Quantitative Methoden II at Universität Göttingen

Ein statistisches Modell ist die formale Beschreibung der Verteilung einer Kriteriumsvariblen in Abhängigkeit von Prädiktorvariablen.

 Andres gesagt: Ein statistisches Modell erlaubt es die Verteilung einer Kriteriumsvariablen und ihren Zusammenhang zu Prädiktorvariablen zu beschreiben.

Wir nutzen ein statistisches Modell um 

1) Daten vereinfachend zu beschreiben (zu modellieren)

 2) statistische Hypothesen zu testen und 3) Vorhersagen zu machen.

Das Allgemeine lineare Modell. Der t-Test ist aber robust, d.h. auch wenn diese An-
nahme falsch ist, liefert der t-Test bei gleichen Stichprobenumfängen in den Gruppen
das richtige Ergebnis.

- Die Kriteriumsvariable ist kontinuierlich und für alle Kombinationen der Ausprägun-
gen der Prädiktoren normalverteilt.

- Die Kriteriumsvariable ist eine linear additive Funktion der Prädiktorvariablen und ei-
nes unsystematischen Fehlers.

- Der Fehler ist zufällig (unsystematisch) und unabhängig von den Prädiktoren. D.h. der Fehler hat einen Mittelwert von 0 und eine Streuung sigma_e. Außerdem korreliert der Fehler nicht mit den Prädiktorvariablen (=unabhängig).

Dass es keine Korrelation von den Werten des Fehlers und der Ausprägung der ver- schiedenen Prädiktorvariablen gibt.

Nein, das heißt es nicht. Es können auch nicht-lineare Zusammenhänge mit linearen Modellen beschrieben werden. Die einfachste Form eines linearen Modells für einen nicht-linearen quadratischen Zusammenhang ist E(Y|X) = β0 + β1X + β2X2. Durch soge- nannte Polynome können auch sehr komplexe Zusammenhänge mittels linearer Modelle erfasst werden. Darum helfen uns lineare Modelle in extrem vielen Fällen weiter.

Erfasst gesamte Varianz (quadrierte und aufsummierte Abstände der Messwerte zum Mittelwert/Nullmodell). 

Hier: QST = QSM + QR, gilt aber nicht für die gechätzten Quadratsummen (Mean Squares/MS), weil die durch unterschiedliche df geteilt werden

Abstand zwischen Modell und Nullmodell; Die Varianz, die wir mit unseren Daten erklären können.

Abweichung der geschätzten (Modell-) Werte von den gemessenen Werten

• = Quadratsummen /  N (z.B. Varianz der Residuden = QS_res / N)
• addieren sich, weil N gleich bleibt

• = Quadratssumme / Freiheitsgrade 
• addieren sich nicht, weil die Freheitsgerade jeweils unterschiedlich berechnet werden (teilweise mit k = Anzahl an Prädiktoren) 

• R^2= QSModell/QSTotal
• Wieviel Varianz der Gesamtvarianz wir erklären können, bzw. das Verhältnis zwischen der Varianz die wir erklären können und der Gesamtvarianz.