Quntitative Methoden at RWTH Aachen

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Was ist ein Modell?

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Was passiert mit Linien in einer linearen Transformation?

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Wie kann die Transformation rückgängig gemacht werden?

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Division

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Konditionszahl

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geometrische Interpretation von linearen GLS: 

Was wenn det(A)=0?

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Taylor-reihen mit Sinus-funktionen

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Warum ist die Diffusionsgleichung so wichtig?

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An welchem Zeitpunkt betrachten wir die Krümmung im Raum?

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Spaltenraum der Matrix ("column space")

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Multiplikation (Vektor * Vektor)

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Quntitative Methoden

Was ist ein Modell?

  • ein Versuch anhand von Daten & Fakten die Realität dazustellen
  • Vereinfachung der Wirklichkeit
  • Größenveränderung
  • daraus kann man Hypothesen ableiten


sinnvoll wenn: 

  • Überblick erforderlich ist
  • bestimmte Berechnungen durchzuführen sind -> um z.B. auf andere Daten zu kommen
  • etc.

Quntitative Methoden

Was passiert mit Linien in einer linearen Transformation?

  • Linien bleiben Linien (keine Krümmung etc.)
  • Ursprung bleibt im Ursprung

-> nur Veränderung von Orientierung & Länge

Quntitative Methoden

Wie kann die Transformation rückgängig gemacht werden?

  • mit der inversen Matrix
  • geht nicht, wenn die det(A)=0, z.B. bei lin. abh. Vektoren

Quntitative Methoden

Division

nicht definiert

Quntitative Methoden

Konditionszahl

wenn die Konditionszahl sehr hoch ist, kann man dem Ergebnis nicht wirklich trauen 

-> Lösung ist nicht robust


  • Beschreibt die „Robustheit“ der Matrix 
  • sagt uns, wie nah wir an Rang 1 sind

Quntitative Methoden

geometrische Interpretation von linearen GLS: 

Was wenn det(A)=0?

unendlich viele Lösungen (im Ausnahmefall 1 Lösung, aber mind. 1 Lösung)

-> keine eindeutige Lösung -> "Nullraum", "Kern der Matrix"

Quntitative Methoden

Taylor-reihen mit Sinus-funktionen

Generell, aber vorallem bei sinus und cosinus Funktionen ist nicht nur der Rang, sondern auch der Startpunkt wichtig zu beachten. 

- Bei der sinusfunktion geben z.B. ungrade Werte eine gernauere vorhersage.

Quntitative Methoden

Warum ist die Diffusionsgleichung so wichtig?

  • Beruht auf Erhaltungsprinzipien, z.B. Enegie, Impuls und Ladungserhaltung
  • Ist wichtig, da viele geologische Modelle/ Gesetze auf der Formel beruhen/ hergeleitet werden können
  • Wichtig: Prinzip der Massenerhaltung, Jxin= Jxout, falls dies nicht der Fall ist, passierte eine änderung im Medium.

Beispiele: Darcy-Gesetz

Quntitative Methoden

An welchem Zeitpunkt betrachten wir die Krümmung im Raum?

3 Möglichkeiten: 

  • am Zeitpunkt jetzt, alo t = j
    • explizierter Zeitschritt/explizietes Verfahren
  • am Ende des (diskreten) Zeitschritts, also t = j+1
    • implizierter Zeitschritt/implizietes Verfahren
  • irgendwas dazwischen
    • ebenso impliziert

Quntitative Methoden

Spaltenraum der Matrix ("column space")

Raum, der durch die transformierten Basisvektoren aufgespannt wird

Quntitative Methoden

Multiplikation (Vektor * Vektor)

Skalarprodukt -> nur 1 Zahl!

Quntitative Methoden

Multiplikation (Matrix * Skalar)

jedes Element wird mit dem Skalar multipliziert

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