Arithmetik und ihre didaktik at TU Dortmund

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Prinzip der beliebige Reihenfolge 

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Kardinalzahlprinzip 

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Abstraktionsprinzip

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Fehlertypen Addition und Subtraktion 

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Stufen der Zählentwicklung

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Zusammenhang zwischen Teiler und Vielfaches

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Rechengesetze 
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Problemlösen lehrplan 

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Argumentieren und Kommunikation 

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Teilbarkeitseigenschaften und Regeln

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Typische Zählfehler 

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Orientierung im Zahlenraum

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Arithmetik und ihre didaktik

Prinzip der beliebige Reihenfolge 
Die Reihenfolge in der Elemente abgezählt werden ist irrelevant. Bedeutet ein Objekt ist keinem festen Wert zugeordnet am Ende kommt immer die gleiche Menge raus

Arithmetik und ihre didaktik

Kardinalzahlprinzip 
Das zuletzt aufgesagte Zahlwort gibt die Anzahl der Menge an. 

Arithmetik und ihre didaktik

Abstraktionsprinzip

Alle Elemente egal welche Eigenschaften sie haben können gezählt und zu einer Menge zusammengefasst werden

Arithmetik und ihre didaktik

Fehlertypen Addition und Subtraktion 
  • Stellenwertkonfusion
    • 30+4 = 70 Kind rechnet 3+4 
  • Vernachlässigung von Teiloperanden / Oder Vernachlässigung des Zehnerübergangs
    • 28+14=32 Kind rechnet 28+4 aber dann nicht noch +10
  • Inversionsfehler
    • 28+7 = 89 weil Kind nicht mit der 28 rechnet sondern 82
    • 28+7= 53 Kind hat das richtige Ergebnis 35 schreibt es aber falsch herrum auf
  • Perseverationsfehler 
    • 28+8= 38 Kind rechnet den Übergang richtig hat aber noch die 8 im Gedächnis
  • Richtungsfehler
    • 34-19 = 13 Kind rechnet 34-20 und anstatt dann +1 zu rechnen rechnet er -1. Also aus 34-(20-1) wird 34-20-1
  • Konsequent die höhere Zahl minus die niedrigere 
    • 34-19 = 25 Kind rechnet 30-10 also 20 und dann anstatt 4-9 rechnet er 9-4 was 5 Ergibt und erhält somit 25
  • Ziffernweise rechnen
    • 34+19=17 Kind rechnet 3+4+1+7 

Arithmetik und ihre didaktik

Stufen der Zählentwicklung
1. Zahlwortreihe als ganzes (einszweidrei meist als Gedicht verwendet) 
2. Unflexible Zahlwortreihe (Zahlwort Reihe in der richtigen Reihenfolge lernen) 
3. Teilweise Flexibel (Beginn des Zählen ab zum Beispiel 4)
4. Flexibel (flexibles Zählen um eine bestimmte Anzahl an Zählschritte, Rückwärtszählen) 
5. Vollständig reversible Zahlenwortreihe (flexibles Zählen von einem beliebigen Zahlenwort aus vor und zurück, Zählen in schritten usw.) 

Arithmetik und ihre didaktik

Zusammenhang zwischen Teiler und Vielfaches

a*b = ggT (a,b) * kgV (a,b)



Arithmetik und ihre didaktik

Rechengesetze 
Kommutativgesetz (Austauschgesetzt) 
A+B = B+A

Assotiativgesetz 
A+(B+C) =(A+B) +C

Distributivgesetz 
A*(B+C) =AB+AC

Arithmetik und ihre didaktik

Problemlösen lehrplan 
SuS strukturieren und lösen Mathematische Probleme bei dem der Lösungsweg nicht unmittelbar erkennbar ist. 

Sie geben die Problemstellung mit eigenen Worten wieder erkunden Sie und stellen Vermutungen auf

Sie nutzen verschiedene Darstellungsformen, mathematische Verfahren und Problemlösungsstrategien (Probieren, Beispiele finden usw. ) 

Sie überprüfen und bewerten Lösungswege und Ergebnisse. Auch die Möglichkeit mehrerer Lösungen

Arithmetik und ihre didaktik

Argumentieren und Kommunikation 
SuS sind in der Lage mathematische Sachverhalte zutreffen und verständlich zu teilen und damit Behauptungen zu begründen. 
Lesekompetenz aus Texten Bildern usw. Wichtige Informationen zu entnehmen
- Lösungswege erläutern und dabei Fachbegriffe verwenden
- Begriffe verknüpfen
- Lösung auf unterschiedliche Arten darstellen 
- Unterschiedliche Lösungswege und Darstellungen vergleichen 

Arithmetik und ihre didaktik

Teilbarkeitseigenschaften und Regeln

  • reflexiv a|a
  • antisymetrisch Gilt a|b und b|a dann gilt a=b
  • transitiv Gilt a|b und b|c dann a|c
  • Summenregel a|b und a|c dann a|(b+-c)
  • Produktregel a|b dann a|k*b
  • Teilerproduktregel a|b und c|d  so gilt (a*c)| b*d
  • Beweise nochmal in der Vorlesung ansehen

Arithmetik und ihre didaktik

Typische Zählfehler 

  • Überganz zum neuen Zehner
  • Übergang zu einem neuen Stellenwert
  • Paschzahlen

Arithmetik und ihre didaktik

Orientierung im Zahlenraum

Zusammenfassung

  • Ziel ist der Aufbau mentaler Bilder über Zahlen
    • als Produkte geistiger und stets sehr individueller Konstruktionen 
    • als Verständnis der Beziehungen zwischen Zahlen
  • Didaktische Konsequenzen: Anlässe schaffen zur...
    • ... Interpretation von Veranschaulichungen 
    • ... eigenstädige Darstellungen von Zahlbeziehungen
    • ... Kommunikation über unterschiedkliche Wege und 
    • .. Argumentation über grundlegende strukturen Zusammenhänge

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