Lineare Algebra und analytische Geometrie I at Universität Jena

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Satz 1 und Folgerung 1

Lösbarkeit linearer Gleichungssysteme mit elementaren Zeilenumformungen

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Definition 1 und Satz 2

Lineare Gleichungssysteme in Stufenform

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Abbildungen

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Vektorraumaxiome

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trivialer Vektorraum

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Eindeutigkeit der Axiome

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Einfachste Eigenschaften von Vektorräumen

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Untervektorraum

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Eindeutigkeit des inversen Vektors

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geometrische Beispiele

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Lösungsmengen als Untervektorräume

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Schnittmengen von Untervektorräumen

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Lineare Algebra und analytische Geometrie I

Satz 1 und Folgerung 1

Lösbarkeit linearer Gleichungssysteme mit elementaren Zeilenumformungen

elementare Umformungen: 

(s1) Das c-fache der i-ten Gleichung zur k-ten Gleichung addieren.

(s2) Die k-te Gleichung wird mit c mulitpliziert

(s3) Die i-te und die k-te Gleichung werden vertauscht.


Satz 1: Eine Lösung des Systems (S) ist eine Lösung von S1, S2 und S3.

Folgerung 1: Eine Lösung von S1, S2 oder S3 ist auch eine Lösung von (S).

Lineare Algebra und analytische Geometrie I

Definition 1 und Satz 2

Lineare Gleichungssysteme in Stufenform

Definition 1: LGS ist in Stufenform, wenn

a) ein k existiert mit ai1=...=aik=0 und a(i+1)1=...=a(i+1)k+1=0

b) sind ai1=...=ain=0, dann sind auch a(i+1)1=...=a(i+1)n=0

c) ist ai1 nicht 0, dann a(i+1)1=0


Satz 2: Jedes LGS lässt sich durch endlich viele elementare Zeilenumformungen in Stufenform bringen (Satz von Gauss).


Lineare Algebra und analytische Geometrie I

Abbildungen

Eine Abbildung ist eine Teilmenge R von AxB, sodass es zu jedem a aus A genau ein b aus B mit (a,b) e R gibt (F(a)).

Arithmetische Operationen sind als Abbildungen darstellbar.

Lineare Algebra und analytische Geometrie I

Vektorraumaxiome

Eine Menge V mit einer Addition (VxV -> V) und einer Multiplikation (RxV -> V) heißt Vektorraum, wenn:

1. (u+v)+w = u+(v+w) für alle u,v,w e V

2. u+v = v+u für alle u,v e V

3. neutrales Element der Addition 0+v=v

4. inverses Element der Addition -v+v=0

5. für reelle Faktoren: (ab)v=a(bv)

6. (a+b)v=av+bv

7. a(u+v)=au+av

8. 1*v=v

Lineare Algebra und analytische Geometrie I

trivialer Vektorraum

Vektorräume können nicht leer sein (Widerspruch zu "es gibt ein Element...")

trivialer VR: ein Element- V=0


Lineare Algebra und analytische Geometrie I

Eindeutigkeit der Axiome

Lemma 1: Es gibt genau einen Vektor 0 mit der Eigenschaft 3.

Lemma 2: Ist u+v=v, dann ist u=0.

Lineare Algebra und analytische Geometrie I

Einfachste Eigenschaften von Vektorräumen

Lemma 3: 0v=0 für alle v e V

Lemma 4: a0=0 für alle a e R

Lemma 5: av=0 -> a=0 oder v=0


Lineare Algebra und analytische Geometrie I

Untervektorraum

Sei V ein Vektorraum. Eine nichtleere Teilmenge U von V heißt Untervektorraum, falls er abgeschlossen bezüglich Addition und Multiplikation ist, d.h. für alle u,v, e U und a e R gilt u+v e U und av e U.


Lineare Algebra und analytische Geometrie I

Eindeutigkeit des inversen Vektors

Lemma 6: Es gibt genau ein -v mit der Eigenschaft -v + v = 0, und zwar -1*v=-v

Beweis über w+(u+v)=(w+u)+v mit der Annahme, dass w+u=0 und u+v=0


Lineare Algebra und analytische Geometrie I

geometrische Beispiele

Vektor: Strecke mit Anfangspunkt O

Parallelogrammregel zur Addition von Vektoren

Streckung und Stauchung von Vektoren durch skalare Multiplikation


Untervektorraum: Ebene mit Punkt O, Untervektorraum beinhaltet alle Vektoren, die in O beginnen und irgendwo auf der Ebene enden

Lineare Algebra und analytische Geometrie I

Lösungsmengen als Untervektorräume

Satz 3: Für die Gleichung a1x1+a2x2+...+anxn=0 ist die Lösungsmenge L ein Untervektorraum des R^n.

Beweis: nicht leer, weil Nullvektor 

abgeschlossen bezüglich Addition und Multiplikation zeigen

Lineare Algebra und analytische Geometrie I

Schnittmengen von Untervektorräumen

Satz 4: Die Schnittmenge von Untervektorräumen des Vektorraums V (+,*) ist ein Untervektorraum.

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