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Äquivalenz

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Äquivalenzrelationen

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Reflexivität

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partielle Ordnung (Halbordnung)

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Negation

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DS

Hasse- Diagramm

- dient zur Darstellung geordneter Mengen

- transitive Kanten werden weggelassen

xRy und yRz -> xRz (die kante xRz kann weggelassen werden, da sie sich durch die anderen beiden Relationen ergibt)

DS

Partition

Eine Partition einer Menge M ist eine Menge P ⊆ P(M) von disjunkten, nicht leeren Teilmengen von M, deren Vereinigung genau M ergibt.

• M = ∪P, d.h. die Elemente von P überdecken M
• Für beliebige  A, B ∈ P gilt entweder A = B oder A ∩ B = ∅
• Für beliebiges  A ∈ P gilt A 6= ∅

Beispiele:

Die möglichen Partitionen von {1, 2, 3} sind: {{1, 2, 3}}, {{1}, {2, 3}}, {{1, 2}, {3}}, {{1, 3}, {2}}, {{1}, {2}, {3}}

DS

Disjunkt

zwei Mengen deren Schnittmenge die leere Menge ist

• Gilt M1 ∩ M2 = ∅, dann sagt man, dass M1 und M2 disjunkt sind

DS

Äquivalenz

zwei Aussagen/ Mengen bedeuten das gleiche

DS

Äquivalenzrelationen

Allgemeine Definition: Eine binäre Relation R ⊆ A × A über einer Menge  A heißt Äquivalenzrelation (auf  A), falls:

• R reflexiv und symmetrisch und transitiv

Für  R ⊆ A × A eine Äquivalenzrelation definiert man:

• Äquivalenzklasse  eines Objekts a bzgl. R: [a]R = {b ∈ A | aRb}
• Bsp.: [1]=Z = {1}, [−5]≡3 = 3Z + 1
• Fakt: Es gilt a ∈ [a]R und [a]R = [b]R für  aRb und [a]R ∩ [b]R = ∅ für (a, b) 6∈ R
• Quotient von A bzgl. R als die Menge aller Äquivalenzklassen:
•  A/R = {[a]R | a ∈ A}
• Bsp.: Z/=Z = {{x} | x ∈ Z}, Z/≡3 = {3Z, 3Z + 1, 3Z + 2}
• Fakt: A/R ist eine Partition von A

PS: Die zu erfüllenden Kriterien für eine Äquivalenzrelation sind:

• Reflexivität (das Objekt steht mit sich selber im Bezug)
• Transitivität (Über ein zwei Bedingungen lassen sich 3 Aussagen miteinander verknüpfen. Beispiel: A, B und C sind in einer Klasse. -> "A und B sind in einer Klasse" UND "B und C sind in einer Klasse" -> daraus folgt: A und C sind in einer Klasse
• Symmetrie: Der Zusammenhang der Elemente ist in beide Richtungen gleich

DS

Äquivalenzklasse

eine Äquivalenzrelation teilt eine Menge restlos in disjunkte Untermengen, Äquivalenzklassen genannt

DS

Reflexivität

• Reflexivität ist eine der Äquivalenzrelationen
• jeder Knoten eines Digraphen hat eine Schleife (: IdA ⊆ R )
• jedes Objekt steht mit sich selber in Bezug

DS

partielle Ordnung (Halbordnung)

R ⊆ A × A ist eine partielle Ordnung (Halbordnung) auf A, falls

• R reflexiv und antisymmetrisch und transitiv

DS

totale Ordnung (Totalordnung)

R ⊆ A × A ist eine totale Ordnung (Totalordnung) auf A, falls

• R eine partielle Ordnung auf A ist, und

• je zwei beliebige a, b stets bzgl. R in Relation stehen, d.h. mindestens aRb oder bRa gilt

DS

echte Teilmenge

A ist eine echte Teilmenge von B (in Zeichen: A ⊂ B), falls A ⊆ B und B ∉ A gelten. B wird dann echte Obermenge von A genannt

Es gilt {1, 3} ⊂ {1, 2, 3}, aber {1, 2, 3} ⊄ {1, 2, 3}

DS

Kardinalität

Die Kardinalität oder Mächtigkeit |A| einer Menge A gibt die Anzahl der Elemente in A an.

Falls die Anzahl an Elementen in A unendlich ist, dann schreibt man |A| = ∞.

Es gilt |{3, 4, 5}| = 3, |{{2} , {3, 4, 5}}| = 2, |{}| = 0 und |{{}}| = 1

DS

Negation

das Gegenteil der Aussage

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