Geometrie at Universität Innsbruck

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Was ist ein projektiver Unterraum?

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Definition euklidischer Vektorraum

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Definition euklidischer Raum



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was ist eine euklidische Transfomration bzw. Kongurenztransformation





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Wann sind die Koordinaten kartesisch bzw. euklidisch?

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Was ist ein affiner Raum?


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Definition affines Koordinatensystem


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Definiton affiner Raum


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Definition affines Koordinatensystem


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Definition affine Abbildung


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Definition affiner unterraum

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Darstellungen affiner unterraum

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Geometrie

Was ist ein projektiver Unterraum?

Ist P(V) ein projektiver Raum über dem Vektorraum V und W
ein Untervektorraum von V, so wird der projektive Raum
P(W) als Unterraum von P(V) bezeichnet.


  • Hyperebenen sind Unterräume der Dimension d − 1.
  • Punkte sind Unterräume der Dimension 0.
  • Schreibweise P(W) = [W].
    P(W) = A0 ∨A1 ∨ · · · ∨Ak
    (P(W) wird von den Punkten A0, A1, . . . , Ak aufgespannt)

Geometrie

Definition euklidischer Vektorraum

Definition 1.6. (Zusätzlich zu afinn) Ein endlichdimensionaler Vektorraum V über den reellen Zahlen
heißt euklidisch, wenn zusätzlich eine symmetrische, bilineare und positiv definite
Abbildung
·, · : V×V → R
gegeben ist. (Die letztgenannte Eigenschaft bedeutet x, x ≥ 0 für alle x ∈ V.) Man
nennt diese Abbildung dann inneres Produkt (Skalarprodukt)
Es gilt:
• Durch das innere Produkt wird gemäß x :=
Länge („Norm“) zugewiesen.

x, x jedem Vektor eine
• Erfüllen zwei Vektoren x, y ∈ V die Bedingung x, y = 0, so nennt man die
Vektoren orthogonal, normal oder rechtwinkelig und schreibt x ⊥ y.

Geometrie


Definition euklidischer Raum



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Definition euklidischer Raum



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Definition 1.11. Ein affiner Raum über einem euklidischen Vektorraum wird selbst
euklidischer Raum genannt.
• Jeder euklidische Raum der Dimension d ist isomorph zum affinen Raum
(Rd, Rd, −). Wir bezeichnen diesen Raum daher oft nur mit Rd oder auch Ed.
• Der Abstand zweier Punkte P, Q ∈ Ed ist definiert als PQ := 
−→
PQ.

Geometrie


was ist eine euklidische Transfomration bzw. Kongurenztransformation





Definition 1.12. Eine affine Abbildung f : Ed → Ed heißt euklidische Transformation
oder Kongruenztransformationen, wenn PQ = f(P) f(Q) für beliebige Punkte P,
Q ∈ Ed gilt. Das ist genau dann der Fall, wenn die gemäß Definition 1.4 zugehörige
lineare Abbildung ϕ : Rd → Rd eine Isometrie ist.

Geometrie

Wann sind die Koordinaten kartesisch bzw. euklidisch?

Definition 1.13. Die Koordinaten eines Punktes P ∈ Ed (bezüglich der zugrunde liegenden Orthonormalbasis) heißen kartesische oder euklidische Koordinaten

Geometrie

Was ist ein affiner Raum?


Definition 1.1. Ein affiner Raum ist ein Tripel (A, V, m) bestehend aus einer Punkt-
menge A, einem Vektorraum V und einer Abbildung m: A×A → V mit folgenden
Eigenschaften:
1. Für alle Punkte P, Q, R ∈ A gilt m(P, Q) +m(Q, R) = m(P, R) (Vektoradditi-
on).
2. Für jeden Punkt P ∈ A und jeden Vektor v ∈ V gibt es einen eindeutig be-
stimmten Punkt Q ∈ A mit m(P, Q) = v (Existenz des Verbindungsvektors).
Die Dimension des affinen Raumes ist definiert als die Dimension von V.

Geometrie

Definition affines Koordinatensystem


Definition 1.2. Ein affines Koordinatensystem ist ein Paar (O, V) bestehend aus einem
Punkt O ∈ A (dem Koordinatenursprung) und einer Basis V = (v1, v2, . . . , vd) des
Vektorraums V. Der Vektor p = (p1, p2, . . . , pd) heißt affiner Koordinatenvektor des
Punktes P ∈ A bezüglich dieses Koordinatensystems, wenn p = P −O gilt.


(Darstellung implitzit: a +bx+cy = 0 und gilt auch für kartesische --> Gerade)

Geometrie

Definiton affiner Raum


Definition 1.1. Ein affiner Raum ist ein Tripel (A, V, m) bestehend aus einer Punkt-
menge A, einem Vektorraum V und einer Abbildung m: A×A → V mit folgenden
Eigenschaften:
1. Für alle Punkte P, Q, R ∈ A gilt m(P, Q) +m(Q, R) = m(P, R) (Vektoradditi-
on).
2. Für jeden Punkt P ∈ A und jeden Vektor v ∈ V gibt es einen eindeutig be-
stimmten Punkt Q ∈ A mit m(P, Q) = v (Existenz des Verbindungsvektors).
Die Dimension des affinen Raumes ist definiert als die Dimension von V.

Geometrie

Definition affines Koordinatensystem


Definition 1.2. Ein affines Koordinatensystem ist ein Paar (O, V) bestehend aus einem
Punkt O ∈ A (dem Koordinatenursprung) und einer Basis V = (v1, v2, . . . , vd) des
Vektorraums V. Der Vektor p = (p1, p2, . . . , pd) heißt affiner Koordinatenvektor des
Punktes P ∈ A bezüglich dieses Koordinatensystems, wenn p = P −O gilt.


(Darstellung implitzit: a +bx+cy = 0 und gilt auch für kartesische --> Gerade)

Geometrie

Definition affine Abbildung


Definition 1.4. Eine Abbildung f : A → B zwischen den Punktmengen zweier affi-
ner Räume (A, V, m) und (B,W, n) heißt affine Abbildung, wenn es eine lineare
Abbildung ϕ : V → W gibt, so dass
−−−−−−→
f(P) f(Q) = ϕ(
−→
PQ) für beliebige Punkte P,
Q ∈ A gilt.
Für affine Abbildungen gelten die folgenden Aussagen:
• Die affine Abbildung f ist durch ϕ und das Bild f(O) eines Punktes O ∈ A
eindeutig festgelegt.
• Bezogen auf gegebene Koordinaten in A und B gibt es eine Matrix A und
einen Vektor a, so dass die Koordinatenvektoren x und y beliebiger Punkte
X ∈ A und Y := f(X) ∈ B durch y = A · x + a verknüpft sind.
• Die affine Abbildung ist genau dann bijektiv, wenn die Matrix A invertierbar
ist.

Geometrie

Definition affiner unterraum

Definition 1.5. Ist A ∈ A ein Punkt undW ein Unterraum von V, so heißt die Menge
A+W = {A+w | w ∈ W} affiner Unterraum.

Geometrie

Darstellungen affiner unterraum

istt W = (w1, w2, . . . , wk) eine Basis von W, so nennt man die Abbildung
(u1, u2, . . . , uk) ∈ Rk
k
→ A+ ∑ uiwi ∈ W
i=1
eine Parameterdarstellung des Unterraums. Die Menge der Punkte in W erhält man
auch als Lösungsmenge eines geeigneten Systems
d
∑ aijxi = ai,
i=1
j = 1, 2, . . . , d − k
von d − k unabhängigen linearen Gleichungen in n unbekannten affinen Koordina-
ten x1, x2, . . . , xn.

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