Kettenregel

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Für verschiedene Arten von Funktionen brauchst du verschiedene Ableitungsregeln. Eine Funktion kann auch durch die Verkettung zweier Funktionen g(x) und h(x) entstehen. Eine Funktion dieser Art kannst du mithilfe der Kettenregel differenzieren.


Diese Regel haben wir an verschiedenen Beispielen weiter unten verdeutlicht, denn eigentlich ist die Kettenregel gar nicht so schwer, wie sie vielleicht aussieht.




Allgemeines Vorwissen zu verketteten Funktionen


Zwei Funktionen g(x) und h(x) können zu einer neuen Funktion f(x) zusammengesetzt werden, indem man sie verkettet. Der Term der Funktion h(x) wird dann in die Variable der Funktion g(x) eingesetzt. 

Aufgrund der Verknüpfungsreihenfolge spricht man von einer inneren Funktion und einer äußeren Funktion.


Die mathematische Schreibweise lautet: f = gh  (sprich: f ist die Verkettung von g mit h)

Hier ist die Reihenfolge besonders wichtig, da die an zweiter Stelle stehende Funktion die einzusetzende Funktion ist.




Die allgemeine Formel der Kettenregel


Die Kettenregel lautet:


 

 

Sprich: „äußere Ableitung mal innere Ableitung“


Das Multiplizieren mit h'(x) wird als „nachdifferenzieren“ bezeichnet.


Wir leiten g(x) ab und setzen anstelle des „x“ h(x) ein. Anschließend differenzieren wir mit der Ableitung von h(x) nach. 

Das besagt die Kettenregel.



Beispielaufgaben zur Kettenregel


Beispielaufgabe 1:


Die Funktion lautet:   

 

1. Schritt: Wir identifizieren die äußere und die innere Funktion:


 


2. Schritt: Wir leiten die beiden Teilfunktionen ab:


 


→ wir benutzen jetzt den Buchstaben v für die innere Funktion.


3.Schritt: Wir setzen die Teilfunktionen in die Formel ein:


 

→ wir differenzieren mit der Ableitung h´(x) nach


    → ist die äußere Ableitung

    → 3 ist die innere Ableitung


 


Zuerst identifizieren wir also die Teilfunktionen, also die innere und äußere Funktion und leiten h(x) und g(x) ab. Anschließend setzen wir die beiden abgeleiteten Ergebnisse und die innere und äußere Funktion in die Kettenregel ein. Wir differenzieren mit der Ableitung von h(x), sprich 3, nach. Wir multiplizieren dann h'(x) mit g'(x) und erhalten 9.


Hinweis zu den Bezeichnungen:


  • g(v) ist die äußere Funktion
  • g'(v) ist die äußere Ableitung
  • h(x) ist die innere Funktion
  • h'(x) ist die innere Ableitung
  • “Nachdifferenzieren”: Multiplikation mit h'(x)am Ende




Beispielaufgabe 2:


Die Funktion lautet:  

 

1. Schritt: Wir identifizieren die äußere und die innere Funktion:


  


2.Schritt: Wir leiten die beiden Teilfunktionen ab:


     


3.Schritt: Wir setzen die Teilfunktionen in die Formel ein:


 


→ wir differenzieren mit der Ableitung h'(x) nach




Beispielaufgabe 3:


Die Funktion lautet:   


 

1. Schritt: Wir identifizieren die äußere und die innere Funktion:


  


2. Schritt: Wir leiten die beiden Teilfunktionen ab:


    


3. Schritt: Wir setzen die Teilfunktionen in die Formel der Kettenregel ein und erhalten schließlich:


  



Beispielaufgabe 4:


Die Funktion lautet:   

 

1. Schritt: Wir identifizieren die äußere und die innere Funktion:


  Zur Erinnerung:   



2. Schritt: Wir leiten die beiden Teilfunktionen ab:


  

   


3. Schritt Wir setzen die Teilfunktionen in die Formel ein:


  




Kettenregel - Das Wichtigste auf einen Blick


Die Kettenregel benutzen wir bei verketteten Funktionen, also wenn zwei Funktionen “ineinander verschachtelt” sind.


  1. Zuerst müssen wir herausfinden, welche die innere und welche die äußere Funktion ist, d.h. die beiden Teilfunktionen identifizieren.

  2. Dann können wir die Ableitungen der beiden Teilfunktionen g(x) und h(x) berechnen.

  3. Anschließend setzen wir die Teilfunktionen in die Formel der Kettenregel ein


allgemeine Formel der Kettenregel:


 



Unser Tipp für Euch

Ich würde dir empfehlen zuerst g(x) und h(x) in einer Nebenrechnung abzuleiten und dann erst in die Formel einzusetzen. Außerdem macht es Sinn die Nachdifferenzierung farbig zu markieren. So behältst du einen Überblick über die Rechnung und vermeidest Flüchtigkeitsfehler, die dich Punkte kosten!



Finales Kettenregel Quiz

Frage

Bilde zu den nachfolgenden Funktionen die erste Ableitung!


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Berechne die Ableitung der folgenden Funktionen!


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Berechne die erste Ableitung!


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Berechne die erste Ableitung!


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Bestimme die erste Ableitung!


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Berechne die erste Ableitung!


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Berechne die erste Ableitung!


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Berechne die erste Ableitung mittels der Kettenregel!


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Berechne die erste Ableitung der Funktion f!




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Berechne die erste Ableitung der Funktion f!



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Berechne die erste Ableitung!



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Frage

Leite die folgenden Therme nach x ab.

(Verwende hierfür die Kettenregel)



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Leite die folgenden Therme nach x ab.

(Verwende hierfür die Kettenregel)


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Leite die folgenden Terme nach x ab.


a) f(x) = sin(x³)

b) f(x) = (4x² + 7)³

c) f(x) = 2⋅cos(3x²)

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a) f'(x) = 3x²⋅cos(x³)

b) f'(x) = 24x⋅(4x² + 7)²

c) f'(x) = -12x⋅sin (3x²)

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Leite die folgenden Terme nach x ab.


a) f(x) = 2⋅cos(3x²)

b) f(x) = (2x² + 3x)²

c) f(x) = 3⋅cos(2x³)


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Antwort

a) f'(x) = -12x⋅sin(3x²)

b) f'(x) = 16x³+36x² +18x 

c) f'(x) = -18x²⋅sin(2x³) 

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Leite die folgenden Terme nach x ab.


a) f(x) = sin(4x³)

b) f(x) = (x + x²)³

c) f(x) = -3⋅cos(x²)

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a) f'(x) = 12x²⋅cos(4x³)

b) f'(x) = (3 + 6x)⋅(x + x²)²

c) f'(x) = 6x⋅sin (x²)

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Leite die folgenden Terme nach x ab.


a) f(x) = -2⋅sin(x²)

b) f(x) = (x² + 2)²

c) f(x) = -2⋅cos(5x²+3)

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Antwort

a) f'(x) = -4x⋅cos(x²)

b) f'(x) = 4x³ + 8x 

c) f'(x) = 20x⋅sin(5x² + 3)

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Wie lautet die allgemeine Formel für die Kettenregel?

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Beschreiben Sie was man unter dem Term verkettete Funktion versteht!

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Zwei Funktionen g(x) und h(x) können zu einer neuen Funktion f(x) zusammengesetzt werden, indem man sie verkettet. Der Term der einen Funktion wird dabei in die Variable der anderen Funktion eingesetzt. Aufgrund der Verknüpfungsreihenfolge spricht man von einer inneren Funktion und einer äußeren Funktion. Bei der mathematischen Schreibweise f = g ° h (lies: f ist die Verkettung von g mit h) ist die Reihenfolge wichtig, da die an zweiter Stelle stehende Funktion immer die einzusetzende (innere) Funktion ist.

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Wie lautet die Merkregel zur Kettenregel?

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Ableitung der äußeren Funktion multipliziert mit Ableitung der inneren Funktion (oder kurz: „äußere Ableitung mal innere Ableitung“).

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Stellen Sie die beiden Funktionsgleichungen g(x) und h(x), die für f(x) verkettet wurden, getrennt auf. Achten Sie auf die Reihenfolge der Verkettung.

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Bestimmen Sie die Ableitungsfunktion f'(x). Um Fehler zu vermeiden, sollten Sie die Ableitungen der Einzelfunktionen u(x) und v(x) zuerst separat aufstellen.


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Für den ersten Faktor und seine Ableitung erhält man (Kettenregel anwenden):



Für den zweiten Faktor gilt:


Die Ableitung von f(x) erhält man dann mithilfe der Produktregel:


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Bestimme die erste Ableitung von f(x)!



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Bestimme die erste Ableitung von f(x)!


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