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wann ist eine zahl gerade
durch 2 teilbar: vielfache von 2
Eine Zahl nEN ist gerade, wenn ein kEN existiert, sodass gilt: 2k = a
Was ist „Argumentieren“?
Unter Argumentation verstehen wir „eine Rede für oder gegen die Wahrheit einer Aussage mit dem Ziel, die Zustimmung oder den Widerspruch zu dieser Aussage zu erlangen. Dabei wird schrittweise und möglichst lückenlos auf bereits gemeinsam anerkannte Aussagen bzw. Normen zurückgegangen. Die einzelnen Schritte heißen die für bzw. gegen die zur Diskussion gestellte Aussage bzw. Norm vorgebrachten Argumente. Eine Argumentation heißt schlüssig, wenn niemand, der ihren Ausgangssätzen (Aussagen oder Normen) zugestimmt hat, irgendeinem ihrer Schritte die Zustimmung verweigern kann, ohne sich in Widersprüche zu verwickeln. Eine schlüssige Argumentation für eine Aussage bzw. Norm heißt eine Begründung derselben, im Falle einer Aussage auch ein Beweis“ (Hefendehl‐Hedecker & Hußmann 2003, S. 95).
Diskrepanz: Erkenntnisgewinn und Notations‐/Beweisformen
Der Erkenntnisgewinn erfolgt oft induktiv.
Notations‐/Beweisformen erfolgen abweichend davon meist deduktiv.
wann ist eine zahl ungerade
lassen bei der Division durch 2 den erst eins: sind um eins kleiner oder größer als das vielfache von 2
eine zahl nEN ist ungerade, wenn ein kEN existiert, sodass gilt: 2k +/- 1 = a
A ∧ B ist äquivalent zu B∧A
Die UND-Verknüpfung ist dann wahr, wenn beide Aussagen wahr sind. Die Reihenfolge spielt keine Rolle.
Was ist ein Beweis?
Ein Beweis strebt höchste Sicherheit an: Er besteht in einer Kette von Argumenten, die möglichst lückenlos, d.h. vollständig, und schrittweise nachvollziehbar ist. Jeder Schritt muss nachprüfbar und unstrittig sein (anerkannte Aussagen!), weswegen eine detaillierte und unmissverständliche Darstellung unverzichtbar ist.
x=2 ⇒ x2=4
Beobachtung: Aus x = 2 kann man folgern, dass x2 = 4. Der Implikationspfeil darf daher benutzt werden. Aber Achtung - die Umkehrung gilt nicht! Aus x2 = 4 könnte man nicht folgern, dass x = 2, da die Lösungsmöglichkeit x = −2 unberücksichtigt bliebe.
Offensichtlich handelt es sich bei x2 = 4 und x = 2 nicht um gleichwertige Terme. Daher kann hier kein Äquivalenzpfeil verwendet werden.
b=2 ⟺ 3b=6
Es handelt sich um zwei gleichwertige Terme. Aus b = 2 kann gefolgert werden, dass 3b = 6 und umgekehrt kann aus 3b = 6 gefolgert werden, dass b = 2. Daher kann der Äquivalenzpfeil benutzt werden. Der Implikationspfeil wäre damit auch eine zulässige Möglichkeit.
Tautologien
Tautologien sind Aussagen, die immer wahr sind. Zum Beispiel ist 𝐴 ∨ ¬𝐴 solch eine Tautologie. Betrachten Sie dazu folgende Wahrheitswertetafel:
A ¬A A∨¬A
w f w
f w w
Fundamentalsatz der Arithmetik
Jede natürliche Zahl n 1 kann eindeutig als Produkt von Primzahlen (d.h. in einer Primfaktorzerlegung) geschrieben werden, sofern man die Primfaktoren der Größe nach ordnet.
Kontradiktionen
Im Gegensatz dazu nennt man Aussagen, die immer falsch sind, Kontradiktionen. Ein Beispiel dafür ist: 𝐴 ∧ ¬𝐴. Auch hier wieder die zugehörige Wahrheitswertetafel:
A ¬A A∧¬A
w. f. f
f. w. f
definiton Primzahl
Eine natürliche Zahl, die genau zwei natürliche Teiler hat
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