Analysis at Universität Jena

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Definition Funktionen

Seien M,N Mengen, dann

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Definition Graph einer Funktion

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Definition injektive Funktion

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Definition surjektive Funktion

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Definition Verknüpfung

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Definition Umkehrfunktion oder inverse Funktion

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Definition Operation

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Definition kommutativ

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Definition assoziativ

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Definition neutrales Element

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Definition inverses Element

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Definition Körper

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Exemplary flashcards for Analysis at the Universität Jena on StudySmarter:

Analysis

Definition Funktionen

Seien M,N Mengen, dann

ordnet f : M → N jedem Element x ∈ M ein eindeutiges Element f(x) ∈ N zu.
Zwei Funktionen f, g : M → N sind gleich, kurz f = g, falls für alle x ∈ M Gleichheit der Funktionswerte f(x) = g(x) gilt.

Analysis

Definition Graph einer Funktion

Seien M und N Mengen und f : M → N eine Funktion. Dann ist die Menge
Gf = {(x, f(x)) : x ∈ M} ⊂ M×N
der Graph der Funktion.

Analysis

Definition injektive Funktion

f : M →N eine Funktion
f heißt injektiv, falls für x,y ∈ M gilt aus f(x) = f(y) folgt x = y.

Analysis

Definition surjektive Funktion

f: M →N eine Funktion

falls es zu jedem y ∈ N ein x ∈ M gibt mit f(x) = y.

Analysis

Definition Verknüpfung

X, Y, Z Mengen, f : X → Y, g : Y → Z Funktionen

Dann ist die Verknüpfung g◦f: X → Z gegeben durch g◇f(x) = g(f(x)) für x ∈ X

Analysis

Definition Umkehrfunktion oder inverse Funktion

Definition 1.14. Seien M,N Mengen und f : M →N eine Funktion. Eine Funktion g : N →
M heißt Umkehrfunktion oder inverse Funktion von f, falls
g ◦ f = idM und f ◦ g = idN
Wir schreiben oft g = f−1 für die Umkehrfunktion.

Analysis

Definition Operation

Eine Operation auf einer Menge X ist eine Funktion ◦ : X ×X → X. Statt
◦(x, y) schreibt man kurz x ◦ y.

Analysis

Definition kommutativ

Sei ◦ eine Operation auf einer Menge X.
◦ heißt kommutativ, falls für alle x, y ∈ X die Gleichheit x ◦ y = y ◦ x gilt.

Analysis

Definition assoziativ

Sei ◇ eine Verknüpfung falls für alle x, y, z ∈ X die Gleichheit (x ◦ y) ◦ z = x ◦ (y ◦ z) gilt.

Analysis

Definition neutrales Element

Sei ◦ Operation auf einer Menge X.
Ein Element e ∈ X heißt neutrales Element oder Einselement, falls für alle x ∈ X die Gleichung
x ◦ e = e ◦ x = x gilt.

Analysis

Definition inverses Element

Sei ◦ eine Operation auf einer Menge X mit neutralem Element. Dann heißt y ∈ X inverses Element zu x ∈ X, falls x ◦ y = y ◦ x = e ist. Wir schreiben oft y = x−1

Analysis

Definition Körper

Ein Körper (K, +, ·) ist eine Menge K mit zwei Operationen + (Addition)
und · (Multiplikation) mit den folgenden Eigenschaften:
(A1) Die Addition ist assoziativ, kommutativ und besitzt ein neutrales Element 0.
(A2) Zu jedem x ∈ K gibt es ein bezüglich der Addition inverses Element −x.
(M1) Die Multiplikation ist assoziativ, kommutativ und besitzt ein neutrales Element 1 = 0.
(M2) Zu jedem x ∈ K \ {0} gibt es ein bezüglich der Multiplikation inverses Element x−1.8
(D) Es gilt das Distributivgesetz, d.h. (x+ y) · z = x · z + y · z für alle x, y, z ∈ K. (Punkt- vor
Strichrechnung)

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