Stochastik at Universität Bielefeld

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Was ist eine Menge?

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Was sind die drei Eigenschaften einer Sigma-Algebra?

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Was ist eine offene Menge?

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Was ist ein Ergebnisraum?

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Was ist ein Ergebnis?

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Was ist ein topologischer Raum?

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Was ist die Borelsche-σ-Algebra?

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Was heißt durchschnittsstabil?

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Was ist ein Mengenring?

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Was ist eine kompakte Menge?

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Was ist ein Maß?

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Was sind die zwei Bedingungen für ein Maß?

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Stochastik

Was ist eine Menge?
Eine Zusammenfassung einzelner Elemente. Diese kommen nur einmalig vor und sind ohne Beachtung einer Reihenfolge.
Beispiel: {1,2,3}

Stochastik

Was sind die drei Eigenschaften einer Sigma-Algebra?

  • Grundmenge Omega ist Element der Sigma-Algebra
  • Die Komplemente jeder Menge müssen enthalten sein
  • Die Vereinigung aller Mengen muss auch wieder enthalten sein

Stochastik

Was ist eine offene Menge?

Menge, in der jedes Element von einem Element der gleichen Menge umgeben ist. Kein Element liegt auf dem Rand.


Beispiel: 

  • (0,1) auf R -> jedes Element aus dem Intervall hat ein Element aus dem Intervall neben sich
  • [0,1] auf R-> das Element "1" hat kein Element mehr rechts neben sich -> keine offene Menge


Stochastik

Was ist ein Ergebnisraum?

Als Ergebnisraum bezeichnet man im die Menge aller möglichen Ergebnisse eines Zufallsexperiments.


Beispiel: 
Beim Würfeln mit einem Würfel lautet der Ergebnisraum:  {1,2,3,4,5,6}



Stochastik

Was ist ein Ergebnis?

Jeder mögliche Ausgang des Zufallsexperimentes.


Beispiel: 

Der Wurf eines Würfels soll modelliert werden. Mögliche Ausgänge sind die Zahlen von 1 bis 6. 

Stochastik

Was ist ein topologischer Raum?

Eine Topologie ist ein Mengensystem T bestehend aus Teilmengen einer Grundmenge X , die offen oder offene Mengen genannt werden, und die die folgenden Axiome erfüllen:

  • Die leere Menge und die Grundmenge X  sind offen.
  • Der Durchschnitt endlich vieler offener Mengen ist offen. (Es genügt zu fordern, dass der Durchschnitt von zwei offenen Mengen offen ist.)
  • Die Vereinigung beliebig vieler offener Mengen ist offen.

Man nennt dann T eine Topologie auf X , und das Paar ( X , T )  einen topologischen Raum.

Stochastik

Was ist die Borelsche-σ-Algebra?

Gegeben sei ein topologischer Raum  (X,O), wobei O das Mengensystem der offenen Mengen ist.

Dann heißt die von O erzeugte σ-Algebra die borelsche σ-Algebra. Sie wird mit B ( X ) bezeichnet oder, wenn die Menge X aus dem Kontext ersichtlich ist, auch als B.

Es ist also B ( X ) := σ ( O ). Somit ist die borelsche σ-Algebra per Definition die (bezüglich Mengeninklusion) kleinste σ-Algebra, die alle offenen Mengen enthält.


Stochastik

Was heißt durchschnittsstabil?

Ein Teilmengensystem A auf einer Menge M heißt durchschnittsstabil, wenn für je zwei Mengen S , T ∈ A auch der Durchschnitt S ∩ T zu A gehört.

Stochastik

Was ist ein Mengenring?

Ein Mengensystem, also eine Menge von Mengen. Besonders ist hier die Vereinigungsstabilität. Ebenfalls kann ein Ring nicht leer sein und muss stabil bezüglich der Differenz sein.

Stochastik

Was ist eine kompakte Menge?

Einfache Beispiele für kompakte Mengen sind abgeschlossene und beschränkte Teilmengen des Euklidischen Raums Rn   wie das Intervall [ 0 , 1 ] ⊂ R . Einfache Gegenbeispiele bilden die nich kompakten Mengen N ⊂ R  (nicht beschränkt) oder [ 0 , 1 [ ⊂ R  (nicht abgeschlossen).


Stochastik

Was ist ein Maß?

Ein Maß ist in der Mathematik eine Funktion, die geeigneten Teilmengen einer Grundmenge Zahlen zuordnet, die als „Maß“ für die Größe dieser Mengen interpretiert werden können.

Stochastik

Was sind die zwei Bedingungen für ein Maß?

Es sei A eine σ-Algebra über einer nicht-leeren Grundmenge Ω. Eine Funktion μ : A → [ 0 , ∞ ]heißt Maß auf A , wenn die beiden folgenden Bedingungen erfüllt sind:

  •  μ (∅) =  0
  • σ-Additivität: Für jede Folge (An) n∈N paarweise disjunkter Mengen aus A gilt, dass die Addition dieser Mengen gleich der Summe der Teilmengen ist.

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