Multivariate Statistik at Universität Magdeburg | Flashcards & Summaries

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TESTE DEIN WISSEN

Symmetrisch

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TESTE DEIN WISSEN

wenn A = A‘

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TESTE DEIN WISSEN

Konstruktion von Ellipsoiden

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TESTE DEIN WISSEN

Hauptachsen sind durch Eigenvektoren der Kovarianzmatrix S gegeben


halbe Längen der Hauptachsen sind durch Wurzeln der zugehörigen Eigenwerte definiert


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TESTE DEIN WISSEN

Skalarprodukt

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TESTE DEIN WISSEN

< 𝑥, 𝑦 > das Skalarprodukt ist die Summe der komponentenweise Multiplikation beider Vektoren



Die miteinander zu multiplizierenden Vektoren können miteinander vertauscht werden

𝑦, 𝑧 > = < 𝑥, 𝑧 > + < 𝑦, 𝑧 >

< 𝑎 ∗ 𝑥, 𝑦 > = 𝑎 ∗ < 𝑦, 𝑥 >

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TESTE DEIN WISSEN

Orthogonale Vektoren 𝑥 ⊥ 𝑦

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TESTE DEIN WISSEN

Vektoren heißen orthogonal, wenn der Cosinus des eingeschlossenen Winkels = 0 oder das Skalarprodukt beider Vektoren = 0


Orthogonale Vektoren stehen im rechten Winkel zueinander; gleichbedeutend mit Unkorreliertheit


𝑐𝑜𝑠(∡ 𝑥, 𝑦) = 0

< 𝑥, 𝑦 > = 0


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TESTE DEIN WISSEN

Orthogonale Projektion

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TESTE DEIN WISSEN

Gesucht: (𝑦 − 𝜆 ∗ 𝑥) ⊥ 𝑥 

𝜆 = <𝑥,𝑦>/ <𝑥,𝑥>

𝑦 - <𝑥,𝑦>/ <𝑥,𝑥> ∗ 𝑥

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TESTE DEIN WISSEN

Transposition

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TESTE DEIN WISSEN

Zeilen zu Spalten transponieren et vice versa

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TESTE DEIN WISSEN

Diagonalmatrix

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TESTE DEIN WISSEN

wenn die Elemente in der Diagonalen einer Matrix alle ungleich 0 sind, stets symmetrisch

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TESTE DEIN WISSEN

Lineare Abhängigkeit 

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TESTE DEIN WISSEN

x1, …, xk sind linear abhängig, wenn der zugehörige Nullvektor als nicht-triviale Linearkombination der Vektoren x1, … xk darstellbar ist, also wenn der Ursprungsvektor mit einem Skalar so multipliziert werden kann, dass am Ende
genau 𝟎 rauskommt. 


Andernfalls linear unabhängig


Beispiel: 

𝑥1 = (4, 2, −5), 𝑥2 = (−8, −4, 10)
2 ∗ 𝑥1 + 𝑥2 = 𝟎 = 𝑙𝑖𝑛𝑒𝑎𝑟 𝑎𝑏ℎ𝑎𝑒𝑛𝑔𝑖𝑔 


𝑥1 = (1,2,3)′, 𝑥2 = (12,41,4)′, 𝑥3 = (1,2,3)′ 

sind linear abhängig, da man zweiten Vektor mit Skalar 0 und die anderen mit 1 bzw. -1 multiplizieren könnte; 

geht immer, wenn sich zwei Vektoren gleichen oder ein Vielfaches voneinander sind


Zwei linear unabhängige Vektoren im R² können immer so mit einem Skalar zu multipliziert werden, dass der dritte gegebene Vektor herauskommt (max. 2 unabhängige Vektoren im R²; Dimensionalität = maximale Anzahl linear unabhängiger Vektoren)

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TESTE DEIN WISSEN

Einheitsmatrix

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TESTE DEIN WISSEN

(In) Eine Diagonalmatrix mit nur Einsen in der Diagonalen

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TESTE DEIN WISSEN

Matrixmultiplikation

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TESTE DEIN WISSEN

Das Produkt A · B der zwei Matrizen A und B ist nur dann definiert, wenn die
Anzahl der Spalten von A identisch ist der Anzahl der Zeilen von B

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TESTE DEIN WISSEN

Spur

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TESTE DEIN WISSEN

Summe der Diagonalelemente

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TESTE DEIN WISSEN

Transposition

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TESTE DEIN WISSEN

𝑥‘

((𝑥 ‘)‘ = 𝑥)

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Q:

Symmetrisch

A:

wenn A = A‘

Q:

Konstruktion von Ellipsoiden

A:

Hauptachsen sind durch Eigenvektoren der Kovarianzmatrix S gegeben


halbe Längen der Hauptachsen sind durch Wurzeln der zugehörigen Eigenwerte definiert


Q:

Skalarprodukt

A:

< 𝑥, 𝑦 > das Skalarprodukt ist die Summe der komponentenweise Multiplikation beider Vektoren



Die miteinander zu multiplizierenden Vektoren können miteinander vertauscht werden

𝑦, 𝑧 > = < 𝑥, 𝑧 > + < 𝑦, 𝑧 >

< 𝑎 ∗ 𝑥, 𝑦 > = 𝑎 ∗ < 𝑦, 𝑥 >

Q:

Orthogonale Vektoren 𝑥 ⊥ 𝑦

A:

Vektoren heißen orthogonal, wenn der Cosinus des eingeschlossenen Winkels = 0 oder das Skalarprodukt beider Vektoren = 0


Orthogonale Vektoren stehen im rechten Winkel zueinander; gleichbedeutend mit Unkorreliertheit


𝑐𝑜𝑠(∡ 𝑥, 𝑦) = 0

< 𝑥, 𝑦 > = 0


Q:

Orthogonale Projektion

A:

Gesucht: (𝑦 − 𝜆 ∗ 𝑥) ⊥ 𝑥 

𝜆 = <𝑥,𝑦>/ <𝑥,𝑥>

𝑦 - <𝑥,𝑦>/ <𝑥,𝑥> ∗ 𝑥

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Q:

Transposition

A:

Zeilen zu Spalten transponieren et vice versa

Q:

Diagonalmatrix

A:

wenn die Elemente in der Diagonalen einer Matrix alle ungleich 0 sind, stets symmetrisch

Q:

Lineare Abhängigkeit 

A:

x1, …, xk sind linear abhängig, wenn der zugehörige Nullvektor als nicht-triviale Linearkombination der Vektoren x1, … xk darstellbar ist, also wenn der Ursprungsvektor mit einem Skalar so multipliziert werden kann, dass am Ende
genau 𝟎 rauskommt. 


Andernfalls linear unabhängig


Beispiel: 

𝑥1 = (4, 2, −5), 𝑥2 = (−8, −4, 10)
2 ∗ 𝑥1 + 𝑥2 = 𝟎 = 𝑙𝑖𝑛𝑒𝑎𝑟 𝑎𝑏ℎ𝑎𝑒𝑛𝑔𝑖𝑔 


𝑥1 = (1,2,3)′, 𝑥2 = (12,41,4)′, 𝑥3 = (1,2,3)′ 

sind linear abhängig, da man zweiten Vektor mit Skalar 0 und die anderen mit 1 bzw. -1 multiplizieren könnte; 

geht immer, wenn sich zwei Vektoren gleichen oder ein Vielfaches voneinander sind


Zwei linear unabhängige Vektoren im R² können immer so mit einem Skalar zu multipliziert werden, dass der dritte gegebene Vektor herauskommt (max. 2 unabhängige Vektoren im R²; Dimensionalität = maximale Anzahl linear unabhängiger Vektoren)

Q:

Einheitsmatrix

A:

(In) Eine Diagonalmatrix mit nur Einsen in der Diagonalen

Q:

Matrixmultiplikation

A:

Das Produkt A · B der zwei Matrizen A und B ist nur dann definiert, wenn die
Anzahl der Spalten von A identisch ist der Anzahl der Zeilen von B

Q:

Spur

A:

Summe der Diagonalelemente

Q:

Transposition

A:

𝑥‘

((𝑥 ‘)‘ = 𝑥)

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