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Hasse- Diagramm


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Partition

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Disjunkt

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Äquivalenz

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Äquivalenzrelationen

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Äquivalenzklasse

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Reflexivität

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partielle Ordnung (Halbordnung)

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totale Ordnung (Totalordnung)

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echte Teilmenge

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Kardinalität

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Negation

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DS

Hasse- Diagramm


- dient zur Darstellung geordneter Mengen

- transitive Kanten werden weggelassen

xRy und yRz -> xRz (die kante xRz kann weggelassen werden, da sie sich durch die anderen beiden Relationen ergibt)


DS

Partition

Eine Partition einer Menge M ist eine Menge P ⊆ P(M) von disjunkten, nicht leeren Teilmengen von M, deren Vereinigung genau M ergibt. 

  • M = ∪P, d.h. die Elemente von P überdecken M
  • Für beliebige  A, B ∈ P gilt entweder A = B oder A ∩ B = ∅
  • Für beliebiges  A ∈ P gilt A 6= ∅ 

Beispiele:

Die möglichen Partitionen von {1, 2, 3} sind: {{1, 2, 3}}, {{1}, {2, 3}}, {{1, 2}, {3}}, {{1, 3}, {2}}, {{1}, {2}, {3}} 





DS

Disjunkt

zwei Mengen deren Schnittmenge die leere Menge ist

  • Gilt M1 ∩ M2 = ∅, dann sagt man, dass M1 und M2 disjunkt sind

DS

Äquivalenz

zwei Aussagen/ Mengen bedeuten das gleiche

DS

Äquivalenzrelationen

Allgemeine Definition: Eine binäre Relation R ⊆ A × A über einer Menge  A heißt Äquivalenzrelation (auf  A), falls: 

  • R reflexiv und symmetrisch und transitiv 

Für  R ⊆ A × A eine Äquivalenzrelation definiert man: 

  • Äquivalenzklasse  eines Objekts a bzgl. R: [a]R = {b ∈ A | aRb} 
  • Bsp.: [1]=Z = {1}, [−5]≡3 = 3Z + 1 
  • Fakt: Es gilt a ∈ [a]R und [a]R = [b]R für  aRb und [a]R ∩ [b]R = ∅ für (a, b) 6∈ R
  • Quotient von A bzgl. R als die Menge aller Äquivalenzklassen: 
    •  A/R = {[a]R | a ∈ A} 
    • Bsp.: Z/=Z = {{x} | x ∈ Z}, Z/≡3 = {3Z, 3Z + 1, 3Z + 2} 
    • Fakt: A/R ist eine Partition von A 


PS: Die zu erfüllenden Kriterien für eine Äquivalenzrelation sind:

  • Reflexivität (das Objekt steht mit sich selber im Bezug)
  • Transitivität (Über ein zwei Bedingungen lassen sich 3 Aussagen miteinander verknüpfen. Beispiel: A, B und C sind in einer Klasse. -> "A und B sind in einer Klasse" UND "B und C sind in einer Klasse" -> daraus folgt: A und C sind in einer Klasse
  • Symmetrie: Der Zusammenhang der Elemente ist in beide Richtungen gleich

DS

Äquivalenzklasse

eine Äquivalenzrelation teilt eine Menge restlos in disjunkte Untermengen, Äquivalenzklassen genannt

DS

Reflexivität

  • Reflexivität ist eine der Äquivalenzrelationen
  • jeder Knoten eines Digraphen hat eine Schleife (: IdA ⊆ R )
  • jedes Objekt steht mit sich selber in Bezug

DS

partielle Ordnung (Halbordnung)

R ⊆ A × A ist eine partielle Ordnung (Halbordnung) auf A, falls

 • R reflexiv und antisymmetrisch und transitiv

DS

totale Ordnung (Totalordnung)

R ⊆ A × A ist eine totale Ordnung (Totalordnung) auf A, falls

 • R eine partielle Ordnung auf A ist, und

 • je zwei beliebige a, b stets bzgl. R in Relation stehen, d.h. mindestens aRb oder bRa gilt

DS

echte Teilmenge

A ist eine echte Teilmenge von B (in Zeichen: A ⊂ B), falls A ⊆ B und B ∉ A gelten. B wird dann echte Obermenge von A genannt 

 Es gilt {1, 3} ⊂ {1, 2, 3}, aber {1, 2, 3} ⊄ {1, 2, 3} 


DS

Kardinalität

Die Kardinalität oder Mächtigkeit |A| einer Menge A gibt die Anzahl der Elemente in A an.

 Falls die Anzahl an Elementen in A unendlich ist, dann schreibt man |A| = ∞. 


Es gilt |{3, 4, 5}| = 3, |{{2} , {3, 4, 5}}| = 2, |{}| = 0 und |{{}}| = 1

DS

Negation

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