Quotientenregel

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Für verschiedene Arten von Funktionen brauchst du verschiedene Ableitungsregeln. Eine Funktion kann auch durch die Division zweier Funktionen g(x) und h(x) entstehen. Eine Funktion dieser Art kannst du mithilfe der Quotientenregel differenzieren.

Das ganze haben wir an Beispielen weiter unten verdeutlicht, denn eigentlich ist die Quotientenregel einfacher als sie auf den ersten Blick aussieht. 




Die Ableitungsregel 


Werden zwei Funktionen g(x) und h(x)  durcheinander dividiert, entsteht eine neue Funktion f(x). Es steht als sowohl im Zähler als auch im Nenner ein “x”. Diese Funktion kannst du mithilfe der Quotientenregel ableiten. 


Diese Regel ist insbesondere für das Differenzieren von gebrochen-rationalen Funktionen wichtig. Zur Erinnerung: Wenn zwei ganzrationale Funktionen dividiert werden, nennt man ihren Quotienten: gebrochen-rationale Funktion


Die Ableitungsregel für Quotientenfunktionen der Form  mit h(x)≠0 (Durch 0 darf nie geteilt werden!) lautet:




In Kurzform:


Am besten leitest du g(x) und h(x) einzeln ab und setzt diese dann in die Quotientenregel ein. So vermeidest du unnötige Fehler


    


Beispielaufgaben     


In den folgenden Übungsaufgaben zur Quotientenregel wird auf die anderen Ableitungsregeln zurückgegriffen. Falls du diese Regeln nicht mehr im Kopf haben solltest, dann schau dir doch noch unsere anderen Seiten dazu an. 


1. Beispielaufgabe


Unsere Funktion lautet:                                        


a) Zuerst leiten wir die Funktionen g(x) und h(x), also den Zähler und den Nenner, ab:


 


b) Jetzt setzen wir die einzelnen Teilfunktionen in die Formel ein:




2. Beispielaufgabe


Unsere Funktion lautet:


a) Einzelfunktionen und ihre Ableitungen:



b) Mit der Quotientenregel erhält man:



3. Beispielaufgabe


Unsere Funktion lautet:


a) Einzelfunktionen und ihre Ableitungen:



b) Mit der Quotientenregel erhält man:



4. Beispielaufgabe


Unsere Funktion lautet:  


a) Einzelfunktionen und ihre Ableitungen:



b) Mit der Quotientenregel erhält man:




     

Quotientenregel - Das wichtigste auf einen Blick 


  • Falls im Zähler UND im Nenner einer Funktion ein ”x” vorkommt, muss diese Regel angewendet werden.


  • Hier musst du zwei Schritte beachten:
  1. Bilde zunächst die Ableitungen der Teilfunktionen g(x) und h(x)
  2. Setze die einzelnen Teilfunktionen in die Formel ein:



Unser Tipp für Euch 


Mit dieser Merkhilfe könnt ihr euch diese etwas kompliziertere Regel ganz leicht merken. Die Regel lautet ausgesprochen “Nenner mal Ableitung Zähler minus Zähler mal Ableitung Nenner durch Nenner ins Quadrat”. Wenn wir das abkürzen, erhalten wir: “NAZ - ZAN durch Nenner ins Quadrat”. Das können wir uns sehr leicht merken.



Finales Quotientenregel Quiz

Frage

Berechne die erste Ableitung zu folgenden Funktionen!


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Frage

Gib die erste Ableitung folgender Funktion an:



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Frage

Bestimme die ersten 5 Ableitungen der folgenden Funktion



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Bestimme die erste Ableitung der folgenden Funktionen:



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Berechne die erste Ableitung von f(x)!


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Berechne die erste Ableitung von f(x)!


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Bestimme die erste Ableitung der Funktion f(x)!


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Berechne die erste Ableitung von f(x)!

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Berechne die erste Ableitung von f(x)!


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Berechne die erste Ableitung der Funktion von f(x)!

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Berechne die erste Ableitung von f(x)!

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Bilde die erste Ableitung der Funktion!

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Bestimme die erste Ableitung der folgenden Funktionen:

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Bestimme die erste Ableitung der Funktion f!


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Berechne die erste Ableitung der Funktion f!


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Berechne die erste Ableitung von f(x)!



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Bilde die  erste Ableitung der folgenden Funktionen:


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Berechne die erste Ableitung!


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Bestimme die erste Ableitung mit Hilfe der Quotientenregel!



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Bilde mit Hilfe der Quotientenregel die erste Ableitung!


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Bestimme die erste Ableitung mit Hilfe der Quotientenregel!

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Bestimme die erste Ableitung mit Hilfe der Quotientenregel!




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Berechne die erste Ableitung von f(x)!


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Leite mit Hilfe der Quotientenregel ab!

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Berechne die erste Ableitung von f(x)!

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Berechne die erste Ableitung der Funktion f!

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Bestimme die erste Ableitung mit Hilfe der Quotientenregel!

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Bestimme die Ableitung von


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Bestimme die Ableitung von



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Wie lautet die Quotientenregel?

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Quotientenregel



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Wie lautet die allgemeine Formel für die Quotientenregel?

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Bestimmen Sie die Ableitung der Funktion:


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Bestimmen Sie die Ableitungsfunktion f'(x). Um Fehler zu vermeiden, sollten Sie die Ableitungen der Einzelfunktionen u(x) und v(x) zuerst separat aufstellen.

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Einzelfunktionen und ihre Ableitungen:

Mit der Quotientenregel erhält man:

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Bestimmen Sie die Ableitungsfunktion f'(x). Um Fehler zu vermeiden, sollten Sie die Ableitungen der Einzelfunktionen u(x) und v(x) zuerst separat aufstellen.



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Einzelfunktionen und ihre Ableitungen:



Mit der Quotientenregel erhält man:




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Differenzieren Sie die Funktionen mit der Quotientenregel. Um diese Ableitungsregel gezielt zu üben, sollten Sie die gegebenen Funktionsterme nicht vorher umformen.


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Differenzieren Sie die Funktionen mit der Quotientenregel. Um diese Ableitungsregel gezielt zu üben, sollten Sie die gegebenen Funktionsterme nicht vorher umformen.


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Differenzieren Sie die Funktionen mit der Quotientenregel. Um diese Ableitungsregel gezielt zu üben, sollten Sie die gegebenen Funktionsterme nicht vorher umformen.


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Differenzieren Sie die Funktionen mit der Quotientenregel. Um diese Ableitungsregel gezielt zu üben, sollten Sie die gegebenen Funktionsterme nicht vorher umformen.



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Bestimme die erste Ableitung von der Funktion f(x)!


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Bestimme die erste Ableitung von der Funktion f(x)!


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Bestimme die erste Ableitung von der Funktion f(x)!


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Bestimme die erste Ableitung von der Funktion f(x)!


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Bestimme die erste Ableitung von der Funktion f(x)!


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Bestimme die erste Ableitung von der Funktion f(x)!


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Bestimme die erste Ableitung von der Funktion f(x)!


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Bestimme die erste Ableitung von der Funktion f(x)!



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Bestimme die erste Ableitung von der Funktion f(x)!


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Bestimme die erste Ableitung von der Funktion f(x)!


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Bestimme die erste Ableitung von der Funktion f(x)!


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Bestimme die Ableitung von f(x)



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Bestimme die Ableitung von f(x)



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