Ana 2 Reelle und komplexe Zahlen at Universität Hamburg

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Körper

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Eindeutige Lösbarkeit von Gleichungen

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Arithmetik in Körpern
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Charakteristik eines Körpers

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Angeordnete Körper

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Ungleichungen

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Vergleichbarkeit
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Vollständige Ordnung

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Ordnung und Arithmetik

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Maximum

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Ana 2 Reelle und komplexe Zahlen

Körper
Menge mit zwei Verknüpfungen
Es gilt für beide Verknüpfungenb
  • Assoziativgesetz
  • Inverses
  • Neutrales Element
  • Kommutativgesetz
Distributivgesetz

Ana 2 Reelle und komplexe Zahlen

Eindeutige Lösbarkeit von Gleichungen
In einem Körper sind a+x=b und a*x=b eindeutig lösbar

Ana 2 Reelle und komplexe Zahlen

Arithmetik in Körpern
  • 0*x=0
  • (x+y)*z = x*z + y*z
  • x*y=0 dann ist entweder x=0 oder y=0
  • x*(-1)=-x
  • (-x)*(-y)=x*y
  • (x^-1)^-1=x
  • (xy)^-1=x^-1*y^-1

Ana 2 Reelle und komplexe Zahlen

Charakteristik eines Körpers
Kleinste natürliche Zahl für die gilt 1+...+1 (n mal) = 0

Ana 2 Reelle und komplexe Zahlen

Angeordnete Körper
  • (O1) K = P(positiv) u {0} u {x E K I -x E P} 
  • (O2) P n ({0} u {x E K I -x E P}) = { } 
  • x, y E P -> x+y E P
  • x, y E P -> x*y E P

Ana 2 Reelle und komplexe Zahlen

Ungleichungen
x < y Wenn y-x E P
x > Y wenn x-y E P
Größer/ kleiner gleich => Vereinigung von P und der Null

Ana 2 Reelle und komplexe Zahlen

Vergleichbarkeit
In einem angeordneten Körper gilt für zwei Elemente eine der drei Aussagen
X<y
X>y
X=y

Ana 2 Reelle und komplexe Zahlen

Vollständige Ordnung
Ist <= eine Ordnungsrelation auf einer Menge, so heißt die Ordnung vollständig falls für je zwei Elemente gilt x<=y oder y<=x

Ana 2 Reelle und komplexe Zahlen

Ordnung und Arithmetik
X<y
  • x+a < y+a
  • Für a>0 sonst andersrum a*x < a*y
  • x^2 > 0
  • X>0 Wenn x^-1>0
  • 0<x<y - > 0<y^-1<x^-1

Ana 2 Reelle und komplexe Zahlen

Maximum
Das größte Element einer Menge

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Minimum
Das kleinste Element einer Menge

Ana 2 Reelle und komplexe Zahlen

Betrag
Maximum aus (x, -x) 

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