Festkörperphysik at Universität zu Kiel

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Was versteht man unter einem Kristallgitter und einer Elementarzelle? Welche Kristallgittertypen findet man bei Metallen besonders häufig?

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Kristallsysteme mit dazugehörigem Bravais-Gitter

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Wie nennt man das Verhältnis von Volumen einer Einheitszelle zu Volumen der darin enthaltenen Atome?

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Kristallstrukturen: Erklären Sie den Unterschied zwischen einem „reziproken Gitter“ und einem „realen Gitter“

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Die 14 Bravais-Gitter? 

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Welche Eigenschaften müssen die Einheitszellen der Kristalle erfüllen? 

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Raumgitter    

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Was bezeichnet man mit Miller‘schen Indiezies?

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Kristallstruktur

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Packungsdichte?

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Geben sie die wichtigsten Kristallgitterstrukturen an und skizzieren sie die jeweilige Elementarzelle

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Welche Elementarzelle verfügt über die geringste Packungsdichte?

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Festkörperphysik

Was versteht man unter einem Kristallgitter und einer Elementarzelle? Welche Kristallgittertypen findet man bei Metallen besonders häufig?
Das Kristallgitter, auch Punktgitter genannt, ist eine dreidimensionale Anordnung von (mathematischen) Punkten. Die kleinste Einheit des Gitters ist die Elementarzelle. Diese enthält alle Informationen die zum Beschreiben des Kristalls notwendig sind. Diese Elementarzellen werden durch Translationssymmetrie zu einem dreidimensionalen Netz erweitert. Das Kristallgitter ist ein Hilfsmittel, um die Symmetrie und Geometrie eines Kristalls zu beschreiben. Im dreidimensionalen Raum beschreiben die 14 Bravais-Gitter jede Möglichkeit der Zellenform. Von jedem Gitterpunkt der Zelle muss der (unendlich ausgedehnte) Kristall genau gleich aussehen, egal in welche Richtung man sieht. Weil das Kristallgitter nur aus Punkten aufgebaut ist, ist es immer zentrosymmetrisch. Die primitive Elementarzelle ist eine Zelle, die nur einen Gitterpunkt enthält. Bei knapp 70% aller Metalle sind die Atome in dichtester Packung angeordnet. Von 14 Bravais - Gittern sind 3 für Metalle von besonderer Bedeutung: das Gitter mit kubisch - flächenzentrierter ( kfz ) Elementar - zelle ( A1 - Struktur ) – dies entspricht der kubisch - dichtesten Kugel - packung, dasjenige mit kubisch - raumzentrierter ( krz ) Elementarzelle ( A2 - Struktur ) sowie das Gitter mit hexagonal - dichtester ( hdp ) Elementarzelle ( A3 - Struktur ).

Festkörperphysik

Kristallsysteme mit dazugehörigem Bravais-Gitter
Kubisch: a=b=c, α=β=γ=90◦,  -primitiv, -raumzentriert, -flächenzentriert
Tetragonal: a=b=/c, α=β=γ=90◦, -primitiv, -raumzentriert
Hexagonal: a=b=/c, α=β=90◦, γ=120◦, -primitiv
Rhomboedrisch, trigonal: a=b=c, α=β=γ=/90◦, -primitiv
Othorhombisch: a=/b=/c, α=β=γ=90◦, -primitiv, -raumzentriert, -flächenzentriert, -basisflächenzentriert
Monoklin: a=/b=/c, α=β=90◦, γ=/90◦, -primitiv, -basisflächenzentriert
Triklin: a=/b=/c, α=/β=/γ=/90◦, -primitiv

Festkörperphysik

Wie nennt man das Verhältnis von Volumen einer Einheitszelle zu Volumen der darin enthaltenen Atome?
Packungsdichte (Anzahl Atome pro Zelle)*(Volumen eines einzelnen Atoms)/Volumen einer Zelle

Festkörperphysik

Kristallstrukturen: Erklären Sie den Unterschied zwischen einem „reziproken Gitter“ und einem „realen Gitter“
Das reziproke Gitter ist die Fouriertransformierte des realen Gitters und wird durch die fouriertransformierten Basisvektoren der realen Basis aufgespannt.


Das reale Gitter wird durch Aneinanderfügen lauter Einheitszellen (EZ) gewonnen. Dadurch besitzt es eine Translationssymmetrie: Jeder Gitterpunkt kann mit einem Translationsvektor T = u a1 + v a2 + w a3 erreicht werden.


Das reziproke Gitter ist die Darstellung des Kristalls im k-Raum (Impulsraum), im Gegensatz zum realen, welches im Ortraum liegt. Die reziproken Gittervektoren Ghkl stehen jeweils normal auf eine bestimmte Netzebenenschar, wobei die Länge der Vektoren proportional zum reziprokem Abstand der Netzebenen ist.

Festkörperphysik

Die 14 Bravais-Gitter? 
stellen die Menge aller im dreidimensionalen Raum möglichen Einheitszellen der Kristalle dar.

- 14 Bravais-Gitter lassen sich wiederum in 7 Kristallsysteme zsmfassen --> unterscheiden sich in ihrer Länge der Basisvektoren und Winkeln

- weitere Differenzierung der 7 Kristallsysteme zu den 14 Bravais-Gittern erfolgt durch Anordnung weiterer Gitterpunkte:

-> entweder in der Raummitte (raumzentriert oder innenzentriert)
-> auf den Mittelpunkten aller Begrenzungsflächen (flächenzentriert)
-> oder auf den Mittelpunkten der zwei Basisflächen (basiszentriert) 
 

Festkörperphysik

Welche Eigenschaften müssen die Einheitszellen der Kristalle erfüllen? 
- Einheitszelle ist die einfachste sich wiederholende Einheit in einem Kristall
--> sollte möglichst klein sein, aber volle Symmetrie des Gitters vorhanden sein. 

- gegenüberstehende Einheitszellen sind parallel

- Rand der Einheitszelle verbindet äquivalente Stellen

- alle Atome des Wks müssen erfasst werden und müssen den Raum vollständig füllen 

Festkörperphysik

Raumgitter    

Punktmenge, die den Raum in periodischer Weise ausfüllt.

Beachte: Grundeinheit, die das gesamte Raumgitter definiert, ist nun

die Elementarzelle bzw Einheitszelle (ab hier EZ), festgelegt durch die Basisvektoren a1 ;2;3 und die entsprechenden Koordinatenachsen parallel zu diesen.

Festkörperphysik

Was bezeichnet man mit Miller‘schen Indiezies?
Miller‘schen Indizies : [hkl] (positive oder negative ganze Zahlen bei Richtungen) Orientierung der Atome in einer Einheitszelle . Aber auch zur Beschreibung der Atomposition.

Festkörperphysik

Kristallstruktur

Kristallstruktur = Gitter + Basis

• Gitter: 3D-Anordnung von (mathematischen) Punkten
- Kubisch-raumzentriertes Gitter (krz)
– Kubisch-flächenzentriertes Gitter (kfz)
– Hexagonal dichteste Packung


• Basis = Einheitszelle: kann Atom, Ion oder Molekül sein!




Festkörperphysik

Packungsdichte?

Volumen der Atome der Einheitszelle DIVIDIERT DURCH Volumen der Einheitszelle

Festkörperphysik

Geben sie die wichtigsten Kristallgitterstrukturen an und skizzieren sie die jeweilige Elementarzelle
Hexagonal - 6 Kubisch primitiv - 1 Kubisch raumzentriert - 2 Kubisch flächenzentriert - 4

Festkörperphysik

Welche Elementarzelle verfügt über die geringste Packungsdichte?
Das Kfz- und Hdp- Gitter mit je 74%.

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