Arithmetik Division at Pädagogische Hochschule Kärnten | Flashcards & Summaries

Lernmaterialien für Arithmetik Division an der Pädagogische Hochschule Kärnten

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TESTE DEIN WISSEN
Warum ist die Division durch Null sinnlos?
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TESTE DEIN WISSEN
Wenn man die Division durch Null erlauben würde, würde es zu Widersprüchen mit der Definition der Division und der Umkehroperation der Multiplikation geben.

20 : 0 = 0
dann sollte gelten (Probe)
0 * 0 = 20       = Widerspruch!!!
0 = 20
Denn es gibt keine natürliche Zahl mit n*0=0

Richtig wäre 0*0=0
Probe:
0 * 0 = 0
oder auch 0:0=1
1 * 0 = 0
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TESTE DEIN WISSEN
Welche Rechengesetze gelten für die Division?
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TESTE DEIN WISSEN
1. Distributivgesetz
2. Gesetz von der Konstanz des Quotienten (gleichsinniges Verändern)



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TESTE DEIN WISSEN
Erkläre die Rechengesetze, die für die Division gelten!
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TESTE DEIN WISSEN
Distributivgesetz der Division bezüglich der Addition und Subtraktion:

Wenn man eine Summe durch eine Zahl dividiert und wenn man die einzelnen Summanden durch diese Zahl dividiert und danach addiert, kommt das gleiche Ergebnis heraus:

(a+b):c = a:c + b:c

Wenn man eine Differenz durch ein Zahl dividiert und wenn man Minuend und Subtrahend durch diese Zahl dividiert und danach subtrahiert, kommt das gleiche Ergebnis heraus.

(a-b):c = a:c - b:c


Gesetz von der Konstanz des Quotienten (gleichsinniges Verändern)

Besagt, dass sich der Wert eines Quotienten nicht verändert, wenn DIvident und Divisor gleichsinnig verändert werden, also halbiert, gedrittelt, geviertelt… bzw. verdoppelt, verdreifacht, vervierfacht… werden.

a:b = (a:c) : (b:c)     bzw.    a:b = (a*c) : (b*c)




 
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TESTE DEIN WISSEN
Nenne die informellen Lösungsstrategien!
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TESTE DEIN WISSEN
Direktes Modellieren mit Material/ Vollständiges Auszählen:
Abwechselnd einen Gegenstand geben – entweder nacheinander oder mit beiden Händen gleichzeitig

Wiederholte Addition bei Verteilaufgaben:
Bsp: 18 Eier in 6er-Schachteln. Wie viele Schachteln?
“6+6=12 , dann habe ich schon mal 2 Eierschachteln und dann habe ich noch eine dazu gepackt und das waren zusammen 18. Also 3 Eierschachteln.

Wiederholte Subtraktion bei Verteilaufgaben:
Bsp: 18 Eier in 6-er Schachteln. Wie viele Schachteln?
18-6=12
12-6=6
6-6=0
A: 3 Schachteln

Rückgriff auf die Multiplikation:
Bsp: 18 Eier in 6er-Schachteln?
18:6=
Multiplikator wird gesucht!        —> Enthaltensein/Messen
Wie viel mal 6=18?
3*6=18

Bsp: 12:3=
Multiplikand wird gesucht!         —> Verteilen/Teilen
3mal welche Zahl ergibt 12?
3*4=12

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TESTE DEIN WISSEN
Welche Grundvorstellungen gibt es bei der Division?
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TESTE DEIN WISSEN
Enthaltensein/Messen
Verteilen/Teilen
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TESTE DEIN WISSEN
Erkläre Enthaltensein/Messen!
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TESTE DEIN WISSEN
Gesucht: Anzahl der Teilmenge
Gegeben: Elemente der Teilmenge/Größe der Portion

Beispiel: 
15 Kinder sollen 3-er Gruppen bilden. Wie viele Gruppen können gebildet werden?

Was ist gegeben? —> drei Gruppen = Größe Portion (Anzahl der Portionen ???)

Materialhandlung —> z.B. mit Stiften, also immer drei Stifte wegnehmen – man kann immer gleich drei herausmessen

Ergebnis der Materialhandlung —> 15:3 oder 15:5
= es ist beides! (wenn man rein das Ergebnis der Materialhandlung sieht)

Wann ist 15:3 —> wenn, 15 Kinder in 3er-Gruppen aufgeteilt werden
                              = Enthaltensein/Messen
Wann ist 15:5 —> wenn, 15 Kinder werden auf fünf Gruppen aufgeteilt
                              = Teilen/Verteilen

= 5*3 =15
5… Anzahl der Portionen —> _*3=15 Multiplikator wird gesucht
                                                (Enthaltensein/Messen)
3… Größe der Portionen —> 5*_=15 Multiplikand wird gesucht 
                                                (Verteilen/Messen)
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TESTE DEIN WISSEN
Wie wird das Operationsverständnis bei Enthaltensein/Messen erarbeitet?
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TESTE DEIN WISSEN
1. Alltagsproblem stellen (Aufgabe stellen)
2. Handelnd lösen lassen (mit Material)
3. Handlungsprotokoll


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TESTE DEIN WISSEN
Was spricht gegen die „in“ Schreibweise für Enthaltensein/Messen?
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TESTE DEIN WISSEN
– die “in“ Schreibweise ist nicht von Dauer
– Problem 12:3 wird immer wieder als 12 in 3 gelesen
– Beobachteter Fehler in der Sekundarstufe —> 3:12 ist ja „3 in 12“ und deswegen fälschlicherweise 4
– Teilen kommt nicht deutlich heraus —> „in“ und „dividiert“ sind für manche Kinder nicht zwei Aspekte derselben Rechenart, sondern gänzlich verschiedene Rechenarten

Dividieren sollte gänzlich nur mit einer Schreibweise erarbeitet werden —> 12 : 3

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TESTE DEIN WISSEN
Wie erarbeitet man das Operationsverständnis bei Verteilen/Teilen?
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TESTE DEIN WISSEN
Erst dann zum Thema machen, wenn das Verständnis für das Dividieren als „Enthaltensein“ abgesichert ist.

Schritte zur Erarbeitung:

1. Alltagsproblem stellen (Aufgabe geben)
Bsp: Oma hat 12 Krapfen für 4 Enkelkinder mitgebracht…

2. Handelnd lösen (mit Material)

3. Handlungsprotokoll
12:4=3 ist die kurze Schreibweise für die Handlung
“auch hier“ —> Anzahl wird in gleiche Teilzahlen geteilt, daher gleiche Kurzform (obwohl die Handlung sich unterscheidet zum Enthaltensein)
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TESTE DEIN WISSEN
Wann ist die Erarbeitung des Operationsverständnisses sinvoll?
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TESTE DEIN WISSEN
  • erst erarbeiten, wenn das Multiplizieren gut verstanden wird und zu mindest die Kernaufgaben bereits automatisiert sind
  • Teilen und Enthaltensein, Messen sollten klar nacheinander erarbeitet werden
  • Ziel ist es, dass Kinder beide Varianten der Division erkennen und in eine Rechengeschichte übersetzen können
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TESTE DEIN WISSEN
Soll man mit Enthaltensein/Messen beginnen oder Verteilen/Teilen?
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TESTE DEIN WISSEN
Beides ist möglich, doch Einiges spricht für das Enthaltensein/Messen

  • direkter Bezug zum Multiplizieren
  • Zeichnerisch leichter darstellbar
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TESTE DEIN WISSEN
Was ist eine Division? Welche Begriffe gibt es bei der Division?
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TESTE DEIN WISSEN
Die Division ist die Umkehrung der Multiplikation.
a * x = c         —>    c : a = x

Dividend : Divisor = Quotient
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Q:
Warum ist die Division durch Null sinnlos?
A:
Wenn man die Division durch Null erlauben würde, würde es zu Widersprüchen mit der Definition der Division und der Umkehroperation der Multiplikation geben.

20 : 0 = 0
dann sollte gelten (Probe)
0 * 0 = 20       = Widerspruch!!!
0 = 20
Denn es gibt keine natürliche Zahl mit n*0=0

Richtig wäre 0*0=0
Probe:
0 * 0 = 0
oder auch 0:0=1
1 * 0 = 0
Q:
Welche Rechengesetze gelten für die Division?
A:
1. Distributivgesetz
2. Gesetz von der Konstanz des Quotienten (gleichsinniges Verändern)



Q:
Erkläre die Rechengesetze, die für die Division gelten!
A:
Distributivgesetz der Division bezüglich der Addition und Subtraktion:

Wenn man eine Summe durch eine Zahl dividiert und wenn man die einzelnen Summanden durch diese Zahl dividiert und danach addiert, kommt das gleiche Ergebnis heraus:

(a+b):c = a:c + b:c

Wenn man eine Differenz durch ein Zahl dividiert und wenn man Minuend und Subtrahend durch diese Zahl dividiert und danach subtrahiert, kommt das gleiche Ergebnis heraus.

(a-b):c = a:c - b:c


Gesetz von der Konstanz des Quotienten (gleichsinniges Verändern)

Besagt, dass sich der Wert eines Quotienten nicht verändert, wenn DIvident und Divisor gleichsinnig verändert werden, also halbiert, gedrittelt, geviertelt… bzw. verdoppelt, verdreifacht, vervierfacht… werden.

a:b = (a:c) : (b:c)     bzw.    a:b = (a*c) : (b*c)




 
Q:
Nenne die informellen Lösungsstrategien!
A:
Direktes Modellieren mit Material/ Vollständiges Auszählen:
Abwechselnd einen Gegenstand geben – entweder nacheinander oder mit beiden Händen gleichzeitig

Wiederholte Addition bei Verteilaufgaben:
Bsp: 18 Eier in 6er-Schachteln. Wie viele Schachteln?
“6+6=12 , dann habe ich schon mal 2 Eierschachteln und dann habe ich noch eine dazu gepackt und das waren zusammen 18. Also 3 Eierschachteln.

Wiederholte Subtraktion bei Verteilaufgaben:
Bsp: 18 Eier in 6-er Schachteln. Wie viele Schachteln?
18-6=12
12-6=6
6-6=0
A: 3 Schachteln

Rückgriff auf die Multiplikation:
Bsp: 18 Eier in 6er-Schachteln?
18:6=
Multiplikator wird gesucht!        —> Enthaltensein/Messen
Wie viel mal 6=18?
3*6=18

Bsp: 12:3=
Multiplikand wird gesucht!         —> Verteilen/Teilen
3mal welche Zahl ergibt 12?
3*4=12

Q:
Welche Grundvorstellungen gibt es bei der Division?
A:
Enthaltensein/Messen
Verteilen/Teilen
Mehr Karteikarten anzeigen
Q:
Erkläre Enthaltensein/Messen!
A:
Gesucht: Anzahl der Teilmenge
Gegeben: Elemente der Teilmenge/Größe der Portion

Beispiel: 
15 Kinder sollen 3-er Gruppen bilden. Wie viele Gruppen können gebildet werden?

Was ist gegeben? —> drei Gruppen = Größe Portion (Anzahl der Portionen ???)

Materialhandlung —> z.B. mit Stiften, also immer drei Stifte wegnehmen – man kann immer gleich drei herausmessen

Ergebnis der Materialhandlung —> 15:3 oder 15:5
= es ist beides! (wenn man rein das Ergebnis der Materialhandlung sieht)

Wann ist 15:3 —> wenn, 15 Kinder in 3er-Gruppen aufgeteilt werden
                              = Enthaltensein/Messen
Wann ist 15:5 —> wenn, 15 Kinder werden auf fünf Gruppen aufgeteilt
                              = Teilen/Verteilen

= 5*3 =15
5… Anzahl der Portionen —> _*3=15 Multiplikator wird gesucht
                                                (Enthaltensein/Messen)
3… Größe der Portionen —> 5*_=15 Multiplikand wird gesucht 
                                                (Verteilen/Messen)
Q:
Wie wird das Operationsverständnis bei Enthaltensein/Messen erarbeitet?
A:
1. Alltagsproblem stellen (Aufgabe stellen)
2. Handelnd lösen lassen (mit Material)
3. Handlungsprotokoll


Q:
Was spricht gegen die „in“ Schreibweise für Enthaltensein/Messen?
A:
– die “in“ Schreibweise ist nicht von Dauer
– Problem 12:3 wird immer wieder als 12 in 3 gelesen
– Beobachteter Fehler in der Sekundarstufe —> 3:12 ist ja „3 in 12“ und deswegen fälschlicherweise 4
– Teilen kommt nicht deutlich heraus —> „in“ und „dividiert“ sind für manche Kinder nicht zwei Aspekte derselben Rechenart, sondern gänzlich verschiedene Rechenarten

Dividieren sollte gänzlich nur mit einer Schreibweise erarbeitet werden —> 12 : 3

Q:
Wie erarbeitet man das Operationsverständnis bei Verteilen/Teilen?
A:
Erst dann zum Thema machen, wenn das Verständnis für das Dividieren als „Enthaltensein“ abgesichert ist.

Schritte zur Erarbeitung:

1. Alltagsproblem stellen (Aufgabe geben)
Bsp: Oma hat 12 Krapfen für 4 Enkelkinder mitgebracht…

2. Handelnd lösen (mit Material)

3. Handlungsprotokoll
12:4=3 ist die kurze Schreibweise für die Handlung
“auch hier“ —> Anzahl wird in gleiche Teilzahlen geteilt, daher gleiche Kurzform (obwohl die Handlung sich unterscheidet zum Enthaltensein)
Q:
Wann ist die Erarbeitung des Operationsverständnisses sinvoll?
A:
  • erst erarbeiten, wenn das Multiplizieren gut verstanden wird und zu mindest die Kernaufgaben bereits automatisiert sind
  • Teilen und Enthaltensein, Messen sollten klar nacheinander erarbeitet werden
  • Ziel ist es, dass Kinder beide Varianten der Division erkennen und in eine Rechengeschichte übersetzen können
Q:
Soll man mit Enthaltensein/Messen beginnen oder Verteilen/Teilen?
A:
Beides ist möglich, doch Einiges spricht für das Enthaltensein/Messen

  • direkter Bezug zum Multiplizieren
  • Zeichnerisch leichter darstellbar
Q:
Was ist eine Division? Welche Begriffe gibt es bei der Division?
A:
Die Division ist die Umkehrung der Multiplikation.
a * x = c         —>    c : a = x

Dividend : Divisor = Quotient
Arithmetik Division

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