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Was sind Maschinenzahlen?

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Welche Probleme ergeben sich, wenn man für Berechnungen die volle Stellenzahl nehmen würde?

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Was sind Einschließungsintervalle?
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Zu welchen Fehlern kann es bei der Berechnung von Maschinenzahlen kommen?

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Warum ist Normierung notwendig?

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Wie kann man die gerundete Zahl definieren?

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Wie realisiert man eine Maschinenoperation?
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Wann wir die Kondition besonders groß?

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Was misst die Konditionszahl?

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Was definiert sich ein numerisch stabiler Algorithmus?

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Welche Operationen sind besonders gefährlich, da man bei ihnen siginifikante Stellen verliert?
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NP

Was sind Maschinenzahlen?

Die endliche Menge M der in einem Rechner darstellbaren Zahlen heißt Maschinenzahlen

NP

Welche Probleme ergeben sich, wenn man für Berechnungen die volle Stellenzahl nehmen würde?

Zahlen würden zu lang! Speicherplatz! Rechenzeit! Meist keine nützliche Information!

NP

Was sind Einschließungsintervalle?
Einschließungsintervalle bestehen aus einer unteren Intervallgrenze und einer oberen Intervallgrenze.
Lösung 1 Element von [Unten 1, Oben 1]
Lösung 2 Element von [Unten 2, Oben 2]
Untere IG: Rundung nach unten von [Unten 1 + Unten 2]
Obere IG: Rundung nach oben von [Oben 1 + Oben 2]
Einschließung: [Untere IG, Obere IG]

NP

Zu welchen Fehlern kann es bei der Berechnung von Maschinenzahlen kommen?
Overflow (Wrap-around-Effekt)
Division ohne Rest (Abschneiden)
Divison durch 0

NP

Warum ist Normierung notwendig?
Damit die Darstellung eindeutig ist.

Der Exponent ist stets so zu wählen, dass die Mantisse m genau eine von Null verschiedene Stelle vor dem Komma hat.

NP

Wie kann man die gerundete Zahl definieren?

Gerundete Zahl=Ausgangszahl, bis auf Faktor (1±ε)

NP

Wie realisiert man eine Maschinenoperation?

- Berechne für Maschinenzahlen das Ergebnis der Operation mit höherer Genauigkeit (quasi exakt) - Runde dieses Resultat wieder auf Maschinenzahl.

NP

Wann wir die Kondition besonders groß?
Wenn wir eine große Eingabe haben, aber wir ein kleines Ergebnis berechnen. Oder wenn der Abstand der Ableitung von f(x) sehr groß ist.

NP

Was misst die Konditionszahl?
Den sog. unvermeidbaren Fehler, der durch das Problem selbst an einer Stelle x gegeben ist.

NP

Was definiert sich ein numerisch stabiler Algorithmus?

Sei das Problem y=f(x) gut konditioniert. Existiert dann zusätzlich auch ein gutartiges Berechnungsverfahren, bei dem die relativen Fehler nicht zusätzlich stark vergrößert werden, so spricht man von einem numerisch stabilen Algorithmus. Ein Berechnungsverfahren, das trotz kleiner Konditionszahl zu vergrößerten relativen Fehlern im Resultat führen kann, heißt numerisch instabil.

NP

Welche Operationen sind besonders gefährlich, da man bei ihnen siginifikante Stellen verliert?

- Auslöschung (Differenz fast gleicher, fehlerhafter Zahlen) - Summe zwischen großer Zahl und sehr kleiner Zahl, bei der die signifikanten Stellen in der kleinen Zahl stecken (vgl. wiederholtes Wurzelziehen) - Allgemein Operationsfolgen mit großen Zwischen- werten und kleinen Endwerten (vgl. exp, Teilfunktion schlecht konditioniert)

NP

Wann ist ein Algorithmus OK?

Wenn die Größenordnung der relativen Fehler im Resultat ungefähr gleich der Größenordnung der Eingabefehler bleibt.

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