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Ableitungsregeln

Frage

Berechne die erste Ableitung von f(x)!


f(x)=cos(x)⋅sin(x)

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Antwort

f'(x)=cos²(x)-sin²(x) 

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Frage

Berechne die erste Ableitung von f(x)!


f(x)=3⋅cos²(x)+sin(x)

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Antwort

f'(x)=-cos(x)⋅(6⋅sin(x)-1) 

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Frage

Berechne die erste Ableitung von f(x)!


f(x)=cos(x)⋅e^(x)

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Antwort

f'(x)=-e^(x)⋅(sin(x)-cos(x))

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Frage

Berechne die erste Ableitung von f(x)!


f(x)=xⁿ⋅sin(x)-cos(x)   n∈R

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Antwort

f'(x)=nxⁿ⁻¹⋅sin(x)+xⁿ⋅cos(x)+sin(x) 

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Frage

Berechne die erste Ableitung von f(x)!


f(x)=cos(sin(x))⋅cos(x)

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Antwort

f'(x)=-cos²(x)⋅sin(sin(x))-sin(x)⋅cos(sin(x))

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Frage

Bestimme die 1. Ableitung folgender Funktion: 


f(x)=(1/x)⋅cos(x)⋅sin(x)

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Antwort

f'(x)=(1/x)cos²(x) -(1/x)sin²(x)-(1/x²)cos(x)sin(x) 

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Frage

Bestimmen die 1. und 2. Ableitung folgender Funktion: 


f(x)=42x+sin(42x)+42

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Antwort

f'(x)=42+42cos(42x)
f''(x)=-1764sin(42x) 

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Frage

Bestimme die erste Ableitung folgender Funktion:


f(x)=sin(x/2)⋅cos(x/2)

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Antwort

f'(x)=(1/2)⋅(cos²(x/2)-sin²(x/2))

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Frage

Bestimme die Ableitung folgender Funktion: 


f(x)=cos⁵(x)⋅cos⁻¹(3x)

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Antwort

f'(x)=-5cos⁴(x)⋅sin(x)⋅cos⁻¹(3x) +cos⁵(x)⋅3cos⁻²(3x)sin(3x)

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Frage

Bestimme die erste Ableitung von f(x)!


f(x)=sin(x)⋅3⋅x

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Antwort

f'(x)=cos(x)*3

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Frage

Bestimme die ersten zwei Ableitungen von f(x)!


f(x) = sin (x⁶ + x)

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Antwort

f'(x) = cos(x⁶ + x)⋅(6x⁵ + 1 )
f''(x) = -sin(x⁶ + x)⋅(6x⁵ + 1 )²+cos(x⁶ + x)⋅30x⁴ 

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Frage

Berechne die erste Ableitung von f(x)!


f(x) = cos(5x)⋅sin(3x³+x)

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Antwort

f'(x)=-5sin(5x)⋅sin(3x³+x)+cos(5x)⋅cos(3x³+x )⋅(9x²+1)

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Frage

Überlege welche der möglichen Anworten die 1. Ableitung von f(x)=5x³+2x²-x+1 ist.

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Antwort

f'(x) = 15x²+4x+1

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Frage

Berechne erste und zweite Ableitung!


a) f(x)=3⋅sin(x)+5

b) f(x)=-cos(x)⋅x²

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Antwort

a) f'(x)= 3⋅cos(x)

    f''(x)= -3sin(x) 

b) f'(x)= sin(x)x²-cos(x)2x 

    f''(x)= cos(x)(x² - 2)+4xsin(x) 


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Frage

Bestimme die Ableitung der folgenden Funktion unter Verwendung der Quotientenregel!


f(x) = tan(x) = sin(x) / cos (x)

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f'(x) =  1 / cos(x)²

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Frage

Bestimme die ersten drei Ableitungen der folgenden Funktion!


 f(x)= cos(x) + sin(3*x)

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Antwort

f'(x)=  -sin(x) +3*cos(3*x)
f''(x)= -cos(x) - 9*sin(3*x)
f'''(x)=  sin(x) - 27*cos(3*x)

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Frage

Berechne die erste Ableitung!


  1. f(x)= 3*sin(x) + 4
  2. f(x)= sin(x) * cos(x)
  3. f(x)= -2*cos(3x)
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Antwort

  1. f'(x) = 3*cos(x)
  2. f'(x) = cos(x)² - sin(x)²
  3. f'(x) = 6*sin(3x)
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Frage

Bilde die erste Ableitung folgender Funktionen! 


f(x) = sin(2x) - 2x³

f(x) = cos²(x) + sin(x)

f(x) = -cos(4x)


 




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Antwort

f'(x) = 2cos(2x) - 6x²

f'(x) = cos(x)*(1 - 2 sin(x))

f'(x) = 4 sin(4x) 

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Frage

Leite die folgenden Terme nach x ab.


a) f(x) = sin(x³)

b) f(x) = (4x² + 7)³

c) f(x) = 2⋅cos(3x²)

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Antwort

a) f'(x) = 3x²⋅cos(x³)

b) f'(x) = 24x⋅(4x² + 7)²

c) f'(x) = -12x⋅sin (3x²)

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Frage

Leite die folgenden Terme nach x ab.


a) f(x) = 2⋅cos(3x²)

b) f(x) = (2x² + 3x)²

c) f(x) = 3⋅cos(2x³)


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a) f'(x) = -12x⋅sin(3x²)

b) f'(x) = 16x³+36x² +18x 

c) f'(x) = -18x²⋅sin(2x³) 

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Frage


Leite die folgenden Terme nach x ab.


a) f(x) = sin(4x³)

b) f(x) = (x + x²)³

c) f(x) = -3⋅cos(x²)

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Antwort

a) f'(x) = 12x²⋅cos(4x³)

b) f'(x) = (3 + 6x)⋅(x + x²)²

c) f'(x) = 6x⋅sin (x²)

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Frage

Leite die folgenden Terme nach x ab.


a) f(x) = -2⋅sin(x²)

b) f(x) = (x² + 2)²

c) f(x) = -2⋅cos(5x²+3)

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Antwort

a) f'(x) = -4x⋅cos(x²)

b) f'(x) = 4x³ + 8x 

c) f'(x) = 20x⋅sin(5x² + 3)

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Frage

Was beschreibt die Ableitung im Allgemeinen?

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Antwort

Die Ableitung einer Funktion entspricht in jedem Punkt der Steigung
der Tangente an den Graphen der Funktion und wird deshalb als Grenzwert der Sekantensteigung bestimmt.

Die Ableitung einer Funktion entspricht in jedem Punkt der Steigung der Tangente an den Graphen der Funktion und wird deshalb als Grenz- wert der Sekantensteigung bestimmt.

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Frage

Beschreiben Sie was man unter dem Term verkettete Funktion versteht!

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Antwort

Zwei Funktionen g(x) und h(x) können zu einer neuen Funktion f(x) zusammengesetzt werden, indem man sie verkettet. Der Term der einen Funktion wird dabei in die Variable der anderen Funktion eingesetzt. Aufgrund der Verknüpfungsreihenfolge spricht man von einer inneren Funktion und einer äußeren Funktion. Bei der mathematischen Schreibweise f = g ° h (lies: f ist die Verkettung von g mit h) ist die Reihenfolge wichtig, da die an zweiter Stelle stehende Funktion immer die einzusetzende (innere) Funktion ist.

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Frage

Wie lautet die Merkregel zur Kettenregel?

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Antwort

Ableitung der äußeren Funktion multipliziert mit Ableitung der inneren Funktion (oder kurz: „äußere Ableitung mal innere Ableitung“).

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Frage

Was sind Asymptoten?

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Antwort

Asymptoten sind Geraden, denen sich der Graph einer Funktion beliebig genau nähert. Sie geben Ihnen wichtige Hinweise auf den Verlauf des Graphen und auf
Möglichkeiten, Funktionsterme näherungsweise zu vereinfachen. Man unterscheidet drei Typen.

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Frage

Was lässt sich mit der Sinusfunktion beschreiben?

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Antwort

Mithilfe der allgemeinen Sinusfunktion lassen sich harmonische Schwingungen, stehende und laufende harmonische Wellen, aber auch die Bewegungen von Körpern auf Kreisbahnen mathematisch beschreiben. Ferner besteht ein enger Zusammenhang zwischen der Sinus- und der Kosinusfunktion einerseits und der e-Funktion andererseits.

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Frage

Was sind Trigonometrische Funktionen?

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Antwort

Trigonometrische Funktionen sind Winkelfunktionen (bzw. Kreisfunktionen), die jedem Winkel α einen entsprechenden Funktionswert zuordnen.

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Frage

Wie muss der Taschenrechner bei Berechnung von trigonometrischen Funktionen für Gradmaß und für Bogenmaß eingestellt werden?

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Antwort

Bei Berechnung von konkreten Funktionswerten, muss der Taschenrechner auf den entsprechenden Modus eingestellt werden, d. h. DEG für das Gradmaß und RAD für das Bogenmaß.

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Frage

Wie lautet die Ableitungsregel für die Sinusfunktion?

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Antwort

f(x) = sin x

f '(x) = cos x

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Frage

Wie lautet die Ableitungsregel für die Kosinusfunktion?

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Antwort

f(x) = cos x

f '(x) = – sin x

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Frage

Wann muss die Ableitungsregel von cos/sin/tan mit der Kettenregel kombiniert werden?

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Antwort

Wenn die Variable x nicht alleine/ nicht mit Faktor 1 steht.

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Frage

Was sind Wendepunkte?

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Antwort

Wendestellen sind Stellen (x-Werte), an denen der Graph einer Funktion seine Krümmung wechselt (von einer Links- in eine Rechtskurve oder umgekehrt).

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Frage

Wann hat ein Graph einen Wendepunkt?

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Antwort

Ist f ''(x0) = 0 und wechselt f '' an der Stelle x0 das Vorzeichen, so hat der Graph Gf an dieser Stelle einen Wendepunkt.

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Frage

Wann ist ein Graph linksgekrümmt?

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Antwort

f ''(x) > 0 im Intervall I ⇒ Der Graph Gf ist in I linksgekrümmt.

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Frage

Wann ist ein Graph rechtsgekrümmt?

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Antwort

f ''(x) < 0 im Intervall I ⇒ Der Graph Gf ist in I rechtsgekrümmt.

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Frage

Wann muss die Ableitungsregel mit der Kettenregel kombiniert werden?

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Antwort

Die Variable x darf in diesem Fall nur alleine stehen bzw. mit Faktor 1. Andernfalls muss diese Ableitungsregel mit der Kettenregel kombiniert werden.

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Frage

Was gilt bei Verknüpfungen von Funktionen?

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Antwort

Bei Verknüpfungen von Funktionen gelten zusätzlich alle weiteren bekannten

Differenziationsregeln.

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Frage

Inwiefern sind Logarithmusfunktionen differenzierbar?

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Die Logarithmusfunktionen sind auf ihrem gesamten Definitionsbereich R+ differenzierbar.

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Frage

Was ist ein Terrassenpunkt?

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Ein Terrassenpunkt ist ein Wendepunkt mit waagrechter Tangente.

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Frage

Wie kann das Krümmungsverhalten einer Funktion mithilfe einer Krümmungstabelle bestimmt werden?

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Antwort

Vorgehensweise
Schritt 1: 1. und 2. Ableitung von f bestimmen
Schritt 2: Nullstellen der 2. Ableitung berechnen, d. h. Lösen der Gleichung f ''(x) = 0
Schritt 3: Für jede Nullstelle x0 der 2. Ableitung überprüfen, ob f ''(x) beim Fortschreiten von links nach rechts über die Nullstelle hinweg das Vorzeichen wechselt
bei VZW: Wendepunkt
kein VZW: kein Wendepunkt

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Frage

Gib die Schritte zur Bestimmung der Wendepunkte mithilfe der 3. Ableitung an.

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Antwort

Schritt 1: 1., 2. und 3. Ableitung von f bestimmen
Schritt 2: Nullstellen der 2. Ableitung berechnen, d. h. Lösen der Gleichung f ''(x) = 0
Schritt 3: Für jede Nullstelle x0 der 2. Ableitung den Funktionswert f '''(x0) berechnen und das Ergebnis auswerten
f '''(x0) ≠ 0: Wendepunkt
f '''(x0) = 0: keine Aussage möglich

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Frage

Was sind Asymptoten?

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Antwort

Asymptoten sind Geraden, denen sich der Graph einer Funktion beliebig genau nähert.

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Frage

Was versteht man unter Monotonie?

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Antwort

Die Monotonie beschreibt das Steigungsverhalten einer Funktion.

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Frage

Wann ist ein Graph streng monoton fallend?

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Antwort

f '(x) < 0 im Intervall I ⇒ Der Graph Gf fällt streng monoton in I

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Frage

Wann ist ein Graph streng monoton wachsend?

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Antwort

f '(x) > 0 im Intervall I ⇒ Der Graph Gf steigt streng monoton in I.

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Frage

Was sind Extremstellen?

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Antwort

Extremstellen sind Stellen (x-Werte), an denen der Graph einer Funktion die Steigung null und damit eine waagrechte
Tangente
besitzt. Außerdem ändert sich an dieser Stelle das Monotonieverhalten
(von steigend zu fallend oder umgekehrt).

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Frage

Welche drei Arten von Extremstellen werden unterschieden?

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Antwort

Tiefpunkt, Hochpunkt, Terrassenpunkt

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Frage

Wann liegt ein Tiefpunkt vor?

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Antwort

VZW von − nach + : relatives Minimum bei x0

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Frage

Wann liegt ein Hochpunkt vor?

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Antwort

VZW von + nach − : relatives Maximum bei x0

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