e-Funktion ableiten

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Wenn du eine spezielle Funktion, wie beispielsweise eine e-Funktion oder eine ln-Funktion, ableiten möchtest, brauchst du spezielle Ableitungsregeln. Im folgenden wird dir erklärt, was du beim Ableiten der e-Funktion beachten musst. Das Thema ist dem Fach Mathe zuzuordnen.




Allgemeines zur Exponentialfunktion 


Funktionen der Gleichungen der Form , bei denen die Funktionsvariable im Exponenten steht, nennt man Exponentialfunktion zur Basis a. Es gilt dabei: .


Diese Einschränkung ist sinnvoll, da im Spezialfall  sich eine konstante Funktion y=1 ergeben würde, deren Graph eine waagrechte darstellt. Falls a<0 wäre, würden die Funktionswerte zwischen positiven und negativen Werten umherspringen, je nachdem ob der Exponent gerade oder ungerade ist, und die Funktion wäre nicht für alle  definiert.


Falls die Basis a die Euler´sche Zahl e (≈2,718) ist, also , spricht man von der natürlichen Exponentialfunktion. Sie wird auch e-Funktion genannt.



Vorwissen zum Ableiten von Exponentialfunktionen 


Die Ableitungsregel für Exponentialfunktionen lautet:


Bei der Ableitung einer Exponentialfunktion wird also nur der Faktor ln a (also um den natürlichen Logarithmus) ergänzt.


Beispiel: 





Ableitung der e-Funktion 


Für die Ableitung der e-Funktion gilt immer:


Die Ableitung der e-Funktion ist somit die e-Funktion. Hier ist zu beachten, dass - wie bei der Ableitung der in-Funktion auch - die Variable x nur alleine stehen darf bzw. mit dem Faktor 1. Sonst musst du diese Ableitungsregel mit der Kettenregel kombinieren. 


Was machen wir aber, wenn wir im Exponent nicht nur ein x haben, sondern beispielsweise 2x?



Herleitung der Ableitungsregel  


Falls wir die Ableitung der natürlichen Exponentialfunktion herleiten möchten, müssen wir uns zunächst die Ableitungsregeln für Exponentialfunktionen anschauen. 


Die allgemeine Ableitungsregel für Exponentialfunktionen lautet:


Jetzt setzen wir unsere Funktion in diese Formel ein. Wir erhalten:


Da der ln(e) =1 beträgt, erhalten wir:



Ableitung einer e-Funktion mit Exponenten ≠ “nur” x 


Falls unser Exponent z.B. 2x beträgt, müssen wir zusätzlich noch die Kettenregel anwenden.


Zur Erinnerung: f(x) = g(h(x))  → f´(x) = g´(h(x))*h´(x) 


Im folgenden wird die Kombination von der Kettenregel und der Ableitungsregel der e-Funktion anhand von Beispielen verdeutlicht.



Beispielaufgaben 


1.     

                                äußere Abl.   innere Abl.     


Die äußere Ableitung der e-Funktion ist die Funktion selbst, da gilt:. Der Ausdruck in der e-Funktion wird somit einfach übernommen. Jedoch müssen wir jetzt noch die Kettenregel anwenden, da der Exponent ≠ x ist. Dafür müssen wir den Exponenten -3x ableiten und mit der Ableitung dann “nachdifferenzieren”. Daher kommt die innere Ableitung “-3” am Ende. Die verkettete Funktion wird also durch die innere Ableitung miteinbezogen.


2.         

                                     äußere Abl. innere Abl.   


3.    

                                                  äußere Abl. innere Abl.


        Zur Erinnerung:


4.      

                                                 äußere Abl.  innere Abl.




e-Funktion - Das wichtigste auf einen Blick 


  • Die allgemeine Ableitungsregel für Exponentialfunktionen lautet:


  • Die Ableitungsregel für eine e-Funktionen lautet:


  • Falls im Exponenten etwas anderes als “x” steht, müssen wir auf die Kettenregel zurückgreifen.


  • Eselsbrücke: “Bleib so wie du bist - so wie die e-Funktion beim Ableiten!”



Unser Tipp für Euch 


Ich würde dir empfehlen bei einer verketteten e-Funktion die Nachdifferenzierung immer farbig zu markieren. Das solltest du auch bei der Kettenregel machen und diese verwenden wir ja schließlich hier! :) So behältst du einen Überblick und vermeidest Leichtsinnigkeitsfehler.



Finales e-Funktion ableiten Quiz

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Untersuche die Funktion f(x)=e^x -e^2x auf Nullstellen, Extremwerte und Wendepunkte.

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Antwort

Nullstelle bei x =0

Maximum bei x = -ln2

Wendepunkt bei x = -ln4

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