Logik at Universität Düsseldorf
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Definition Instanz eines Schemas
Etwas ist eine Instanz eines Schemas genau dann, wenn es durch regelkonformes Ersetzen der schematischen Ausdrücke aus dem Schema gewonnen werden kann, wobei gleiche schematische Ausdrücke durch Gleiches ersetzt werden.
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Junktoren AL
^ und Konjunktionszeichen
v oder Disjunktionszeichen
- Negationszeichen
-> wenn, dann Implikationszeichen
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Wahrheitsfunktional Definition
Ein Ausdruck ist wahrheitsfunktional genau dann, wenn der Ausdruck Sätze zu neuen Sätzen derart miteinander verknüpft, dass der Wahrheitswert des verknüpften Satzes diesem allein aufgrund der Art der Verknüpfung und der Wahrheitswerte der verknüpften Teilsätze zukommt.
Alle Junktoren sind wahrheitsfunktional
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Definition Kontradiktion
Eine Aussage ist eine Kontradiktion genau dann, wenn für jede Wahrheitswertbelegung der Teilaussagen die gesamte Aussage falsch ist.
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Def. Atomar/komplex
Eine Aussage ist atomar, wenn sie keine Junktoren enthält. Alle anderen Aussagen sind komplex.
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Logisch unabhängig
Zwei Aussagen p und q sind logisch unabhängig voneinander, wenn der Wahrheitswert der einen Aussage nicht den Wahrheitswert der anderen Aussage bestimmt und umgekehrt.
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Doppelte Negation
Die doppelte Verneinung ist, nach dem Bivalenzprinzip, äquivalent zu Bejahung.
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Reductio ad absurdum
Der Unterschied zwischen dem Beweis mittels Widerspruch und reductio ad absurdum:
Bivalenzprinzip und Möglichkeit, von einer doppelt negierten Aussage zurück zur „normalen“ Aussage zu kommen
also
Beweis durch Widerspruch plus Übergang von einer doppelt verneinten Aussage zu der Aussage selbst.
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Klassische Schlussfiguren
Modus ponendo ponens: p, p -> q I= q
modus tollendo ponens: -p, p v q I= q
modus ponendo tollens: p, -(p ^ q) I= -q
modus tollendo tollens: -q, p -> q I= -p
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Fallunterscheidung
P v q, p -> r, q -> r I= r
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Zusammenhang von Syntax und Semantik
Gleicher Aufbau von Implikationen und gültigen Argumenten
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Was sagen Existenz- und Allquantoren?
Für alles gilt: wenn es Metaphysiker ist, dann ist es Scholastiker
Für mindestens eines gilt: es ist ein Papagei und es kann sprechen
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