Logik at TU Kaiserslautern

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Was sind rekursive Datentypen?

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Wie sind rekursive Datentypen definiert?

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Welche Anwendungen findet formale Logik in der Informatik?
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Sind Binärbäume ein rekursiver Datentyp?

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Mit welchem Werkzeug werden Eigenschaften gezeigt, die für alle Elemente eines gegebenen rekursiven Datentyps gelten sollen?

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Zeige mittels struktureller Induktion:

s • ε = s,∀ s∈Σ* 

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Wie ist die Form einer aussagenlogischen Formel φ definiert?

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Mit welchem Werkzeug können wir alle möglichen Fälle für Belegungen/Interpretationen einer aussagenlogischen Formel φ bewerten.

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Wie sind die Operatoren-Makros für Implikation() und Äquivalenz() definiert?

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Wann gilt eine Formel als erfüllbar?

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Wann gilt eine Formel als unerfüllbar?

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Können eine Formel φ und ihre Negation ¬φ beide erfüllbar sein?


Beweise deine Antwort.

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Logik

Was sind rekursive Datentypen?

Rekursive Datentypen sind Mengen von Objekten, welche mittels Rekursion definiert sind.


Beispiele: Strings, nichtnegative Zahlen, Bäume, logische Formeln

Logik

Wie sind rekursive Datentypen definiert?

1. Es gibt Basisfälle, z.B. bei Strings gilt:

ε ∈ Σ* (leeres Wort ist ein String)


2. Hinzu kommt ein induktiver Fall / eine induktive Regel, z.B. bei Strings:

a ∈ Σ und s ∈ Σ* ⇒ <a,s> ∈ Σ* (Buchstabe a aus Alphabet Σ kann als Präfix an beliebigen String s ∈ Σ* angehängt werden und das Ergebnis ist wieder ein String)


Implizit: Ein rekursiver Datentyp ist eine Menge an Objekten, die aus einem Basisfall und allen mittels induktiver Regel daraus ableitbaren Objekten besteht.

Logik

Welche Anwendungen findet formale Logik in der Informatik?
- formale Verifikation computerisierter Systeme
- Programmiersprachen
- Electronic-Design-Automatisierung
- KI und Robotik
- Computational Complexity
- Security und Kryptographie
- Computergestützte Mathematik

Logik

Sind Binärbäume ein rekursiver Datentyp?
Ja

Logik

Mit welchem Werkzeug werden Eigenschaften gezeigt, die für alle Elemente eines gegebenen rekursiven Datentyps gelten sollen?
Strukturelle Induktion

Logik

Zeige mittels struktureller Induktion:

s • ε = s,∀ s∈Σ* 

Basisfall: ε • ε = ε

Induktiv:

Lassen wir nun o.B.d.A die Aussage für ein beliebiges, aber festes s ∈ Σ* gelten.

Betrachte nun

z • ε  = z ∈ Σ*  mit z := <a,s> , a ∈ Σ.


Es gilt mit der Definition von String-Konkatenation

<a,s> • ε = <a, s • ε >

Mit der Induktionsvoraussetzung gilt nun

<a, s • ε > = <a, s> = z

und somit gilt insgesamt

z • ε = z.


Da die Eigenschaft für alle Basisfälle gilt und induktiv weiter gilt, wenn wir einen Buchstaben hinzufügen, gilt sie für alle Strings und somit auch für jede mögliche String-Konkatenation, also

s • ε = s,∀ s∈Σ*

Logik

Wie ist die Form einer aussagenlogischen Formel φ definiert?

Eine aussagenlogische Formel φ ist eines der folgenden Dinge:

  1. Eine Variable x
  2. Eine Konstante, also oder.
  3. Einer der folgenden Ausdrücke:

¬φ1 oder (φ1 ∧ φ2)  oder (φ1∨ φ2)

für aussagenlogische Formeln φ1, φ2.

Logik

Mit welchem Werkzeug können wir alle möglichen Fälle für Belegungen/Interpretationen einer aussagenlogischen Formel φ bewerten.

Wahrheitswertetabelle

Logik

Wie sind die Operatoren-Makros für Implikation() und Äquivalenz() definiert?

  • Implikation: (φ → ψ) := (¬ φ ∨ ψ)
  • Äquivalenz: (φ ↔ ψ) := (φ → ψ) ∧ (ψ → φ)

Logik

Wann gilt eine Formel als erfüllbar?

Eine Formel φ nennen wir erfüllbar, wenn es eine Belegung/Interpretation I(φ) gibt, sodass gilt

I(φ) = 1.

Logik

Wann gilt eine Formel als unerfüllbar?

Eine Formel φ nennen wir unerfüllbar, wenn es keine Belegung/Interpretation I(φ) gibt, sodass gilt

I(φ) = 1,

bzw wenn für jede Belegung/Interpretation I(φ) gilt

I(φ) = 0.

Logik

Können eine Formel φ und ihre Negation ¬φ beide erfüllbar sein?


Beweise deine Antwort.

Ja, eine Formel φ und ihre Negation ¬φ können beide erfüllbar sein.


Beweis: Es reicht zu zeigen, dass wir für eine beliebige Formel φ und ihre Negation ¬φ  Belegungen/Interpretationen finden, welche diese erfüllen:

  • Betrachte φ = p
  • Es gilt also: ¬φ = ¬p

Wir wissen nun, dass für I(p) = 1 gilt I(φ) = 1 und dass für I(p) = 0 gilt I(¬φ) = 1.

Somit finden wir für beide Formeln eine Belegung, die sie erfüllt, also sind beide Formeln erfüllbar.

q.e.d.


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