung f ''(x) = 0
Schritt 3: Für jede Nullstelle x0 der 2. Ableitung überprüfen, ob f ''(x) beim Fortschreiten von links nach rechts über die Nullstelle hinweg das Vorzeichen wechselt
bei VZW: Wendepunkt
kein VZW: kein Wendepunkt

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Frage

Gib die Schritte zur Bestimmung der Wendepunkte mithilfe der 3. Ableitung an.

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Antwort

Schritt 1: 1., 2. und 3. Ableitung von f bestimmen
Schritt 2: Nullstellen der 2. Ableitung berechnen, d. h. Lösen der Gleichung f ''(x) = 0
Schritt 3: Für jede Nullstelle x0 der 2. Ableitung den Funktionswert f '''(x0) berechnen und das Ergebnis auswerten
f '''(x0) ≠ 0: Wendepunkt
f '''(x0) = 0: keine Aussage möglich

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Frage

Was sind Asymptoten?

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Antwort

Asymptoten sind Geraden, denen sich der Graph einer Funktion beliebig genau nähert.

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Frage

Was versteht man unter Monotonie?

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Antwort

Die Monotonie beschreibt das Steigungsverhalten einer Funktion.

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Frage

Wann ist ein Graph streng monoton fallend?

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Antwort

f '(x) < 0 im Intervall I ⇒ Der Graph Gf fällt streng monoton in I

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Frage

Wann ist ein Graph streng monoton wachsend?

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Antwort

f '(x) > 0 im Intervall I ⇒ Der Graph Gf steigt streng monoton in I.

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Frage

Was sind Extremstellen?

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Antwort

Extremstellen sind Stellen (x-Werte), an denen der Graph einer Funktion die Steigung null und damit eine waagrechte
Tangente
besitzt. Außerdem ändert sich an dieser Stelle das Monotonieverhalten
(von steigend zu fallend oder umgekehrt).

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Frage

Welche drei Arten von Extremstellen werden unterschieden?

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Antwort

Tiefpunkt, Hochpunkt, Terrassenpunkt

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Frage

Wann liegt ein Hochpunkt vor?

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Antwort

VZW von + nach − : relatives Maximum bei x0

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Frage

Wann liegt ein Terrassenpunkt vor?

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Antwort

Kein VZW

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Frage

Wie kann das Monotonieverhalten und die Extrempunkte mithilfe einer Monotonietabelle bestimmt werden?

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Antwort

Schritt 1: 1. Ableitung von f bestimmen
Schritt 2: Nullstellen der 1. Ableitung berechnen, d. h. Lösen der Gleichung f '(x) = 0
Schritt 3: Für jede Nullstelle x0 der 1. Ableitung überprüfen, ob f '(x) beim Fortschreiten von links nach rechts über die Nullstelle hinweg das Vorzeichen wechselt
− nach + : relatives Minimum bei x0
+ nach − : relatives Maximum bei x0
kein VZW: Terrassenpunkt

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Frage

Wie können Extrempunkte mithilfe der 2. Ableitung bestimmt werden?

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Antwort

Schritt 1: 1. und 2. Ableitung von f bestimmen
Schritt 2: Nullstellen der 1. Ableitung berechnen, d. h. Lösen der Gleichung f '(x) = 0
Schritt 3: Für jede Nullstelle x0 der 1. Ableitung den Funktionswert f ''(x0) berechnen und das Ergebnis auswerten
f ''(x0) > 0: relatives Minimum bei x0
f ''(x0) < 0: relatives Maximum bei x0
f ''(x0) = 0: Terrassenpunkt möglich

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