Numerik at Universität Freiburg im Breisgau

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3 Axiome der Norm

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Für eine reguläre Matrix A in R^n*n sind folgende zwei Aussagen äquivalent

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Sei A symmetrisch und positiv definit

Dann gilt...

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Sei A in R^n*n Matrix

EW von A*A^T ist immer

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Spektralradius(p(A*A^T)) einer quadratischen Matrix ist niemals

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Wann ist das Gauß-Verfahren genau dann durchführbar?

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Die Konditionszahl von A^T * A ist im Allgemeinen...

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Def. QR-Zerlegung

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Unterschied zwischen Jacobi-Verfahren und Gauß–Seidel-Verfahren

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Ist A strikt diagonaldominant, so gilt...


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Lassen sich mit dem Satz von Rolle auch Nullstelle der Ableitung in den Randpunkten a, b des Intervall I charakterisieren?

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Geben Sie jeweils eine Funktion an, die die Voraussetzungen des Satzes von Rolle auf dem Intervall I = [0, 1] erfüllt und deren Ableitung f' auf dem offenen Intervall (a, b)

i) genau eine Nullstelle hat

ii) genau zwei Nullstellen hat

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Exemplary flashcards for Numerik at the Universität Freiburg im Breisgau on StudySmarter:

Numerik

3 Axiome der Norm

1. Definitheit ||v|| = 0 => v = 0

2. Dreiecksungleichung ||A*B|| <= ||A||*||B||

3. Homogenität ||a*A|| <= |a|*||A||

Numerik

Für eine reguläre Matrix A in R^n*n sind folgende zwei Aussagen äquivalent

1. Es ex. eine eindeutig bestimmte normalisierte LU-Zerlegung von A

2. Alle Untermatrizen von A sind regulär

Numerik

Sei A symmetrisch und positiv definit

Dann gilt...

det(A) > 0 und alle Untermatrizen von A sind positiv definit

Numerik

Sei A in R^n*n Matrix

EW von A*A^T ist immer

negativ (< 0)

Numerik

Spektralradius(p(A*A^T)) einer quadratischen Matrix ist niemals

größer als ihre Matrixnorm

d.h. p(A*A^T) <= ||A*A^T||

Numerik

Wann ist das Gauß-Verfahren genau dann durchführbar?

Matrix A 

1. ist regulär

2. besitzt LU-Zerlegung

Numerik

Die Konditionszahl von A^T * A ist im Allgemeinen...

größer als die von A

cond(A^T * A) >= cond(A)

Numerik

Def. QR-Zerlegung

Sei A∈R^{m*n} mit m ≧ n und rank(A) = n

Dann ex. Q∈O(m) (d.h. Q^TQ = En) und eine verallgemeinerte obere Dreiecksmatrix R∈R^{m*n}

Numerik

Unterschied zwischen Jacobi-Verfahren und Gauß–Seidel-Verfahren

1. Im Jacobi-Verfahren ist in jedem Iterationsschritt ein LGS mit Diagonalmatrix und beim Gauß–Seidel-Verfahren mit unterer Dreiecksmatrix zu lösen

2. Gauß–Seidel-Verfahren hat 

bessere Konvergenzeigenschaften

als das Jacobi-Verfahren, da die Matrix L + D in der Regel eine bessere

Approximation von A ist als die Matrix D

Numerik

Ist A strikt diagonaldominant, so gilt...


1. Diagonalelemente von A sind nicht 0 

2. D ist regulaer (A = D + L + U)

3. p(M^j) < 1 beim Jacobi-Verfahren 

4. p(M^gs) <= p(M^j)  beim Jacobi- und Gauss-Seidel-Verfahren  

Numerik

Lassen sich mit dem Satz von Rolle auch Nullstelle der Ableitung in den Randpunkten a, b des Intervall I charakterisieren?

Nein, über Extremstellen auf Randpunkten lassen sich in der Regel keine Aussagen über die Ableitung schließen. 

Außerdem ist f nicht zwingenderweise in den Randpunkten differenzierbar.

Numerik

Geben Sie jeweils eine Funktion an, die die Voraussetzungen des Satzes von Rolle auf dem Intervall I = [0, 1] erfüllt und deren Ableitung f' auf dem offenen Intervall (a, b)

i) genau eine Nullstelle hat

ii) genau zwei Nullstellen hat

i)  f(x) = (x - 1/2)^2

ii) f(x) = sin(2xπ)

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