Grundlagen der Statistik at Universität Bielefeld

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Welchen Wert nimmt die Fläche eines Histogramms ein?

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Was ist der Unterschied zwischen Stochastik und Statistik?

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Was ist eine diskrete Zufallsvariable X?

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Welche Wahrscheinlichkeitsmasse haben die einzelnen Werte einer stetigen Zufallsvariablen?

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Was versteht man unter dem Gesetz der großen Zahlen (=GGZ)?

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Was versteht man unter der iid-Annahme?

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Was versteht man unter dem Zentralen Grenzwertsatz (=ZGWS) und bei welchen Verfahren spielt dieser eine besonders große Rolle?

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Was ist die Idee der Monte-Carlo-Simulation und wie wird diese durchgeführt?

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Was für Teilgebiete in der Statistik gibt es?

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Welche Maßzahlen gibt es?

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Was genau versteht man unter der Schiefe einer Verteilung?

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Was genau versteht man unter der Kurtosis einer Verteilung?

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Grundlagen der Statistik

Welchen Wert nimmt die Fläche eines Histogramms ein?
Die Fläche nimmt den Wert 1 an; sie ist normiert. (Bei Verwendung der absoluten Häufigkeiten ist die Gesamtfläche = n.)
Vergleich: Balkendiagramme

Grundlagen der Statistik

Was ist der Unterschied zwischen Stochastik und Statistik?

Stochastik: Wir haben Informationen über die Grundgesamtheit (=GG) und wollen Vorhersagen treffen.

Statistik: Wir haben Informationen (durch eine Stichprobe aus unserer GG und wollen darüber Schlüsse über die GG tätigen

Grundlagen der Statistik

Was ist eine diskrete Zufallsvariable X?

Eine Zufallsvariable X ist diskret, falls sie endlich oder abzählbar unendlich viele Werte annehmen kann.

Grundlagen der Statistik

Welche Wahrscheinlichkeitsmasse haben die einzelnen Werte einer stetigen Zufallsvariablen?

Die einzelnen Werte haben keine eigene Wahrscheinlichkeitsmasse; d.h diese ist gleich 0.

Grundlagen der Statistik

Was versteht man unter dem Gesetz der großen Zahlen (=GGZ)?

Die Wahrscheinlichkeit, dass die Differenz zwischen arithmetischen Mittel (X) und Erwartungswert (mu) kleiner/gleich Epsilon ist (für beliebig kleines Epsilon), strebt gegen 1. 

D.h. mit n -> unendlich ist das arithmetische Mittel = dem Erwartungswert.

Grundlagen der Statistik

Was versteht man unter der iid-Annahme?

Haben 1. alle Xi die gleiche Verteilung und 2. sind die Xi stochastisch unabhängig voneinander, so sind die Xi unabhängig und identisch verteilt ("independent and identically distributed").

Grundlagen der Statistik

Was versteht man unter dem Zentralen Grenzwertsatz (=ZGWS) und bei welchen Verfahren spielt dieser eine besonders große Rolle?

  • Der ZGWS besagt, dass die Stichprobenverteilung im Mitten mit n -> unendlich asymptotisch normalverteilt sein wird, unabhängig von der Form der zugrunde liegenden Verteilung der Daten. 
  • Mithilfe des ZGWS lassen sich die Hypothesentests durchführen, auch wegg die GG nicht normalverteilt ist.
    Bedingung: Stichprobe n>= 30

Grundlagen der Statistik

Was ist die Idee der Monte-Carlo-Simulation und wie wird diese durchgeführt?

  • Alternative Lösung zur analytischen Lösung von Problemen mathematischer Herkunft.
  • E(X) wird approximativ durch Simulation von n ZVn aus X, dem arithmetischen Mittelwert der n erzeugten Zahlen bestimmt (Approximation umso besser je größer n).
  • Beispiel: Berechnung der Zahl pi

Grundlagen der Statistik

Was für Teilgebiete in der Statistik gibt es?

  • deskriptive Statistik:
    beschreibende, oft grafische Aufbereitung der Daten
  • explorative Statistik:
    Suche nach Strukturen und Besonderheiten in den Datenmengen (grafische Analysen, Hypothesenbildung...)
  • induktive Statistik:
    Versuch konkrete Schlüsse zu ziehen (Hypothesentests...)

Grundlagen der Statistik

Welche Maßzahlen gibt es?

= zur Beschreibung zentraler Eigenschaften eines Merkmals durch eine Zahl

  • Lagemaße:
    beschreiben zentrale Tendenz eines Merkmals (arithmetisches Mittel, Median, Modus)
  • Streuungsmaße:
    beschreiben die Variabilität eines Merkmals ((empirische) Varianz und Standardabweichung)
  • Maße für Schiefe und Wölbung (Kurtosis)
  • Zusammenhangsmaß

Grundlagen der Statistik

Was genau versteht man unter der Schiefe einer Verteilung?

  • Schiefe der Normalverteilung (symmetrisch) = 0 (X0.5 - X0.25 = X0.75 - X0.5)
  • Verteilung ist linkssteil, wenn das untere Ende näher am Median liegt, als das obere Ende (Schiefe > 0) (X0.5 - X0.25 < X0.75 - X0.5)
  • Verteilung ist rechtssteil, wenn das obere Ende näher am Median liegt, als das untere Ende (Schiefe < 0) (X0.5 - X0.25 > X0.75 - X0.5)
  • Bei linkssteilen Verteilungen ist der Median kleiner als der Mittelwert (und umgekehrt für rechtssteile Verteilungen).
  • Verteilung symmetrisch, wenn x0.5 - x0.25 = x0.75 - x0.5
  • Ve

Grundlagen der Statistik

Was genau versteht man unter der Kurtosis einer Verteilung?

  • Kurtosis der Normalverteilung (= 3)
  • Verteilung besitzt "heavy tails", wenn sie spitz in der Mitte und weit in die Randbereiche hinein besetzt ist (Kurtosis > 3).
  • Verteilung besitzt "short tails", wenn sie stark besetzt in der Mitte und kurze Randbereiche besitzt (Kurtosis < 3).

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