(6) Didaktik der Geometrie: Begriffsbildung at Universität Frankfurt am Main

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Entwicklung mentaler Modelle

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Phänomene als Ausgangspunkte

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Wahrnehmen
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Wahrnehmen (2)

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Minimalität vs. Anschaulichkeit von Definitionen

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Das Definieren geometrischer Begriffe (2)

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Das Definieren geometrischer Begriffe (3)
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Bestandteile von Begriffsverständnis 

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Typen geometrischer Begriffe

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Unterscheidung der Begriffe für das Lernen von Geometrie

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Prozess der Begriffsbildung

Mentale Modelle
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(6) Didaktik der Geometrie: Begriffsbildung

Entwicklung mentaler Modelle
Interne Repräsentationen mathematischer Begriffe, die sich durch Äußerungen und Handlungen zeigen.

- Viereck
- Prisma
- Pyramide 

(6) Didaktik der Geometrie: Begriffsbildung

Phänomene als Ausgangspunkte
- Prinzip des historisch genetischen Prinzips,
- Phänomenologie der mathematischen Begriffe (Freudenthal, 1983)

- Faltkante
- Türen, geknickte Stäbe
- Verpackungen
- Spiegelungen

(6) Didaktik der Geometrie: Begriffsbildung

Wahrnehmen
Durch Betrachten entwickeln Schüler ganzheitliche Vorstellungen von Figuren und Körpern, d.h. Nicht von speziellen Eigenschaften.

Wichtig:
- Figuren an ihrer Form unabhängig von der Lage erkennen
- Seiten-, Winkel- oder Symmetrieeigenschaften erkennen

Parallelogramme in der Umwelt: hauptsächlich Rauten, Rechtecke und Quadrate
-> müssen bewusst in ein Begriffsnetz eingeordnet werden 

(6) Didaktik der Geometrie: Begriffsbildung

Wahrnehmen (2)
- Vielfach dominieren bei den Begriffsvorstellungen die Unterschiede zwischen Figuren (etwa Quadrat und Rechteck) gegenüber der Gemeinsamkeiten.

- Dies kann insbesondere bei den Vierecken zu einer partitionalen Klassizifierung führen: innerhalb einer Klasse von Vierecken erscheinen die verschiedenen Unterklassen als zueinander disjunkt.
     - z.B.: Rechteck wird nicht als Parallelogramm und ein Quadrat nicht als Recheck erkannt

- Besonders wichtig daher: Haus der Vierecke 

(6) Didaktik der Geometrie: Begriffsbildung

Minimalität vs. Anschaulichkeit von Definitionen
„Ein Rechteck ist ein Viereck mit vier rechten Winkeln.“

Es würde auch reichen:
„Ein Rechteck ist ein Viereck mit drei rechten Winkeln.“

(6) Didaktik der Geometrie: Begriffsbildung

Das Definieren geometrischer Begriffe (2)
Definitionen bestehen aus Oberbegriffen und artbestimmenden Merkmalen (oder Angaben zur Entstehung von Objekten, die durch einen Begriff bezeichnet werden).

Verschiedene Definitionen aufgrund verschiedener Oberbegriffe
- Ein Rechteck ist ein Parallelogramm mit einem rechten Winkel.

Verschiedene Definitionen aufgrund der Wahl anderer artbestimmender Merkmale
- Ein Rechteck ist ein Viereck, bei dem gegenüberliegende Seiten gleich lang sind und das einen rechten Winkel hat.
- Ein Rechteck ist ein Parallelogramm, bei dem die Seiten senkrecht aufeinander stehen.
- Ein Rechteck ist ein Parallelogramm mit gleich langen Diagonalen. 

(6) Didaktik der Geometrie: Begriffsbildung

Das Definieren geometrischer Begriffe (3)
Logische Aspekte von Definitionen 
- undefinierte Grundbegriffe, abgeleitete Begriffe
- (normative) Definitonen (Ein Parallelogramm ist...)

Definitionen im Geometrieunterricht
- Definitionen sollen nicht am Anfang des Lehrgangs stehen. 

Genetische und charakteristische Definitionen
- Die Definition beschreibt, wie ein Begriff entsteht (ein Parallelogramm entsteht z.B. Durch das übereinanderlegen von zwei Papierstreifen)

Bsp. Finden Sie eine normative und eine genetische Definition für den Begriff Kreis 

(6) Didaktik der Geometrie: Begriffsbildung

Bestandteile von Begriffsverständnis 
Zum Verstehen eines Begriffes gehört weit mehr als die Kenntnis einer Definition.

- Vorstellungen über Merkmale oder Eigenschaften eines Begriffs und deren Beziehungen untereinander -> Vorstellungen über den Begriffsinhalt 
- Überblick über die Objekte, die unter einem Begriff zusammengefasst werden -> Vorstellungen über den Begriffsumfang
- Beziehungen eines Begriffs zu anderen Begriffen -> Vorstellungen über Begriffsnetze

(6) Didaktik der Geometrie: Begriffsbildung

Typen geometrischer Begriffe
Oberbegriffe
- Geraden, Strecke, Winkel, Vieleck, Kreis...

Relationsbegriffe
- Liegt auf, parallel, senkrecht, kongruent, tangential...

Oberbegriffe, die durch Relationen zu anderen Objekten bestimmt sind
- Schnittpunkt, Schnittgerade, Mittelsenkrechte, Umkreis, Winkelhalbierende, Thaleskreis,...

Abbildungsbegriffe
- Achsenspiegelung, Verschiebung, Rotation,...

Maßbegriffe
- Länge, Winkelgröße, Flächeninhalt,...

(6) Didaktik der Geometrie: Begriffsbildung

Unterscheidung der Begriffe für das Lernen von Geometrie
Standardbegriffe (kurzfristig) 
Mittelsenkrechte, Höhe, Tangente, Sekante,...

Schlüsselbegriffe (mittelfristig)
Dreieck, Kreis, kongruent, ähnlich,...

Leitbegriffe (langfristig)
Figur, Abbildung, Flächeninhalt,...

(6) Didaktik der Geometrie: Begriffsbildung

Prozess der Begriffsbildung

Mentale Modelle
- Interne Repräsentationen mathematischer Begriffe, die sich durch Äußerungen und Handlungen zeigen

Begriffsbildung im Sinne der Konstruktion mentaler Modelle ist:

1. Abstraktionsprozess:
An realen Gegenständen werden Eigenschaften ignoriert, um Vorstellungen über das geometrische Objekt aufzubauen. 
Z.B.: bei Begriffen von Körpern: Beschriftungen auf Verpackungen, Nahtstellen bei Dosen, Augenzahlen bei Spielwürfeln

2. Idealisierungsprozess:
Eigenschaften werden in ein reales Objekt hineingesehen, die so in der Realität nicht vorhanden sind. 
Z.B.: Vorstellungen über den Begriff „Gerade“ werden aus mit einem Lineal gezogenen Linien, Faltlinien, Zimmerkanten, ... entwickelt, indem von Dicke und räumlicher Begrenztheit abgesehen wird und Eigenschaften wie unbegrenzte Länge hineingesehen werden. 

(6) Didaktik der Geometrie: Begriffsbildung

Phänomene als Ausgangspunkt 
- Prinzip des historisch genetischen Prinzips,

- Phänomenologie des mathematisChen Begriffe

   - Faltkante
   - Türen, geknickte Stäbe
   - Verpackungen
   - Spiegelungen  

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