lineare Algebra at Universität Freiburg im Breisgau

Flashcards and summaries for lineare Algebra at the Universität Freiburg im Breisgau

Arrow Arrow

It’s completely free

studysmarter schule studium
d

4.5 /5

studysmarter schule studium
d

4.8 /5

studysmarter schule studium
d

4.5 /5

studysmarter schule studium
d

4.8 /5

Study with flashcards and summaries for the course lineare Algebra at the Universität Freiburg im Breisgau

Exemplary flashcards for lineare Algebra at the Universität Freiburg im Breisgau on StudySmarter:

Diagonalisierbarkeit

Exemplary flashcards for lineare Algebra at the Universität Freiburg im Breisgau on StudySmarter:

Was ist ein Signum?

Exemplary flashcards for lineare Algebra at the Universität Freiburg im Breisgau on StudySmarter:

Voraussetzungen, damit man eine Matrix diagonaliseren kann.

Exemplary flashcards for lineare Algebra at the Universität Freiburg im Breisgau on StudySmarter:

äquivalente Matrix

Exemplary flashcards for lineare Algebra at the Universität Freiburg im Breisgau on StudySmarter:

ähnliche Matrix

Exemplary flashcards for lineare Algebra at the Universität Freiburg im Breisgau on StudySmarter:

Was sind die Eigenschaften des charkateristischen Polynoms?

Exemplary flashcards for lineare Algebra at the Universität Freiburg im Breisgau on StudySmarter:

Hinreichende Bedingung

Exemplary flashcards for lineare Algebra at the Universität Freiburg im Breisgau on StudySmarter:

Notwendige Bedingung

Exemplary flashcards for lineare Algebra at the Universität Freiburg im Breisgau on StudySmarter:

Nennen Sie notwendige und hinreichende Bedingungen für Diagonalisierbarkeit.
Begründen Sie.

Exemplary flashcards for lineare Algebra at the Universität Freiburg im Breisgau on StudySmarter:

Trigonalisierbar

Exemplary flashcards for lineare Algebra at the Universität Freiburg im Breisgau on StudySmarter:

Was ist der Rang einer Matrix?

Exemplary flashcards for lineare Algebra at the Universität Freiburg im Breisgau on StudySmarter:

Was ist eine reguläre Matrix?

Your peers in the course lineare Algebra at the Universität Freiburg im Breisgau create and share summaries, flashcards, study plans and other learning materials with the intelligent StudySmarter learning app.

Get started now!

Flashcard Flashcard

Exemplary flashcards for lineare Algebra at the Universität Freiburg im Breisgau on StudySmarter:

lineare Algebra

Diagonalisierbarkeit
  • Ein Endomorphismus f von V nach V, über einem endlichdim. VR, V heißt diagonalisierbar, falls eine Basis B von V existiert, bezüglich der die Abbildungsmatrix M(f) eine Diagonalmatrix ist.

lineare Algebra

Was ist ein Signum?
  • Das Signum ist als Abbildung ein Gruppenhomomorphismus von der symmetrischen Gruppe der Permutationen in die multiplikative Gruppe über der Menge (1,-1).
  • Eine Permutation ist gerade gdw. wenn die Anzahl der  Fehlstände einer Permutation gerade ist.

lineare Algebra

Voraussetzungen, damit man eine Matrix diagonaliseren kann.
Es müssen bestimmte Voraussetzungen erfüllt sein, damit man eine Matrix diagonalisieren kann.
  1. Das charakteristische Polynom zerfällt vollständig in Linearfaktoren
  2. Die geometrischen und algebraischen Vielfachheiten der Eigenwerte stimmen überein
Zu 1.) Besitzt das charakteristische Polynom einer n×n
-Matrix weniger als n
 Nullstellen, so ist die Matrix nicht diagonalisierbar. (weil dann die Matrix weniger als n Eigenwerte hat und damit keine Basis bilden kann, mit Hilfe derer man dann die Diagonalmatrix aufspannen kann)
Zu 2.) Die geometrische Vielfachheit eines Eigenwertes entspricht der Dimension des zugehörigen Eigenraums. Die algebraische Vielfachheit eines Eigenwertes entspricht der Vielfachheit der Nullstelle im charakteristischen Polynom. Letztlich ist also zu überprüfen, ob die Dimension der einzelnen Eigenräume jeweils mit der Vielfachheit der entsprechenden Nullstelle (= Eigenwert) im charakteristischen Polynom übereinstimmt

lineare Algebra

äquivalente Matrix
  • Zwei Matrizen sind äquivalent genau dann wenn sie bezüglich verschiedener Basen die gleiche lineare Abbildung beschreiben.
  • sind A und B mxn-Matrizen, dann sind sie äquivalent, wenn es eine invertierbare mxm-Matrix S gibt und eine invertierbare nxn-Matrix T s.d. B=SAT^-1

lineare Algebra

ähnliche Matrix
  • zwei quadratische Matrizen heißen ähnlich genau denn, wenn sie bezüglich zweier verschiedener Basen dieselben Endomorphismen beschreiben (lineare Selbstabbildung unter Verwendung unterschiedlicher Basen)
  • zwei nxn-Matrizen A,B sind ähnlich, wenn es eine invertierbare nxn-Matrix gibt, so dass A=SBS^-1
  • zwei ähnliche nxn-Matrizen haben dasselbe charakteristische Polynom, denn es gilt die kommutativität der Einheitsmatrix, Determinantenmultiplikationssatz und der Inverse der Determinante.Beweis
  • Daher haben zueinander ähnliche Matrizen
    • die gleichen Eigenwerte (aber nicht notwendigerweise die gleichen Eigenvektoren),
    • die gleiche Determinante und
    • die gleiche Spur.
  • Außerdem haben zueinander ähnliche Matrizen
    • den gleichen Rang,
    • das gleiche Minimalpolynom und
    • die gleiche jordansche Normalform.

lineare Algebra

Was sind die Eigenschaften des charkateristischen Polynoms?
  • Es ist von der Wahl der Basen unabhängig.

lineare Algebra

Hinreichende Bedingung
Eine hinreichende Bedingung sorgt zwangsläufig (oder zumindest ceteris paribus) für das Eintreten des bedingten Ereignisses. Wenn die Bedingung nicht zugleich notwendig ist, dann gibt es andere hinreichende Bedingungen, die ebenfalls zum Eintreten des Ereignisses führen. Die hinreichende, nicht notwendige Bedingung ist also ersetzbar bzw. umgehbar (multiple Erfüllbarkeit).

lineare Algebra

Notwendige Bedingung
Eine notwendige Bedingung B für eine Aussage K ist eine Aussage, die zwingend erfüllt ist. Es kommt also nicht vor, dass K erfüllt ist, ohne dass B erfüllt ist.
Eine notwendige Bedingung ist also unersetzlich für das Eintreten eines Ereignisses. WEnn sie aber nicht zugleich hinreichend ist, genügt sie allein nicht, damit das Ereignis eintritt. (dh ohne sie geht es nicht, für das Eintreten von K ist aber eventuell noch etwas anderes nötig).

lineare Algebra

Nennen Sie notwendige und hinreichende Bedingungen für Diagonalisierbarkeit.
Begründen Sie.
  • --> eine n-dimensionale diagonalisierbare Matrix muss n linear unabhängige Eigenvektoren haben --> weil n=dimV -->Der Raum besitzt also eine Basis aus Eigenvektoren. NOTWENDIGE + HINREICHENDE  BEDINGUNG (denn aus n gefundenen linear unabhängigen Vektoren lassen sich geeignete D und S einfach konstruieren).
  • Begründung:
    • Hat man S und (Diagonalmatrix=D) D gefunden, so gilt, dass die Diagonaleinträge von D, nämlich λi , die Eigenwerte von D zu gewissen Einheitsvektoren ei sind. 
    • Dann ist ASei =SD ei=S λi ei= λi S ei
    • Die S ei  sind also Eigenvekoren von A, und zwar jeweils zum Eigenwert λi.
  • Eine NOTWENDIGE, aber nicht hinreichende Bedingung ist, dass das charakteristische Polynom vollständig in Linearfaktoren zerfällt: Siehe Beispiel nicht diagonalisierbar/diagonalisierbar.

lineare Algebra

Trigonalisierbar
  • Trigonalisierbar: Die Trigonalisierung bezeichnet eine Ähnlichkeitsabbildung einer quadratischen Matrix auf eine obere Dreiecksmatrix. 
    1. Man bezeichnet deshalb Matrizen, die zu einer oberen Dreiecksmatrix ähnlich sind, als trigonalisierbare Matrizen. 
    2. Ein Vektorraum-Endomorphismus bezeichnet man als trigonalisierbaren Endomorphismus, wenn es unter seinen Darstellungsmatrizen eine obere Dreiecksmatrix gibt

lineare Algebra

Was ist der Rang einer Matrix?
  •  Für eine Matrix A definiert man den Zeilenraum Z R ( A ) als die lineare Hülle der Zeilenvektoren aus A. Die Dimension des Zeilenraums bezeichnet man als Zeilenrang, sie entspricht der Maximalzahl linear unabhängiger Zeilenvektoren. Analog definiert man den Spaltenraum SR(A) und den Spaltenrang durch die Spaltenvektoren. Man kann für Matrizen mit Einträgen aus einem Körper zeigen, dass der Zeilen- und Spaltenrang jeder Matrix gleich ist, und spricht deshalb vom (wohldefinierten) Rang der Matrix. Dies gilt für Matrizen über Ringen im Allgemeinen nicht.
  • Der Rang eines Systems aus endlich vielen Vektoren entspricht der Dimension seiner linearen Hülle.
  • Bei einer linearen Abbildung f ist der Rang als Dimension des Bildes B i l d ( f ) dieser Abbildung definiert:    r a n g ( f ) = dim ( B i l d ( f ) ) . 
  • Eine lineare Abbildung und die zugehörige Abbildungsmatrix besitzen den gleichen Rang.

lineare Algebra

Was ist eine reguläre Matrix?
  • Eine reguläre Matrix ist eine Matrix, die invertierbar ist. Also eine Iverse Matrix besitzt.
  • Def.: eine nxn-Matrix A über dem Körper K ist invertierbar, wenn es eine nxn-Matrix B über dem gleichen Körper gibt, sd. Gilt: A*B=En=B*A (wobei En die Einheitsmatrix ist). (dh. Wenn sowohl AB als auch BA Einheitsmatrix sind, dann ist A invertierbar und B die Inverse zu A)
  • Die Matrix B ist eindeutig bestimmt und heißt inverse zu A.

Sign up for free to see all flashcards and summaries for lineare Algebra at the Universität Freiburg im Breisgau

Singup Image Singup Image
Wave

Other courses from your degree program

For your degree program lineare Algebra at the Universität Freiburg im Breisgau there are already many courses on StudySmarter, waiting for you to join them. Get access to flashcards, summaries, and much more.

Back to Universität Freiburg im Breisgau overview page

What is StudySmarter?

What is StudySmarter?

StudySmarter is an intelligent learning tool for students. With StudySmarter you can easily and efficiently create flashcards, summaries, mind maps, study plans and more. Create your own flashcards e.g. for lineare Algebra at the Universität Freiburg im Breisgau or access thousands of learning materials created by your fellow students. Whether at your own university or at other universities. Hundreds of thousands of students use StudySmarter to efficiently prepare for their exams. Available on the Web, Android & iOS. It’s completely free.

Awards

Best EdTech Startup in Europe

Awards
Awards

EUROPEAN YOUTH AWARD IN SMART LEARNING

Awards
Awards

BEST EDTECH STARTUP IN GERMANY

Awards
Awards

Best EdTech Startup in Europe

Awards
Awards

EUROPEAN YOUTH AWARD IN SMART LEARNING

Awards
Awards

BEST EDTECH STARTUP IN GERMANY

Awards