Einführung in die Stochastik - für Informatiker at Universität Tübingen

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Beispiel: einfacher, fairer Münzwurf:

Nenne Ω, F , P!

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Eine Familie F ⊆ P(Ω) von Teilmengen heißt σ-Algebra, wenn gilt:

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Eine Abbildung µ: F → [0,∞] heißt Maß auf (Ω,F), wenn gilt:

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Maßraum

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Zählmaß

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P heißt Wahrscheinlichkeitsmaß  und das Tripel (Ω, F, P) heißt Wahrscheinlichkeitsraum, wenn

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Regeln von de Morgan

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d-dimensionales Lebesgue-Maß

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Axiome von Kolmogorov (Forderungen an P)

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Es seien Ω, Z zwei Mengen. Es sei F eine σ-Algebra über und Z eine σ-Algebra über Z.


Eine Abbildung X: Ω → Z heißt Zufallsvariable und heißt Zustandsmenge von X, wenn

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Zu was dient die Zufallsvariable X?

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Wie könnte man einen n-fachen Münzwurf beschreiben?

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Einführung in die Stochastik - für Informatiker

Beispiel: einfacher, fairer Münzwurf:

Nenne Ω, F , P!

  • Ω = {Zahl, Kopf} = {0, 1}
  • F = P(Ω) = {∅, {0}, {1}, Ω}
  • P(∅) = 0, P({0}) = P({1}) = 0,5 ,
    P(Ω) = 1.

Einführung in die Stochastik - für Informatiker

Eine Familie F ⊆ P(Ω) von Teilmengen heißt σ-Algebra, wenn gilt:

  •  Die leere Menge ∅ liegt in F.
  •  Aus A ∈ F folgt Ω \ A ∈ F.
  •  Ist A1, A2, ... eine Folge von Elementen in F, so gilt A1 ∪ A2 ∪ · · · ∈ F.

Einführung in die Stochastik - für Informatiker

Eine Abbildung µ: F → [0,∞] heißt Maß auf (Ω,F), wenn gilt:

  • µ(∅) = 0.
  • σ-Additivität: Ist A1, A2, ... eine Folge von paarweise disjunkten Elementen in F,
    so gilt
    µ(A1 ∪ A2 ∪ · · · ) = µ(A1) + µ(A2) + · · ·

Einführung in die Stochastik - für Informatiker

Maßraum

Das Tripel (Ω,F, µ) 

Einführung in die Stochastik - für Informatiker

Zählmaß

Ist eine beliebige Menge, dann ist
ζ : P(Ω) → [0,∞] mit ζ(A) = |A| ein Zählmaß

Einführung in die Stochastik - für Informatiker

P heißt Wahrscheinlichkeitsmaß  und das Tripel (Ω, F, P) heißt Wahrscheinlichkeitsraum, wenn

P ein Maß auf (Ω,F) mit P(Ω) = 1 ist

Ereignisse: σ-Algebra (also eine Teilmenge von )
Ergebnis: ein Element von

Einführung in die Stochastik - für Informatiker

Regeln von de Morgan

A \ (B ∪ C) = (A \ B) ∩ (A \ C)

A \ (B ∩ C) = (A \ B) ∪ (A \ C)

Einführung in die Stochastik - für Informatiker

d-dimensionales Lebesgue-Maß

Die Begriffe Länge, Fläche, Volumen sind Maße auf geeigneten σ-Algebren von R, R2, R3 definiert. 

Allgemein: R^d

Einführung in die Stochastik - für Informatiker

Axiome von Kolmogorov (Forderungen an P)

  • Die Abbildung P ordnet jedem Ereignis A ∈ F eine Zahl in [0, 1] zu
  • Es gelten P(∅) = 0 und P(Ω) = 1
  • σ-Additivität: Ist A1, A2, ... eine Folge von paarweise disjunkten Ereignissen in F, so gilt
    P(A1 ∪ A2 ∪ · · · ) = P(A1) + P(A2) + · · · .

Es wäre natürlich wünschenswert, wenn P(A) für alle Teilmengen A ⊆ Ω definiert

wäre. Im wichtigen Fall Ω = R ist dies aber oft nicht möglich.

Einführung in die Stochastik - für Informatiker

Es seien Ω, Z zwei Mengen. Es sei F eine σ-Algebra über und Z eine σ-Algebra über Z.


Eine Abbildung X: Ω → Z heißt Zufallsvariable und heißt Zustandsmenge von X, wenn

X^−1(B) ∈ F für alle B ∈ Z (X^-1 = Urbild)

X: (Ω,F) → (Z, Z).

Einführung in die Stochastik - für Informatiker

Zu was dient die Zufallsvariable X?

Es soll einen Teilaspekt des zufälligen
Experiments beschreiben:

Ein Ergebnis ω ∈ Ω kann (zu) viel Information enthalten. Die Zufallsvariable X ordnet einem Ergebnis ω ∈ Ω einen (einfacheren) Wert aus der
Zustandsmenge Z zu.

Einführung in die Stochastik - für Informatiker

Wie könnte man einen n-fachen Münzwurf beschreiben?

Als n-fache kartesische Produkt Ω = {Zahl, Kopf}^n


Ein Ergebnis ω ∈ Ω ist dann ein n-Tupel ω = (ω1, ... , ωn) mit Einträgen in {Zahl, Kopf}

Ist nur die Anzahl der Köpfe von Interesse, so kann dies mithilfe der Zufallsvariablen X: Ω → Z mit
Z = {0, ... , n} und X(ω) = »Anzahl der Köpfe in ω« beschrieben werden.

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