Ana - 3 Reihen at Universität Hamburg

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Reihe

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Konvergente Reihe

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Partialsumme
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Wert einer Reihe

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Partialsummenfolge

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Geometrische Reihe

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Notwendige Bedingung für Konvergenz einer Reihe
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Ana - 3 Reihen

Reihe
Paar von Folgen {Sn} {aj} heißt Reihe, wenn Sn = Summe j=1 bis n von aj
Das entspricht der Summe über aj von j=1 bis unendlich

Ana - 3 Reihen

Konvergente Reihe
Eine Reihe konvergiert, wenn ein Grenzwert für Sn gegen unendlich existiert

Ana - 3 Reihen

Partialsumme
Sn 

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Wert einer Reihe
Grenzwert gegen unendlich der Partialsumme

Ana - 3 Reihen

Partialsummenfolge
{Sn} 

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Geometrische Reihe
I x I < 0
Summe über x^K von k=0 bis unendlich
Wert der Reihe 1/1-x
Partialsummenfolge Sn * (1-x) = 1 -x^n+1

Ana - 3 Reihen

Notwendige Bedingung für Konvergenz einer Reihe
Die zugrunde liegende Reihe muss eine Null Folge bilden (Glieder werden immer kleiner) 

Ana - 3 Reihen

Reihe mit positiven Gliedern
Hat eine Reihe ausschließlich positive Glieder, dann ist die Partialsummenfolge Monoton steigend und dann konvergent, wenn sie beschränkt ist

Ana - 3 Reihen

Harmonische Reihe
Summe von k=1 bis unendlich über 1/k
Divergent

Ana - 3 Reihen

Alternierende Reihe
Eine Reihe aj heißt alternierende, wenn für alle Glieder gilt: aj *aj+1 <0

Ana - 3 Reihen

Charakterisierung der alternierende Reihe
Wenn eine Folge B positiver reeller Zahlen existiert mit ak = sgn(a1) (-1)^(k+1)bk

Ana - 3 Reihen

Leibnitz-Kriterium
Sei ak eine alternierende Reihe, b Monoton und der Grenzwert von ak=0, so ist die Reihe konvergent

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