Analysis I at Universität Düsseldorf

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Eulersche Formel

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Zwischenwertsatz

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Stetigkeit von Funktionen: Unstetigkeitsstelle zweiter Art

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Wie lautet die Couchy-Schwarz-Ungleichung?

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Rechenregeln für Grenzwerte

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Einschließungsregel

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Satz 3.13

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Bernoullische Ungleichung

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Wert der geometrischen Reihe für |z| > 1

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Notwendige Konvergenzbedingung für Reihen mit Glied ak

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komplexe Zahl Aufbau

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Was ist die Umgekehrte Dreiecksungleichung?

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Analysis I

Eulersche Formel
e^ix = cos(x) + i * sin(x)

Analysis I

Zwischenwertsatz
Wenn f:[a,b] -> R stetig ist, wird im Intervall [a,b] jeder Wert y zwischen f(a) und f(b) als Funktionswert angenommen.

Analysis I

Stetigkeit von Funktionen: Unstetigkeitsstelle zweiter Art
                                  |1, falls x ∈ Q (x ist rational)
f: R--->R mit f(x) :=  |
                                  |0, falls x ∈ R\Q (x ist irrational)

Die Funktion f hat an jeder Stelle a ∈ R eine
Unstetigkeitsstelle zweiter Art, denn in jeder Umgebung
einer rationalen Zahl liegt eine irrationale Zahl, und in jeder
Umgebung einer irrationalen Zahl liegt eine rationale Zahl.
D. h. an jeder Stelle a ∈R existiert weder f(a + 0) noch f(a−0).


Analysis I

Wie lautet die Couchy-Schwarz-Ungleichung?
|| ≤ ||x|| * ||y||

Analysis I

Rechenregeln für Grenzwerte
- lim (an + bn) = a + b - lim (c * an) = c * a - lim (an * bn) = a * b - lim (an / bn) = a / b

Analysis I

Einschließungsregel
Es gelte an <= bn <= cn für alle bis auf endlich viele n. Falls d in R existiert mit lim (an) = d = lim (cn), dann gilt lim (bn) = d.

Analysis I

Satz 3.13
Für jede monoton wachsene/fallende Folge an gilt lim (an) = sup (an)/ inf (an).Insbesondere ist jeden beschränkte monotone Folge konvergent und jeden unbeschränkte monotone Folge uneigentlich konvergent.

Analysis I

Bernoullische Ungleichung
(1+x)^n >= 1 + n*x für alle x > -1

Analysis I

Wert der geometrischen Reihe für |z| > 1
(1 - z^n+1) / (1 - z)

Analysis I

Notwendige Konvergenzbedingung für Reihen mit Glied ak
lim(n->unendlich) an = 0

Analysis I

komplexe Zahl Aufbau
z = a + bi, wobei
a = Realteil
b = Imaginärteil
i = imaginäre Einheit definiert durch i^2 = -1

Analysis I

Was ist die Umgekehrte Dreiecksungleichung?
|x+y| ≥ ||x| - |y||

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