Stochi | 1 • 2 • 3 at Universität Hamburg

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Exemplary flashcards for Stochi | 1 • 2 • 3 at the Universität Hamburg on StudySmarter:

Wie wurde in Satz 3.5 die Verteilung eingeführt?

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Wie wird in 3.2 eine Zufallsgröße/variable definiert?

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Was besagt das Beispiel von Vitali?

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Was besagt der Satz 1.20 über Eindeutigkeit von W'maßen auf Schnitt-stabilen Erzeugern?

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Was besagt das Lemma 1.19 von Borel-Cantelli 1. Teil?

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Was gilt mit Maßen für eine Folge von Ereignissen?

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Wie lautet die Siebformel?

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Was sind Eigenschaften von W'maßen? (i) - (iii)

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Was ist das vereinfachte Kriterium für W'maße

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Wie wird in 1.13 ein W'Maß definiert?

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Wie ist in 1.11 die Produkt - σ - Algebra definiert?

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Was bedeutet {X ∈ C}

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Exemplary flashcards for Stochi | 1 • 2 • 3 at the Universität Hamburg on StudySmarter:

Stochi | 1 • 2 • 3

Wie wurde in Satz 3.5 die Verteilung eingeführt?
Sei (Ω, 𝒜, P) ein W’raum und (Ω’,𝒜’) ein mess’ Raum,
X : Ω → Ω’ ZV Dann ist

P^X : 𝒜’ → [0,1], B auf P(X−1(B))
ein W’maß auf (Ω’,𝒜’)

Stochi | 1 • 2 • 3

Wie wird in 3.2 eine Zufallsgröße/variable definiert?
Seien (Ω, A) und (Ω’, A’) messbare Räume. X : Ω → Ω’ heißt ZV falls
X−1(B) ∈ 𝒜 für alle B ∈ 𝒜’

Im Fall (Ω’, A’) = (IR, Borel ) ^ZG

Stochi | 1 • 2 • 3

Was besagt das Beispiel von Vitali?
Sei Ω = {0,1}^IN und 𝒜 = Pot(Ω). Dann gibt es kein W’maß P auf (Ω, 𝒜) mit der folgenden Invarianz-Eigenschaft:

Für alle A ⊆ Ω und n ≥ 1 gilt P(T_n*A) = P(A), wobei

T_n : Ω → Ω : (ω1, ω2, …) = (ω1, ω2, …, ωn−1, 1 − ωn, ωn+1, …)).

Beispiel, das die Verwendung der Potenzmenge als σ-Algebra im Fall des unendlichen Münzwurfs ausschließt.
(Die Münze ist fair in dem Sinne, dass das Vertauschen der Rollen von Adler und Zahl beim n-ten Wurf nichts an der Wahrscheinlichkeit ändert).

Stochi | 1 • 2 • 3

Was besagt der Satz 1.20 über Eindeutigkeit von W'maßen auf Schnitt-stabilen Erzeugern?
Sei ℰ ⊆ Pot(Ω) ∩-stabil (d.h. A∩B ∈ ℰ für alle A,B ∈ ℰ ) und
𝒜 = σ(ℰ ). Gilt für zwei W’maße P_1 und P_2 auf (Ω, 𝒜), dass

P_1(A) = P_2(A) für alle A ∈ ℰ

,so folgt schon P_1 = P_2.

Stochi | 1 • 2 • 3

Was besagt das Lemma 1.19 von Borel-Cantelli 1. Teil?
Sei (Ω, 𝒜, P) ein W’raum und A1, A2, … ∈ 𝒜 eine Folge von Ereignissen. Dann gilt:

Σ_n∈IN P(A_n) < unendlich impliziert P(lim sup A_n) = 0.

Stochi | 1 • 2 • 3

Was gilt mit Maßen für eine Folge von Ereignissen?
(σ-Stetigkeit von unten)
(σ-Stetigkeit von oben)
(σ-Subadditivität).

Stochi | 1 • 2 • 3

Wie lautet die Siebformel?
1.18 (iv)

P ( Vereinigung von Ereignissen) = eine Summe von (-1)^x Summe von P ( Schnitte von versch. Ereignissen)

Stochi | 1 • 2 • 3

Was sind Eigenschaften von W'maßen? (i) - (iii)
Sei (Ω, A, P) ein W’raum.
Dann gilt für alle A,B ∈ 𝒜

(i) P(A^c) = 1 −P(A).
(ii) Falls B ⊆ A, so P(A) = P(B) +P(A ∩ B^c).
Insbesondere gilt in diesem Fall P(A) ≥ P(B).
(iii) P(A ∪ B) = P(A) +P(B) − P(A ∩ B) ≤ P(A) +P(B).

Stochi | 1 • 2 • 3

Was ist das vereinfachte Kriterium für W'maße
Sei (Ω,𝒜) ein Ereignisraum und P : 𝒜 → [0,unendlich] σ-additiv und es gelte P(Ω) = 1. Dann folgt schon P(∅) = 0, sodass P ein W’maß ist.

Stochi | 1 • 2 • 3

Wie wird in 1.13 ein W'Maß definiert?
Sei (Ω, A) ein Ereignisraum.

(i) Eine Abbildung µ : A → [0,unendlich] heißt Maß, falls
µ(∅) = 0

und (σ-Additivität)

∀(A_n)_n∈N ∈ 𝒜^IN paarweise disjunkt: µ(U_n∈N A_n) = Σ_n=1;unendlich µ( A_n)

(ii) Ein Maß P : 𝒜 → [0, 1] heißt W’maß, wenn P(Ω) = 1

Stochi | 1 • 2 • 3

Wie ist in 1.11 die Produkt - σ - Algebra definiert?
Seien (Ω_i, 𝒜_i), i ∈ I, messbare Räume und Ω = Produkt über i∈I
Ai und ferner A_i = Ω_i für alle bis auf endlich viele i. Dann heißt

Kreuzprodukt 𝒜_i := σ({Z : Z ist Zylindermenge})

die Produkt-σ-Algebra auf Ω

Stochi | 1 • 2 • 3

Was bedeutet {X ∈ C}
X^−1(C)

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