Grundlagen der Systembiologie at Universität Stuttgart

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Phasenraum / Phase space

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Trajektorie oder Orbit

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Wie kann man das Phasenportrait konstruieren?

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Wie konstruiert man aus einem Vektorfeld das Phasenportrait?

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Wie kann grafisch der Zeitverlauf einer ODE ermittelt werden?

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Was ist ein Fixpunkt?

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Was für Fixpunkte gibt es?

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Wie sind asymptotisch stabile Fixpunkte allgemein definiert?

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Wie sind global asymptotisch stabile Fixpunkte allgemein definiert?

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Wie sind instabile Fixpunkte definiert?

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Analyse der Fixpunkte in 1D: Vorgehen und Klassifizierung

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Wann werden numerische Verfahren eingesetzt?

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Grundlagen der Systembiologie

Phasenraum / Phase space

  • Koordinatenachsen sind durch die Variablen des Systems gegeben (x1, x2, ...)
  • Dimension = Anzahl Variable

Grundlagen der Systembiologie

Trajektorie oder Orbit

𝛾(x_0) = {𝜑(t, x_0) | t ∈ ℝ}

  • beschreibt Menge aller möglichen Zustände eines dynamischen Systems im Phasenraum
  • ist abhängig vom Anfangszustand x_0
  • gibt keine Informationen darüber, wie schnell der Trajektorie gefolgt wird

Positiver Orbit  𝛾^+(x_0):

  • positive Zeit t ≥ 0

Negativer Orbit  𝛾^-(x_0):

  • negative Zeit 

Grundlagen der Systembiologie

Wie kann man das Phasenportrait konstruieren?

  • direkt im Phasenraum Trajektorien einzeichnen
  • indirekt über das Vertorfeld gehen

Grundlagen der Systembiologie

Wie konstruiert man aus einem Vektorfeld das Phasenportrait?

  • f(x) wird als die aktuelle Geschwindigkeit des Zustandes x interpretiert
  • dies wird als Pfeil an die entsprechende Stelle eingetragen:
    • Länge: entspricht dem Wert von f(x)
    • Richtung: Vorzeichen von f(x)
  • Vektoren sind immer tangential zur Trajekorie

Grundlagen der Systembiologie

Wie kann grafisch der Zeitverlauf einer ODE ermittelt werden?

  1. Vertorfend konstruieren (abhängig von Anfangszustand)
  2. Phasenportrait konstruieren (abhängig von Anfangszustand)
  3. Zeitverlauf für definierten Anfangszustand ermitteln


Grundlagen der Systembiologie

Was ist ein Fixpunkt?

f(x) = 0

Nullstellen der ODE

Grundlagen der Systembiologie

Was für Fixpunkte gibt es?

  • asymptotisch stabil
  • global asymptotisch stabil
  • (Liapunov) stabil
  • instabil

Grundlagen der Systembiologie

Wie sind asymptotisch stabile Fixpunkte allgemein definiert?

Es existiert eine Nachbarschaft U in der die Trajektorien vom Anfangszustand x_0 ∈ U für t → ∞ gegen den Fixpunkt konvergieren.


In anderen Worten: Nach einer kleinen Störung (innerhalb U) geht man immer in den Fixpunkt zurück für t → ∞.

Grundlagen der Systembiologie

Wie sind global asymptotisch stabile Fixpunkte allgemein definiert?

Ein asymptotisch stabiler Fixpunkt ist ein global asymptotisch stabiler Fixpunkt, wenn U der gesamte Bereich des Vektorfeldes ist.

Grundlagen der Systembiologie

Wie sind instabile Fixpunkte definiert?

Fixpunkte sind instabil, wenn sie nicht stabil sind.

Grundlagen der Systembiologie

Analyse der Fixpunkte in 1D: Vorgehen und Klassifizierung

  1. f(x) nach x ableiten an der Stelle des Fixpunktes
  2. Analyse:
    1. Ableitung < 0: VZW + → - im Fixpunkt => asymptotisch stabil
    2. Ableitung > 0: VZW - → + im Fixpunkt => instabil
    3. Ableitung = 0: keine Aussage möglich

Grundlagen der Systembiologie

Wann werden numerische Verfahren eingesetzt?

Wenn eine analytische Lösung nicht möglich ist.

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