Ableitung Sinus Kosinus Tangens: Beispiele | StudySmarter
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Ableitung Sinus Kosinus Tangens

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Mathe

In diesem Artikel zeigen wir dir anhand von Formeln und erklärenden Beispielen, wie du die trigonometrischen Funktionen (Sinus, Cosinus, Tangens) ableiten kannst. Dieses Thema gehört zu den Ableitungsregeln und somit zum Fach Mathe.


Grundsätzlich sind trigonometrische Funktionen auf ihrem gesamten Definitionsbereich differenzierbar, d.h. man kann sie uneingeschränkt ableiten.



Alles Wichtige zur Ableitung von Sinus Cosinus Tangens auf einen Blick!


Hier findest du die drei wichtigsten Regeln zum Ableiten trigonometrischer Funktionen zusammengefasst:


  • Ableitung der sin-Funktion:


  • Ableitung der cos-Funktion:


  • Ableitung der tan-Funktion: 2 


Im Optimalfall solltest du zum Vereinfachen der Terme die Additionstheoreme verwenden - so sparst du dir Zeit und tust dir leichter. Du wirst sehen: je häufiger und regelmäßiger du übst, desto leichter wird dir das Ableiten mit der Zeit fallen.



Vorwissen zu trigonometrischen Funktionen


Trigonometrische Funktionen sind Winkelfunktionen (bzw. Kreisfunktionen), die jedem Winkel  einen entsprechenden Funktionswert zuordnen. Nach einer vollständigen Umkreisung beginnt die Betrachtung wieder von vorne, somit sind die Funktionen periodisch mit der Periode 360° bzw. 2π.

Trigonometrische Funktionen sind:


  • Sinusfunktion:

  • Kosinusfunktion:

  • Tangensfunktion:




Was ist die Ableitung der Sinus- und Cosinus-Funktion?


Im Folgenden haben wir dir die allgemeinen Regeln zum Ableiten der Sinus- und der Cosinusfunktion zusammengetragen. Wie du siehst, ist es nicht allzu kompliziert:




Noch einfacher kannst du dir diese Regeln merken, wenn du dir den Ableitungskreis ansiehst und ihn dir ggf. während dem Rechnen aufzeichnest, falls du beim Ableiten einer Kosinus- oder Sinusfunktion einmal nicht weiterkommst. 

Ableitungskreis Sinus- und Kosinusfunktion




Wie leitet man Sinus x ab?


Beispielaufgabe 1

Hier haben wir einmal Schritt für Schritt und sehr ausführlich die Ableitung dieser Funktion geschildert. 


Die Funktion lautet:   


Schritt 1:

Die Funktion ist durch die Verkettung zweier Funktionen gemäß  entstanden.

Wir identifizieren die äußere und die innere Funktion

g(x) ist hierbei die äußere Funktion:


 

 

Schritt 2:

Wir leiten die beiden Teilfunktionen ab.



Schritt 3:

Wir setzen die Teilfunktionen in die Formel der Kettenregel ein und erhalten:


 



Beispielaufgabe 2

Die Funktion lautet:  


Wir benutzen hier die Kettenregel und die Faktorregel:


 


Anschließend setzen wir die Teilfunktionen in die Formel ein:


 




Wie leitet man Cosinus x ab?


Beispielaufgabe 1

Die cos-Funktion lautet:


Auch hier benutzen wir wieder die Kettenregel:


 



Beispielaufgabe 2

Wir möchten folgende Kosinusfunktion ableiten:


Wie bisher schreiben wir uns erstmal g(x) und h(x), sowie ihre Ableitungen auf:


 


Zum Ableiten dieser Funktion wenden wir die Produktregel an:

Zur Erinnerung :  


Durch Einsetzen in die Formel der Produktregel erhalten wir schließlich:






Wie leitet man Tangens x ab?


Wenn du den Tangens ableiten möchtest, ist das nicht ganz so einfach wie beim Sinus oder Cosinus - aber keine Sorge: du musst dir nur folgende Formel merken und sie anwenden:


 




Beispielaufgaben zur Ableitung der Tangensfunktion


Beispielaufgabe 1

Wir möchten folgende tan-Funktion differenzieren:


Zunächst notieren wir uns wieder die einzelnen Teile der Funktion g(x) und h(x) und leiten diese separat ab, um die innere Ableitung und die äußere Ableitung zu erhalten:


 


Um nun die vollständige Ableitung aufzustellen, benötigen wir die Kettenregel, sowie die Faktorregel:


 




Wie lauten die Additionstheoreme?


Beim Differenzieren von trigonometrischen Funktionen ist es meist sehr hilfreich, sie vorher zu vereinfachen. Wie du Funktionen mit Sinus, Kosinus oder Tangens ganz leicht vereinfachen kannst, siehst du an diesen Regeln:


 





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