Numerische Methoden der Dynamik (NMD) at Universität Stuttgart

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Vor- und Nachteile einer Iteration?

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Was ist ein Algorithmus?

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Kriterien zur Beurteilung eines Algorithmus?

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Nenne wesentliche Schritte einer technischen Analyse eines Systems. + Beispiel

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Was muss gelten, damit die Iterationsvorschrift konvergiert?

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Unterschied einer Iteration zu einer Rekursion?

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Gebe eine Iterationsvorschrift an!

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Ist die Anzahl der Iterationsschritte bestimmbar?

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Nenne 3 Nullstellenverfahren

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Warum entstehen in der Numerik Fehler?

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Was ist Gleitpunktiteration?

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Was ist die Kondition eines Algorithmus?

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Numerische Methoden der Dynamik (NMD)

Vor- und Nachteile einer Iteration?

+Näherungslösung, also ist die Suche zeitlich kürzer als bei einer exakten Lösung
+falls geschlossene Lösung nicht möglich
-nur Näherungslösung als Ergebnis
-Anzahl Iterationsschritte vorab nicht bekannt und nicht limitiert
-Sicherung der Konvergenz ein nicht triviales Problem

Numerische Methoden der Dynamik (NMD)

Was ist ein Algorithmus?
Festgelegte Reihenfolge elementarer Operationen, die für alle zulässigen Eingangsdaten In endlich vielen Schritten eindeutig einen zugehörigen Satz an Ausgangsdaten erzeugt.
-Algorithmen sind eindeutig bestimmt
! - mathematisch äquivalente Operationen sind nicht numerisch äquivalent

Numerische Methoden der Dynamik (NMD)

Kriterien zur Beurteilung eines Algorithmus?
- Effizienz: Rechenzeit und Speicherplatz
- Stabilität: FehIerfortpflanzung
- Kondition: Genauigkeit
- Zuverlässigkeit: Ausschluss von kritischen Fällen
- Versändlichkeit:Fehlerrückverfolgung (Debugging), Adaption an modifizierte Probleme, Beweisbarkeit

Numerische Methoden der Dynamik (NMD)

Nenne wesentliche Schritte einer technischen Analyse eines Systems. + Beispiel
1. mechanische Modellbildung
2.Mathematische Modellbildung
3.Lösungsansätze
4. Algorithmus
5. physikalische Interpretation
6. Fehleranalyse

Bsp M2.1 Ladekran:
1. Skizze Ladekran
2. Bewegungsgleichung: M*y''+K*y=h
LGS: K*y0 = h
Statisches Gleichgewicht: y0
Verbesserte Skizze

Bsp M2.2 Fahrzeugschwingung
1. Skizze Fahrzeug mit Bodenwelle
2.Bewegungsgleichung: M(y,t)*y''+k(y,y',t)=q(y,y',t)
AWP: x'=f(x,t), x(0)=x0
Funktionen ausrechnen und Schwingung als Kurve zeichnen
Verbesserte Skizze des Fahrzeugs

Numerische Methoden der Dynamik (NMD)

Was muss gelten, damit die Iterationsvorschrift konvergiert?
(x^(k+1)-x^k)/(x^k-x^(k-1))=phi(x^k)-phi(x^(k-1))/x^k-x^(k-1)=phi'(xi) 
Konvergenz für |phi'(xi)|<1

Numerische Methoden der Dynamik (NMD)

Unterschied einer Iteration zu einer Rekursion?
Rekursion: Anzahl der Neuaufrufe vorher bekannt -> Näherungslösung
Iteration: wird ausgeführt, bis sich Ergebnis vom vorherigen Ergebnis um ein zuvor festgelegtes Verhältnis nicht mehr ändert. !Konvergenz! ->exakte Lösung

Numerische Methoden der Dynamik (NMD)

Gebe eine Iterationsvorschrift an!
Berechnung einer Quadratwurzel
Vorlesung Seite 7
Phi= 0,5 ( c/x+x)
X^(k+1)=phi(x^k)

Numerische Methoden der Dynamik (NMD)

Ist die Anzahl der Iterationsschritte bestimmbar?
Nein, da ein iteratives Verfahren gegen einen Grenzwert konvergiert (falls einer existiert) und dieser ist dann die Lösung. 

Numerische Methoden der Dynamik (NMD)

Nenne 3 Nullstellenverfahren
-Intervallhalbierungsverfahren
-Newton-Raphsonverfahren (Tangente)
Im Falle Gleichung mit einer Variablen, stetig differenzierbar, lassen sich Näherungen zu den Nullstellen finden. Funktion wird in ihrem Ausgangspunkt linearisiert (Tangente bilden) und die Nullstelle der Tangente wird als verbesserte Näherung zur Nullstelle der Funktion gesehen. Jetzt neuer Iterationsschritt mit dem x-Punkt auf der Funktion, der mit der Nullstelle der Tangente übereinstimmt. Solange wiederholen, bis festgelegte Änderung der Lösung unterschritten wird.
Gleichung, ausgehend von Startwert x0: x_n+1=xn - f(xn)/f'(xn)
-Regula Falsi (Sekante)
Es werden zwei Punkte a und b gewählt, mit sign f(a) ungleich sign f(b). Hierdurch die Sekante legen. Dann den Punkt auf der Funktion als neuen Intervallpunkt a oder b, je nach Vorzeichen, nehmen, wo die Sekante ihren Nullpunkt hat. Durchführen, bis Näherungslösung gefunden. 

Numerische Methoden der Dynamik (NMD)

Warum entstehen in der Numerik Fehler?
-Eingangsfehler: Abbildung von Zahlen auf Maschinenzahlen, ungenaue Messungen, ungenaue Massen/Geometriedaten
-Rundungsfehler: in jedem Teilschritt eines Algorithmus entsteht durch Gleitpunktiteration ein zusätzlicher Fehler
-Abbruchfehler: Abbruch einer Iteration oder Approximationsreihe 

Numerische Methoden der Dynamik (NMD)

Was ist Gleitpunktiteration?

Floating Point Operations per Second (flops)
Anzahl der ausführbaren Gleitkommazahloperationen (Additionen und Multiplikationen) pro Sekunde.
Maß für Leistungsfähigkeit eines Computers. 

Numerische Methoden der Dynamik (NMD)

Was ist die Kondition eines Algorithmus?
(Vorlesung) Algorithmus ist gut konditioniert, wenn die Rundungsfehler und deren Fortpflanzung in der größenordnung der unvermeidbaren Fehler des numerischen Problems liegen.
(Wikipedia) Abhängigkeit der Lösung eines Problems von der Störung der Eingangsdaten.
Konditionszahl stellt ein Maß für die Abhängigkeit da und beschreibt den Faktor, um den der Eingangsfehler im ungünstigsten Fall verstärkt wird. Unabhängig von konkretem Lösungsverfahren, abhängig von mathematischen Problem. 

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