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Definition: Aussage
Eine Aussage ist ein Satz, den man genau einen der beiden Wahrheitswerte wahr oder falsch zuordnen kann ( Bivalenzprinzip) . Aus Aussagen lässt sich mithilfe von Verknüpfungen, sog. Junktoren, eine zusammengestezte Aussage bilden. Deren Wahrheitsgehalt ist durch den Wahrheitsgehalt der Teilaussagen bestimmt (Extensionalitätsprinzip).
Eine Tautologie...
... ist eine zusammengesetzte Aussage , die unabhängig vom Wahrheitsgehalt ihrer Bestandteile immer wahr ist.
Eine Kontradiktion ist....
eine zusammengesetzte Aussage, die unabhängig vom Wahrheitsgehalt Ihrer Bestandteile immer falsch ist.
De-Morgan Regel
Seine A und B zwei Aussagen, dann gilt :
nicht ( A u. B) = (nicht A) oder (nicht B)
nicht ( A o. B) = (nicht A) und (nicht B)
Definition: Menge nach G. Cantor
Unter einer Menge verstehen wir jede Zusammenfassung von wohl unterschiedlichen Objekten unserer Anschauung und unseres Denken, welche Elemente von M genannt werden, zusammengefasst werden.
Binomischer Lehrsatz
Seien x,y `Element´ R und n Element N, dann gilt :
(x+y)^n = Summe von k=0 bis n über Binomialkoeffizient mal x^n-k mal y^k
Ein angeordneter Körper K heißt ordnungsvollständig...
...falls jede nichtleere, nach oben beschränkte Teilmenge M von K ein Supremum besitzt.
Eine Folge (Xn) n>=n0 heißt nach oben [bzw. unten] beschränkt,
wenn die Menge M := {xn, xn element N } nach oben [bzw. unten] beschränkt ist.
Beobachtung: eine Folge Xn ist genau dann beschränkt, wenn ein c element R mit ]0,unendlich[ ex. mit IXnI<c für alle n>=n0.
Konvergenz und Beschränktheit
Jede konvergente Folge (Xn) ist beschränkt
Bemerkung: Zwei konvergente Folgen xn und yn haben den selben Grenzwert genau dann,
wenn (xn-yn) n>=n0 eine Nullfolge ist.
x element R heißt Häufungspunkt von Xn,
wenn eine Teilfolge Xnk von Xn ex, die gegen x konvergiert.
Satz von Bolzano Weiertstrass
Jede beschränkte Folge Xn in R besitzt eine konvergente Teilfolge und somit mind. einen Häufungspunkt.
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