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Frage

Was beschreibt die Ableitung im Allgemeinen?

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Antwort

Die Ableitung einer Funktion entspricht in jedem Punkt der Steigung
der Tangente an den Graphen der Funktion und wird deshalb als Grenzwert der Sekantensteigung bestimmt.

Die Ableitung einer Funktion entspricht in jedem Punkt der Steigung der Tangente an den Graphen der Funktion und wird deshalb als Grenz- wert der Sekantensteigung bestimmt.

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Frage

Was sind Asymptoten?

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Antwort

Asymptoten sind Geraden, denen sich der Graph einer Funktion beliebig genau nähert. Sie geben Ihnen wichtige Hinweise auf den Verlauf des Graphen und auf
Möglichkeiten, Funktionsterme näherungsweise zu vereinfachen. Man unterscheidet drei Typen.

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Frage

Was sind Wendepunkte?

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Wendestellen sind Stellen (x-Werte), an denen der Graph einer Funktion seine Krümmung wechselt (von einer Links- in eine Rechtskurve oder umgekehrt).

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Frage

Wann hat ein Graph einen Wendepunkt?

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Ist f ''(x0) = 0 und wechselt f '' an der Stelle x0 das Vorzeichen, so hat der Graph Gf an dieser Stelle einen Wendepunkt.

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Frage

Wann ist ein Graph linksgekrümmt?

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Antwort

f ''(x) > 0 im Intervall I ⇒ Der Graph Gf ist in I linksgekrümmt.

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Frage

Wann ist ein Graph rechtsgekrümmt?

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f ''(x) < 0 im Intervall I ⇒ Der Graph Gf ist in I rechtsgekrümmt.

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Frage

Was ist ein Terrassenpunkt?

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Ein Terrassenpunkt ist ein Wendepunkt mit waagrechter Tangente.

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Frage

Wie kann das Krümmungsverhalten einer Funktion mithilfe einer Krümmungstabelle bestimmt werden?

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Vorgehensweise
Schritt 1: 1. und 2. Ableitung von f bestimmen
Schritt 2: Nullstellen der 2. Ableitung berechnen, d. h. Lösen der Gleichung f ''(x) = 0
Schritt 3: Für jede Nullstelle x0 der 2. Ableitung überprüfen, ob f ''(x) beim Fortschreiten von links nach rechts über die Nullstelle hinweg das Vorzeichen wechselt
bei VZW: Wendepunkt
kein VZW: kein Wendepunkt

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Frage

Gib die Schritte zur Bestimmung der Wendepunkte mithilfe der 3. Ableitung an.

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Schritt 1: 1., 2. und 3. Ableitung von f bestimmen
Schritt 2: Nullstellen der 2. Ableitung berechnen, d. h. Lösen der Gleichung f ''(x) = 0
Schritt 3: Für jede Nullstelle x0 der 2. Ableitung den Funktionswert f '''(x0) berechnen und das Ergebnis auswerten
f '''(x0) ≠ 0: Wendepunkt
f '''(x0) = 0: keine Aussage möglich

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Frage

Was sind Asymptoten?

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Asymptoten sind Geraden, denen sich der Graph einer Funktion beliebig genau nähert.

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Frage

Was versteht man unter Monotonie?

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Die Monotonie beschreibt das Steigungsverhalten einer Funktion.

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Wann ist ein Graph streng monoton fallend?

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f '(x) < 0 im Intervall I ⇒ Der Graph Gf fällt streng monoton in I

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Wann ist ein Graph streng monoton wachsend?

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f '(x) > 0 im Intervall I ⇒ Der Graph Gf steigt streng monoton in I.

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Frage

Was sind Extremstellen?

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Extremstellen sind Stellen (x-Werte), an denen der Graph einer Funktion die Steigung null und damit eine waagrechte
Tangente
besitzt. Außerdem ändert sich an dieser Stelle das Monotonieverhalten
(von steigend zu fallend oder umgekehrt).

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Welche drei Arten von Extremstellen werden unterschieden?

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Tiefpunkt, Hochpunkt, Terrassenpunkt

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Wann liegt ein Hochpunkt vor?

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VZW von + nach − : relatives Maximum bei x0

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Wann liegt ein Terrassenpunkt vor?

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Kein VZW

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Wie kann das Monotonieverhalten und die Extrempunkte mithilfe einer Monotonietabelle bestimmt werden?

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Schritt 1: 1. Ableitung von f bestimmen
Schritt 2: Nullstellen der 1. Ableitung berechnen, d. h. Lösen der Gleichung f '(x) = 0
Schritt 3: Für jede Nullstelle x0 der 1. Ableitung überprüfen, ob f '(x) beim Fortschreiten von links nach rechts über die Nullstelle hinweg das Vorzeichen wechselt
− nach + : relatives Minimum bei x0
+ nach − : relatives Maximum bei x0
kein VZW: Terrassenpunkt

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Frage

Wie können Extrempunkte mithilfe der 2. Ableitung bestimmt werden?

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Antwort

Schritt 1: 1. und 2. Ableitung von f bestimmen
Schritt 2: Nullstellen der 1. Ableitung berechnen, d. h. Lösen der Gleichung f '(x) = 0
Schritt 3: Für jede Nullstelle x0 der 1. Ableitung den Funktionswert f ''(x0) berechnen und das Ergebnis auswerten
f ''(x0) > 0: relatives Minimum bei x0
f ''(x0) < 0: relatives Maximum bei x0
f ''(x0) = 0: Terrassenpunkt möglich

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